高三数学第一轮复习讲义8函数的值域与最值.docx

2018届高三第一轮复习讲义【8】-函数的值域与最值一、知识梳理 1. 函数的值域函数中, 与自变量x对应的y的值叫做函数值, 函数值的集合_叫做函数的值域. 2. 常用函数的值域 （1）一次函数的值域为_; （2）二次函数,当时值域为_; 当时 值域为_; 区间内, 二次函数的值域主要根据顶点的三种 情况进行讨论. （3）反比例函数的值域为_; （4）指数函数的值域为_; （5）对数函数的值域为_; （6）三角函数, 的值域为_; 的值域_.3.求值域的常用办法（1）二次函数类型 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）；（2）可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围；（3）型函数，可先分离常数，利用不等式的性质来求解，或者可先画出其图像，利用函数的单调性求函数的值域；（4），当异号时可利用单调性求值域；当时，该图像即是我们所熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件；（5）单调性法 一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型，就可以考虑利用单调性来求解，包括数列的最大最小项问题；（6）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、直线斜率、等等；（7）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后，再利用基本不等式：（注意：当分式是最简分式，并且自变量没有其它限制时，可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克函数求解）. 4. 函数的最值设函数在处的函数值是, 如果不等式对任意都成立，那么叫做函数的最小值, 记作，如果不等式对任意都成立，那么叫做函数的最大值, 记作.二、基础检测：1. 函数的值域是_.2. 函数的最大值是_, 最小值是_.3. 已知, 则函数的最小值是_.4. 函数的最大值是_.5. 若函数的值域是, 则函数的值域是_.6. 设, 函数在区间的最大值与最小值之差为, 则_.三、例题精讲：【例1】设函数(其中a为常数, 且)在区间上的最大值为, 最小值为, .(1) 求的解析式;(2) 判断的单调性, 并求出的最小值.【解析】(1)解: 函数的图像的对称轴为直线,由, 则, 故,当时, 因此, ,当时, 因此, ,综上所述, .(2)解: 函数在上单调递减, 在上单调递增,因此. 【例2】已知函数,(1) 当时, 求函数的值域;(2) 若对任意, 恒成立, 求实数a的取值范围.【解析】(1)解: 当时, ,由基本不等式, 等号成立,故函数在上单调递增, 得.(2)解: 即在上恒成立,由, 不等式,令, 其图像的对称轴为,因此在上单调递增, 故,则. 【例3】已知函数(常数)(1) 若在上的值域是, 求a的取值范围;(2) 若不等式对一切成立, 求a的取值范围.【解析】(1)解: 由在区间上单调递增, 得,即方程在区间上至少有两解,当时, ,即此二次方程在上有两个不同的根,故有 , 解不等式组的.(2)解: 即对一切成立,令, 则上述不等式在上成立,由基本不等式: , 等号成立,故, 即.【例4】设函数，若在上的最小值为1，求实数的值【解析】解： 由题意得，对称轴方程为，对称轴在区间的右边，在上单调递增， ， 解得【例5】已知函数， 当时，函数的最小值是关于的函数，求的最大值及其相应的值【解析】解：函数的对称轴为，不确定区间与对称轴的关系，下分三类进行讨论：（1）当时，在区间上是增函数，； （2）当时，； （3）当时，在区间上是减函数， 所以，分段讨论并比较大小得，当时，有最大值4 【例6】已知,函数当时，求函数在闭区间上的最小值；【解析】解：, 1O 当时，这时，对称轴， 所以函数在区间上递增，； 2O 当时，时函数； 3O 当时，这时，对称轴， ， 所以函数；【例7】已知函数，求函数的值域【解析】解：（做草图）在和上单调递减，故 函数在上的值域为【例8】定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”若，则函数在上的“定下界” 【参考答案】解: 【例9】求函数的值域最大值最小值【解析】解：令 ，代入 得 （作草图） 无最大值，有最小值，为函数的值域为【例10】已知函数的定义域为求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值【解析】解: 当，是增函数,所以，无最小值； 当时，是增函数,所以，无最小值 当且即时,所以，无最大值 当且即时，所以，无最大值四、难题突破：【例】记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与设函数（），令，记（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，求关于的表达式；（3）试写出的表达式，并求【解析】解：（1）, 由题意 （2）当时，显然g(x)在上单调递减，在上单调递增，又此时，故， 从而：= （3）1）当时，=g(1)=a+2b-1, =g(3)=3a+b此时，；2) 当时，=g(3)=3a+b, = g(1)=a+2b-1此时，； 3) 当时，= g(1)=a+2b-1,= g(b)=ab+b，此时，4) 当时，=g(3)=3a+b,= g(b)=ab+b， 此时，故， 因在上单调递减，在单调递增，故=h()=， 故当时，得五、课堂练习：1已知函数的定义域和值域都是，则= 2函数的值域为 3函数的值域为 4函数的值域为 5函数的值域为 6求函数在区间上的最小值7函数的值域为 8函数的值域为 9已知点在圆上，求及的取值范围10对定义域分别是的函数 规定：函数（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域11求函数的值域12已知，若存在区间，使得，则实数的取值范围是 六、回顾总结：1.主要方法:求值域与最值的常用方法以及重要方法.2.易错、易漏点:考察定义域；均值不等式成立的条件，特别注意检验等号成立的条件；换元后新元的取值范围.3. 讨论二次函数的区间最值问题: 先看函数在给定区间上是否单调；如果函数解析式或给定区间的端点含有字母，往往需要分类讨论；4. 运用函数的图像、性质求最值问题，要注意均值不等式成立的三个条件，特别注意等号成立的条件. 当等号不成立(即给定的区间内不存在使等号成立的自变量x)时，用函数的单调性解决. 注意: 运用单调性时要证明.七、课后练习1. 函数, 当时, 函数的值域是_.2. 若一次函数在上恒大于0, 则a,b所满足的条件是_.3. 函数在区间上恒有, 则a的取值范围是_.4. 函数的值域是_.5. 函数的最小值是_.6. 若函数在区间上的最大值为3, 最小值为2, 则a的取值范围是_.7. 函数在其定义域内有答 A. 最大值2, 最小值B. 最大值3, 最小值C. 最大值4, 最小值0D. 最大值1, 最小值8. 设的值域是, 求实数a,b的值.9. 已知, 求函数的最小值.10. 设, 且, 当x, y为何值时, 取得最大值和最小值? 并求出此最大值和最小值.【思考题】11. 三个同学对问题“关于x的不等式在上恒成立, 求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说: “只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说: “把不等式变形为左边含变量x的函数, 右边仅含常数, 求函数的最值”.丙说: “把不等式两边看成关于x的函数, 作出函数的图像”.参考上述解题思路, 你