湖南省湘东五校高二数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

2016-2017学年湖南省湘东五校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=0，1，b=z|z=x+y，xa，ya，则b的子集个数为（）a3b4c7d82已知复数z满足（2i）z=5，则在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，则输出的n=（）a2b3c4d54已知数列an为等比数列，且a3=4，a7=16，则a5=（）a8b8c64d645设a，br，则“0”是“ab”的（）条件a充分而不必要b必要而不充分c充要d既不充分也不必要6已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，当x（0，+）时，f（x）=log2x，若a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）aabcbbacccabdacb7若（，），则3cos2=cos（+），则sin2的值为（）abcd8若直线=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）a2b3c4d59f（x）=acos（x+）（a，0）的图象如图所示，为得到g（x）=asin（x+）的图象，可以将f（x）的图象（）a向右平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向左平移个单位长度10如图，三棱锥pabc中，pbba，pcca，且pc=2ca=2，则三棱锥pabc的外接球表面积为（）a3b5c12d2011已知f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，过f2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点m，若f1mf2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）ab（，+）c（1，2）d（2，+）12已知函数f（x）=（a0且a1）的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的范围是（）a（0，）b（，1）c（，1）d（0，）二、填空题（每题5分，共20分）13已知=（1，1），=（1，2），则（2+）= 14已知实数x，y满足线性约束条件，若x2ym恒成立，则实数m的取值范围是 15已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2b=2sinasinc则cosb= 16已知f是抛物线x2=4y的焦点，p是抛物线上的一个动点，且a的坐标为（0，1），则的最小值等于 三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题各12分，选做题10分，共70分）1*17已知数列an的前n项的和为sn，且sn+an=1（nn*）（1）求an的通项公式；（2）设bn=log3（1sn），设cn=，求数列cn的前n项的和tn18随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝（i）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；（）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？附：p（k2k0）0.40.250.150.10 k00.7081.3232.072 2.70619如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为梯形，adbc，ab=bc=cd=1，da=2，dp平面abp，o，m分别是ad，pb的中点（）求证：pd平面ocm；（）若ap与平面pbd所成的角为60，求线段pb的长20已知椭圆e： =1的离心率为，点f1，f2是椭圆e的左、右焦点，过f1的直线与椭圆e交于a，b两点，且f2ab的周长为8（1）求椭圆e的标准方程；（2）动点m在椭圆e上，动点n在直线l：y=2上，若omon，探究原点o到直 线mn的距离是否为定值，并说明理由21已知f（x）=lnxax+1，其中a为常实数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1时，求证：f（x）0；（3）当n2，且nn*时，求证：2四、解答题（共1小题，满分10分）22在直角坐标系xoy中，直线l过点m（3，4），其倾斜角为45，圆c的参数方程为再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位（1）求圆c的极坐标方程；（2）设圆c与直线l交于点a、b，求|ma|mb|的值五、解答题（共1小题，满分0分）23已知函数f（x）=|xa|+|x+2|（1）当a=3时，求不等式f（x）7的解集；（2）若f（x）x+4的解集包含，求实数a的取值范围2016-2017学年湖南省湘东五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=0，1，b=z|z=x+y，xa，ya，则b的子集个数为（）a3b4c7d8【考点】15：集合的表示法【分析】先求出集合b中的元素，从而求出其子集的个数【解答】解：由题意可知，集合b=z|z=x+y，xa，ya=0，1，2，则b的子集个数为：23=8个，故选：d2已知复数z满足（2i）z=5，则在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、几何意义即可得出【解答】解：复数z满足（2i）z=5，（2+i）（2i）z=5（2+i），z=2+i，=2i，则在复平面内对应的点（2，1）位于第四象限故选：d3宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，则输出的n=（）a2b3c4d5【考点】ef：程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，a=3+=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=+=，b=8，不满足进行循环的条件，故输出的n值为2，故选：a4已知数列an为等比数列，且a3=4，a7=16，则a5=（）a8b8c64d64【考点】88：等比数列的通项公式【分析】由等比数列通项公式知=a3a7，且=4q20，由此能求出a5的值【解答】解：数列an为等比数列，且a3=4，a7=16，=a3a7=（4）（16）=64，且=4q20，a5=8故选：b5设a，br，则“0”是“ab”的（）条件a充分而不必要b必要而不充分c充要d既不充分也不必要【考点】2l：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由0得a0且0，即a0且ab0，则a0且ab，则ab成立，即充分性成立，反之不成立，则“0”是“ab”的充分不必要条件，故选：a6已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，当x（0，+）时，f（x）=log2x，若a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）aabcbbacccabdacb【考点】3n：奇偶性与单调性的综合【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数，进而可得a=f（3）=f（3），由对数函数的性质可得f（x）在区间（0，+）上为增函数，分析可得f（）f（2）f（3），即可得答案【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）为偶函数，则有a=f（3）=f（3），当x（0，+）时，f（x）=log2x，则f（x）在区间（0，+）上为增函数，又由23，则有f（）f（2）f（3），即acb，故选：d7若（，），则3cos2=cos（+），则sin2的值为（）abcd【考点】gp：两角和与差的余弦函数；gs：二倍角的正弦【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简可得3（cos+sin）（cossin）=（cossin），由范围（，），可得：cossin0，从而可求cos+sin=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解【解答】解：3cos2=cos（+），3（cos+sin）（cossin）=（cossin），（，），可得：cossin0，cos+sin=，两边平方可得：1+sin2=，解得：sin2=故选：d8若直线=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）a2b3c4d5【考点】7g：基本不等式在最值问题中的应用【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可【解答】解：直线=1（a0，b0）过点（1，1），+=1（a0，b0），所以a+b=（+）（a+b）=2+2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，a+b最小值是4，故选：c9f（x）=acos（x+）（a，0）的图象如图所示，为得到g（x）=asin（x+）的图象，可以将f（x）的图象（）a向右平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向左平移个单位长度【考点】hj：函数y=asin（x+）的图象变换【分析】由函数的最值求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数f（x）的解析式再根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由题意可得a=1， t=，解得=2，f（x）=acos（x+）=cos（2x+）再由五点法作图可得 2+=，=，f（x）=cos（2x）=cos2（x），g（x）=sin（2x+）=cos（2x+）=cos2（x+），而（）=，故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，故选：d10如图，三棱锥pabc中，pbba，pcca，且pc=2ca=2，则三棱锥pabc的外接球表面积为（）a3b5c12d20【考点】lg：球的体积和表面积；l7：简单空间图形的三视图【分析】由已知得pa是三棱锥pabc的外接球的直径，由此能求出三棱锥pabc的外接球的表面积【解答】解：三棱锥pabc中，pbba，pcca，且pc=2，ca=1，acbc，pa是三棱锥pabc的外接球的直径，pa=，半径为：，三棱锥pabc的外接球的表面积为：s=4=5故选：b11已知f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，过f2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点m，若f1mf2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）ab（，+）c（1，2）d（2，+）【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】可得m，f1，f2的坐标，进而可得，的坐标，由0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，结合离心率的定义可得范围【解答】解：联立，解得，m（，），f1（c，0），f2（c，0），=（，），=（，），由题意可得0，即0，化简可得b23a2，即c2a23a2，故可得c24a2，c2a，可得e=2故选d12已知函数f（x）=（a0且a1）的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的范围是（）a（0，）b（，1）c（，1）d（0，）【考点】3l：函数奇偶性的性质【分析】求出函数f（x）=sin（x）1，（x0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若x0，则x0，x0时，f（x）=sin（x）1，f（x）=sin（x）1=sin（x）1，则若f（x）=sin（x）1，（x0）关于y轴对称，则f（x）=sin（x）1=f（x），即y=sin（x）1，x0，设g（x）=sin（x）1，x0，作出函数g（x）的图象，要使y=sin（x）1，x0与f（x）=logax，x0的图象至少有3个交点，如图，则0a1且满足g（5）f（5），即2loga5，即loga5logaa2，则5，解得0a，故选：a二、填空题（每题5分，共20分）13已知=（1，1），=（1，2），则（2+）=1【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可【解答】解： =（1，1），=（1，2），则2+=（1，0）（2+）=1+0=1故答案为：114已知实数x，y满足线性约束条件，若x2ym恒成立，则实数m的取值范围是（，6【考点】7c：简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的意义，转化求解目标函数的最小值，求出m的范围即可【解答】解：实数x，y满足线性约束条件的可行域如图：若x2ym恒成立，则m小于等于x2y的最小值平移直线x2y=0可知：直线经过可行域的b时，目标函数取得最小值，由可得b（2，4），则x2y的最小值为：28=6，可得m6给答案为：（，615已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2b=2sinasinc则cosb=【考点】ht：三角形中的几何计算【分析】由正弦定理得b2=2ac，从而a=b=2c，由此利用余弦定理能求出cosb【解答】解：abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2b=2sinasinc，由正弦定理得b2=2ac，a=b=2c，cosb=故答案为：16已知f是抛物线x2=4y的焦点，p是抛物线上的一个动点，且a的坐标为（0，1），则的最小值等于【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】过点p作pm垂直于准线，m为垂足，则由抛物线的定义可得|pf|=|pm|，则=sinpam，pam为锐角，当pa和抛物线相切时最小；利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值【解答】解：由题意可得，抛物线x2=4y的焦点f（0，1），准线方程为y=1过点p作pm垂直于准线，m为垂足，则由抛物线的定义可得|pf|=|pm|，则=sinpam，pam为锐角；所以当pam最小时，最小，即当pa和抛物线相切时，最小设切点p（2，a），由y=x2的导数为y=x，则pa的斜率为k=2=，求得a=1，可得p（2，1），|pm|=2，|pa|=2，sinpam=，则的最小值等于故答案为：三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题各12分，选做题10分，共70分）1*17已知数列an的前n项的和为sn，且sn+an=1（nn*）（1）求an的通项公式；（2）设bn=log3（1sn），设cn=，求数列cn的前n项的和tn【考点】8e：数列的求和；8h：数列递推式【分析】（1）运用数列的递推式：a1=s1，n2，nn*，an=snsn1，结合等比数列的定义和通项公式即可得到所求通项；（2）sn=1an=1（）n，bn=log3（1sn）=log3（）n=n，cn=，由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和【解答】解：（1）sn+an=1（nn*）可得a1=s1，即有a1+a1=1，可得a1=，当n2，nn*，即有sn1+an1=1，an=snsn1，可得snsn1+anan1=0，即有an=an1，则an=a1qn1=（）n1=2（）n，nn*；（2）sn+an=1可得sn=1an=1（）n，bn=log3（1sn）=log3（）n=n，cn=，前n项的和tn=+=18随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝（i）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；（）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？附：p（k2k0）0.40.250.150.10 k00.7081.3232.072 2.706【考点】bk：线性回归方程【分析】（i）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式计算概率；（ii）计算k2，与2.072比较大小得出结论【解答】解：（）7=2在抽取7个宝宝中，出生在市第一医院的二孩宝宝由2人，出生在市妇幼保健院的二孩宝宝有1人从7个宝宝中随机抽取2个的可能事件共有=21个，其中两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的基本事件有=2个两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率p=（）列联表如下：一孩二孩合计第一医院202040妇幼保健院201030合 计403070，故没有85%的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为梯形，adbc，ab=bc=cd=1，da=2，dp平面abp，o，m分别是ad，pb的中点（）求证：pd平面ocm；（）若ap与平面pbd所成的角为60，求线段pb的长【考点】ls：直线与平面平行的判定；mi：直线与平面所成的角【分析】（）连接bd交oc与n，连接mn证明mnpd然后证明pd平面ocm（）通过计算证明abbdabpd推出ab平面bdp，说明apb为ap与平面pbd所成的角，然后求解即可【解答】（本小题满分15分）解：（）连接bd交oc与n，连接mn因为o为ad的中点，ad=2，所以oa=od=1=bc又因为adbc，所以四边形obcd为平行四边形，所以n为bd的中点，因为m为pb的中点，所以mnpd又因为mn平面ocm，pd平面ocm，所以pd平面ocm（）由四边形obcd为平行四边形，知ob=cd=1，所以aob为等边三角形，所以a=60，所以，即ab2+bd2=ad2，即abbd因为dp平面abp，所以abpd又因为bdpd=d，所以ab平面bdp，所以apb为ap与平面pbd所成的角，即apb=60，所以 20已知椭圆e： =1的离心率为，点f1，f2是椭圆e的左、右焦点，过f1的直线与椭圆e交于a，b两点，且f2ab的周长为8（1）求椭圆e的标准方程；（2）动点m在椭圆e上，动点n在直线l：y=2上，若omon，探究原点o到直 线mn的距离是否为定值，并说明理由【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】（1）根据题意列出方程组求出a、b的值，写出椭圆e的标准方程；（2）直线on的斜率不存在，计算原点o到直线mn的距离d的值；直线on的斜率存在，设出直线om、on的方程，求出点m、n，计算|mn|2、|om|2、|on|2，求出原点o到直线mn的距离d，即可得出结论【解答】解：（1）椭圆e： =1的离心率为，且f2ab的周长为8，所以，解得a=2，b=，所以椭圆e的标准方程为+=1；（2）若直线on的斜率不存在，则|om|=2，|on|=2，|mn|=4，所以原点o到直线mn的距离为d=；若直线on的斜率存在，设直线om方程为y=kx，代入+=1，解得x2=，y2=；则直线on的方程为y=x，代入y=2，解得n（2k，2）；所以|mn|2=|om|2+|on|2=（+）+（12k2+12）=；设原点o到直线mn的距离为d，则|mn|d=|om|on|，得d2=3，所以d=；综上，原点o到直线mn的距离为定值21已知f（x）=lnxax+1，其中a为常实数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1时，求证：f（x）0；（3）当n2，且nn*时，求证：2【考点】6b：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而证明结论；（3）根据lnnn1通过赋值，得到s=+，求出s，错位相减证明结论即可【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=a，a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，a0时，令f（x）=0，解得：x=，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；（2）a=1时，由（1）f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故f（x）max=f（1）=0，故f（x）0；（3）由（2）得：n2且nn*时，lnnn1，于是+，令s=+，则s=+，错位相减得：s=2，则s2，故+