湖北省襄阳市高一数学下学期期末试卷（含解析）.docVIP

2015-2016学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题12sin15cos15=（）abcd2不等式x23x40的解集为（）ax|x1或x4bx|x1或x4cx|1x4dx|1x43若ba0，则下列不等式中一定成立的是（）ababbacbadba4已知tan（+）=2，tan（）=3，则tan（）=（）a1bcd15已知等差数列an的前n项和为sn，a1=11，a5+a6=4，sn取得最小值时n的值为（）a6b7c8d96棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）ab4cd37若不等式x2ax+a0在（1，+）上恒成立，则实数a的取值范围是（）a0，4b4，+）c（，4）d（，48某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为5米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗正好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）a0.1米/秒b0.3米/秒c0.5米/秒d0.7米/秒9已知数列an对任意的p，qn*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）a165b33c30d2110已知a，b，c均为直线，为平面下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面，则平面内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a，b，c，必存在与a，b，c都相交的直线；（3），a，b，必存在与a，b都垂直的直线；（4），=c，a，b，若a不垂直c，则a不垂直b其中真命题的个数为（）a1b2c3d411若a1，则的最小值是（）a1b2c3d412已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2016项a2016=（）abcd二、填空题13已知数列an是等比数列，a9是1和3的等差中项，则a2a16=14将长、宽分别为4和3的长方形abcd沿对角线ac折起，得到四面体abcd，则四面体abcd的外接球的体积为15已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则f（x）的最大值是16下列命题：设a，b是非零实数，若ab，则ab2a2b；若ab0，则；函数y=的最小值是2；若x、y是正数，且+=1，则xy有最小值16其中正确命题的序号是三、解答题17已知数列an是各项均为正的等比数列，a1=2，a2+a3=24；数列bn是公差不为0的等差数列，b1，b2，b5成等比数列，b1+b2+b5=13（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和sn18已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosx1（1）求使f（x）0成立的x的取值集合；（2）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a为锐角，a=3，c=6，f（a）是函数f（x）在0，上的最大值，求abc的面积19如图，四棱锥vabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，e、f分别为ab、vc的中点（1）求证：ef平面vad；（2）求二面角vabc的大小20在三棱锥pabc中，pa平面abc，abc是正三角形，d是bc的中点，m、n分别为线段pb、pc上的点，mnbc（1）求证：平面pad平面pbc；（2）若pa=ad，当点a到直线mn的距离最小时，求三棱锥pamn与三棱锥pabc的体积之比21已知数列an的各项均为正，a1=2，sn是它的前n项和，且sn=pan2+2pan（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和tn；（3）求证：22为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x，宽为y，整个矩形花园面积为s（1）试用x，y表示s；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？2015-2016学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题12sin15cos15=（）abcd【考点】二倍角的正弦【分析】直接利用二倍角的正弦函数化简求值即可【解答】解：2sin15cos15=sin30=故选：a2不等式x23x40的解集为（）ax|x1或x4bx|x1或x4cx|1x4dx|1x4【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据二次函数y=x23x4的图象开口方向朝上，故可得不等式解集应为函数y=x23x4两个零点的两侧，进而得到答案【解答】解：解方程x23x4=0得：x=1，或x=4，故不等式x23x40的解集为：（，1）（4，+），故选：a3若ba0，则下列不等式中一定成立的是（）ababbacbadba【考点】不等式的基本性质【分析】根据不等式的性质及基本不等式对进行判断，得出正确选项【解答】解：由题意ba0，可得b，a，又由基本不等式可得，且=a对比四个选项可得ba，故选：d4已知tan（+）=2，tan（）=3，则tan（）=（）a1bcd1【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用两角差的正切公式，求得tan（）的值【解答】解：tan（+）=2，tan（）=3，则tan（）=tan（）+=tan（+）（）=1，故选：d5已知等差数列an的前n项和为sn，a1=11，a5+a6=4，sn取得最小值时n的值为（）a6b7c8d9【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性【分析】【解法一】求出an的通项公式an，在an0时，前n项和sn取得最小值，可以求出此时的n；【解法二】求出an的前n项和sn的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值【解答】解：【解法一】在等差数列an中，设公差为d，a1=11，a5+a6=4，（a1+4d）+（a1+5d）=22+9d=4；d=2，an=a1+（n1）d=11+2（n1）=2n13，由2n130，得n，当n=6时，sn取得最小值；【解法二】在等差数列an中，设公差为d，a1=11，a5+a6=4，（a1+4d）+（a1+5d）=22+9d=4，d=2，前n项和sn=na1+=11n+=n212n，当n=6时，sn取得最小值；故选：a6棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）ab4cd3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：e、f都是侧棱的中点，上、下两部分的体积相等，几何体的体积v=23=4故选b7若不等式x2ax+a0在（1，+）上恒成立，则实数a的取值范围是（）a0，4b4，+）c（，4）d（，4【考点】二次函数的性质【分析】将不等式x2ax+a0在（1，+）上恒成立转化为a在（1，+）上恒成立，运用基本不等式求出的最小值即可【解答】解：不等式x2ax+a0在（1，+）上恒成立，a在（1，+）上恒成立，即a，=（x1）+22+2=4，当且仅当x=2时，取得最小值4a=4故选：d8某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为5米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗正好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）a0.1米/秒b0.3米/秒c0.5米/秒d0.7米/秒【考点】解三角形的实际应用【分析】先画出示意图，根据题意可求得aec和ace，则eac可求，然后利用正弦定理求得ac，最后在rtabc中利用ab=acsinacb求得答案【解答】解：如图所示，依题意可知aec=45，ace=1806015=105，eac=18045105=30，由正弦定理可知=，ac=10米，在rtabc中，ab=acsinacb=10=15米，国歌长度约为50秒，=0.3故答案为：0.39已知数列an对任意的p，qn*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）a165b33c30d21【考点】数列的概念及简单表示法【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，qn*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的【解答】解：a4=a2+a2=12，a8=a4+a4=24，a10=a8+a2=30，故选c10已知a，b，c均为直线，为平面下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面，则平面内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a，b，c，必存在与a，b，c都相交的直线；（3），a，b，必存在与a，b都垂直的直线；（4），=c，a，b，若a不垂直c，则a不垂直b其中真命题的个数为（）a1b2c3d4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间线线关系和线面关系定理对四个命题分别分析解答【解答】解：对于（1），任意给定一条直线a与一个平面，根据线面垂直的性质或者所以定理可以得到，平面内必存在与a垂直的直线；（1）正确；对于（2），当ab，且a，b，c时，结论不成立；故（2）错误；对于（3），a，b，只要与平面垂直的直线，必与直线a，b垂直；所以必存在与a，b都垂直的直线；（3）正确；对于（4），若bcbba，故（4）错误故真命题的个数为2个；故选：b11若a1，则的最小值是（）a1b2c3d4【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a1，a+10=1+a+1+1+2=3，当且仅当a=1取等号，故的最小值是3，故选：c12已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2016项a2016=（）abcd【考点】数列的概念及简单表示法【分析】观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+k=（kn*），在每一个k段内是k个分数（kn*，k3），且它们的分子分母和为k+1；进而求出第2016项即可【解答】解：观察数列：，得出：它的项数是1+2+3+k=（kn*），并且在每一个k段内，是，（kn*，k3）；令2016（kn*），得=2016；又第n组是由分子、分母之和为n+1知：2016项位于倒数第1个数，该数列的第2016项为a2016=故选：a二、填空题13已知数列an是等比数列，a9是1和3的等差中项，则a2a16=4【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等差数列的性质可得：2a9=1+3，解得a9，又a2a16=，即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a9是1和3的等差中项，2a9=1+3，解得a9=2由等比数列的性质可得：a2a16=4，故答案为：414将长、宽分别为4和3的长方形abcd沿对角线ac折起，得到四面体abcd，则四面体abcd的外接球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形abcd沿对角线ac的一半，求出球的半径即可求出球的表面积【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，长宽分别为3和4的长方形abcd沿对角线ac折起二面角，得到四面体abcd，则四面体abcd的外接球的半径，是ac=所求球的体积为：=故答案为：15已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则f（x）的最大值是【考点】三角函数的最值【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的最值求得f（x）的最大值【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故当sin（2x+）=1时，函数f（x）取得最大值为，故答案为：16下列命题：设a，b是非零实数，若ab，则ab2a2b；若ab0，则；函数y=的最小值是2；若x、y是正数，且+=1，则xy有最小值16其中正确命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】的结论不成立，举出反例即可；由同号不等式取倒数法则，知，知成立；函数y=2的前提条件是=1，由2，知函数y=的最小值不是2；由x、y是正数，且+=1，知，故xy16【解答】解：设a，b是非零实数，若ab，则ab2a2b，此结论不成立，反例：令a=10，b=1，则ab2=10a2b=100，故不成立；若ab0，由同号不等式取倒数法则，知，故成立；函数y=2的前提条件是=1，2，函数y=的最小值不是2，故不正确；x、y是正数，且+=1，xy16，故正确故答案为：三、解答题17已知数列an是各项均为正的等比数列，a1=2，a2+a3=24；数列bn是公差不为0的等差数列，b1，b2，b5成等比数列，b1+b2+b5=13（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设数列an的公比为q（q0），由a2+a3=24得：2q+2q2=24，解得：q=3或q=4（舍去），设数列bn的公差为d（d0），由已知，解得：d=0（舍去）或d=2，这时b1=1，bn=2n1，（2）：设数列an的前n项和为tn，则，设数列bn的前n项和为ln，则，另解：sn=（a1+a2+an）（b1+b2+bn）=18已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x）+cosx1（1）求使f（x）0成立的x的取值集合；（2）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a为锐角，a=3，c=6，f（a）是函数f（x）在0，上的最大值，求abc的面积【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，由，根据正弦函数的图象和性质即可解得满足条件的x的取值集合（2）由已知可求，利用正弦函数的图象和性质可求a，利用余弦定理可求b，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1），=，由f （x）0得：，即，故满足条件的x的取值集合是（2）由x0，得：又a为锐角，当，即时，函数f （x）取最大值，由余弦定理得：，b=3，19如图，四棱锥vabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，e、f分别为ab、vc的中点（1）求证：ef平面vad；（2）求二面角vabc的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）取vd中点m，连结am、mf，推导出四边形aefm是平行四边形，从而efam，由此能证明ef平面vad（2）取cd中点n，则enab，连结ve，vn，则veab，ven是二面角vabc的平面角，由此能求出二面角vabc的大小【解答】证明：（1）取vd中点m，连结am、mf，m、f分别是vd、vc中点，mfab，且，四边形aefm是平行四边形，efam又am平面vad，ef平面vad，ef平面vad解：（2）取cd中点n，则enab，连结ve，vn，va=vb，e是ab中点，veab，ven是二面角vabc的平面角，ve=vn=2，en=ad=2，ven=60即二面角vabc的大小为6020在三棱锥pabc中，pa平面abc，abc是正三角形，d是bc的中点，m、n分别为线段pb、pc上的点，mnbc（1）求证：平面pad平面pbc；（2）若pa=ad，当点a到直线mn的距离最小时，求三棱锥pamn与三棱锥pabc的体积之比【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可（2）根据三棱锥的体积关系进行转化求解即可【解答】（1）解：abc是正三角形，且d是bc中点adbc，又pa平面abc，pabc，pa、ad在平面pad内且相交于abc平面pad又bc在平面pbc内，平面pad平面pbc（2）解：mnbc，bc平面padmn平面pad，设mn交pd于r，连结ar，则armn，ar是点a到直线mn的距离在rtpad中，当arpd时，ar最小mn、pd都在平面pbc内，ar平面abcpa=ad，r是pd中点故21已知数列an的各项均为正，a1=2，sn是它的前n项和，且sn=pan2+2pan（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和tn；（3）求证：【考点】数列的应用；数列的求和【分析】（1）当n=1时，求得p的值，当n2时，sn1=an12+an1（nn*），与sn=an2+an（nn*）两式相减，整理得（an+an1）（anan12）=0，由an+an10，anan1=2，数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列an的通项公式；（2）写出an2n的通项公式，利用乘以公比错位相减法，即可求得tn；（3）采用数学归纳法证明，根据数学归纳法步骤，当n=1时， =2，成立，假设当n=k时成立，整理得，当n=k+1时，化简整理即可得到【解答】解：（1）