湖南省益阳市高二数学上学期期末试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1sin750的值是（）abcd2在等差数列an中，a1+a5+a9=12，则它的前9项和s9等于（）a9b18c36d723下列有关命题的说法中正确的是（）a若命题“pq”为假，则“pq”也为假b命题“x0r，x+x0+10”的否定是“xr，x2+x+10”c命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：20，40），40，60），60，80），80，100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（）a50b54c60d645已知向量，满足：|=3，|=2，|+|=4，则=（）ab10cd36执行如图所示的程序框图，则输出的结果s是（）a15b105c126d9457抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）abc1d8函数y=2sin（x+）的部分图象如图所示，则，可以取的一组值是（）a=2，=b=2，=c=2，=d=1，=9在区间0，2上随机取一个数x，则事件“cosx”发生的概率为（）abcd10以q为公比的等比数列an中，a10，则“a1a3”是“q1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件11已知o是坐标原点，点a（1，1），若点m（x，y）为平面区域内的一个动点，则的取值范围是（）a1，0b1，2c0，1d0，212在r上定义运算：xy=x（1y）若不等式（xa）（x+a）1对任意实数x成立，则（）a1a1b0a2cd二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是14已知a0，b0，且+=1，则ab的最小值为15已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为16已知直线y=k（x+3）（k0）与抛物线c：y2=12x相交于a，b两点，f为c的焦点，若|fa|=3|fb|，则k的值等于三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos2x（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）求f（x）的单调递减区间18某厂通过技术改造降低了产品a对重要原材料g的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品a的过程记录的产量x（吨）与原材料g相应的消耗量y（吨）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 1.6 2.2 3.0 3.4（1）请在图a中画出如表数据的散点图；（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨产品a需要消耗原材料g多少吨？参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式： =， =19如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，abc=90，ab=bc=2，pa=ad=4（1）求证：cd平面pac；（2）求二面角cpda的余弦值20在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且b（tana+tanb）=2ctanb（1）求角a；（2）若a=2，c=2，求abc的面积s21已知数列an中，2an+1an+1an+a=4，sn为它的前n项和，且s1，s2，s4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=an3n，求数列bn的前n项和tn22在平面直角坐标系xoy中，动点p到点a（1，0）及点b（1，0）的距离之和为4，且直线l：y=kx+2与p点的轨迹c有两个不同的交点m，n（1）求k的取值范围；（2）设轨迹c于y轴的负半轴交于点q，求mnq的面积的最大值及对应的k值2015-2016学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1sin750的值是（）abcd【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果【解答】解：sin750=sin（2360+30）=sin30=故选：a【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键2在等差数列an中，a1+a5+a9=12，则它的前9项和s9等于（）a9b18c36d72【分析】由于数列an为等差数列，且a1+a5+a9=12，可得3a5=12，解得a5则它的前9项和s9=9a5【解答】解：由于数列an为等差数列，且a1+a5+a9=12，3a5=12，解得a5=4则它的前9项和s9=9a5=36故选；c【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3下列有关命题的说法中正确的是（）a若命题“pq”为假，则“pq”也为假b命题“x0r，x+x0+10”的否定是“xr，x2+x+10”c命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】a根据复合命题的真假关系 进行判断b根据含有量词的命题的否定进行判断c根据否命题的定义进行判断d根据逆否命题的等价性进行判断【解答】解：a若命题“pq”为假，当p假q真，满足条件，但“pq”为真，故a错误，b命题“x0r，x+x0+10”的否定是“xr，x2+x+10”，故b错误，c命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，故c错误，d若x=y，则sinx=siny，则原命题正确，则逆否命题也为真命题故d正确，故选：d【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，否命题以及四种命题的真假关系，比较基础4某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：20，40），40，60），60，80），80，100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（）a50b54c60d64【分析】根据频率分布直方图，求出得分低于60分的频率，再求该班的学生人数【解答】解：由频率分布直方图知，得分低于60分的频率为（0.005+0.01）20=0.3，低于60分的人数是18，该班的学生人数是=60故选：c【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图求出频率，是基础题5已知向量，满足：|=3，|=2，|+|=4，则=（）ab10cd3【分析】根据向量的数量积运算和向量模即可求出【解答】解：|=3，|=2，|+|=4，|+|2=|2+|2+2=16，2=3，|2=|2+|22=9+43=10，|=，故选：a【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题6执行如图所示的程序框图，则输出的结果s是（）a15b105c126d945【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当i=1时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=3，s=1，i=2；当i=2时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=5，s=15，i=3；当i=3时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=7，s=105，i=4；当i=4时，满足退出的循环的条件，故输出的s值为105，故选：b【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）abc1d【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点f（1，0）由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离【解答】解：抛物线方程为y2=4x2p=4，可得=1，抛物线的焦点f（1，0）又双曲线的方程为a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=，即y=x，化成一般式得：因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=故选：b【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8函数y=2sin（x+）的部分图象如图所示，则，可以取的一组值是（）a=2，=b=2，=c=2，=d=1，=【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数y=2sin（x+）的部分图象，可得=，求得=2，再根据五点法作图可得2+=0，求得=，故选：a【点评】本题主要考查由y=asin（x+）的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题9在区间0，2上随机取一个数x，则事件“cosx”发生的概率为（）abcd【分析】先求出不等式cosx对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：0x2，cosx，0x或x2，则对应的概率p=，故选：b【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键10以q为公比的等比数列an中，a10，则“a1a3”是“q1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：在等比数列中，若a1a3，则a1a1q2，a10，q21，即q1或q1若q1，则a1q2a1，即a1a3成立，“a1a3”是“q1”成立的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键11已知o是坐标原点，点a（1，1），若点m（x，y）为平面区域内的一个动点，则的取值范围是（）a1，0b1，2c0，1d0，2【分析】由约束条件作出可行域，由数量积的坐标表示可得目标函数z=x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，a（0，2），联立，解得b（1，1），由z=x+y，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z分别过a和b时，z有最大值和最小值，分别为2，0，的取值范围是0，2故选：d【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12在r上定义运算：xy=x（1y）若不等式（xa）（x+a）1对任意实数x成立，则（）a1a1b0a2cd【分析】此题新定义运算：xy=x（1y），由题意（xa）（x+a）=（xa）（1xa），再根据（xa）（x+a）1，列出不等式，然后把不等式解出来【解答】解：（xa）（x+a）1（xa）（1xa）1，即x2xa2+a+10任意实数x成立，故=14（a2+a+1）0，故选c【点评】此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是560【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可【解答】解：设该校的女生人数x，则男生人数为1200x，抽样比例为=，女生比男生少抽了10，x=（1200x）10，解得x=560，故答案为：560【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键14已知a0，b0，且+=1，则ab的最小值为8【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b0，且+=1，1，化为ab8，当且仅当a=2，b=4时取等号则ab的最小值为8故答案为：8【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为【分析】先由题设条件求出椭圆的a，c的关系，从而得到a和 b的关系，再利用双曲线的a和b关系求出双曲线的离心率【解答】解：由题设条件可知椭圆的离心率为，不妨设a=2c=1，b=或设b=2c=1，a=当a=2c=1，b=时，双曲线的a=2b=c=则双曲线的离心率为e=当b=2c=1，a=时，双曲线的b=2a=c=则双曲线的离心率为e=故答案为：【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行注意要考虑双曲线的焦点坐标的两种情况16已知直线y=k（x+3）（k0）与抛物线c：y2=12x相交于a，b两点，f为c的焦点，若|fa|=3|fb|，则k的值等于【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2）联立方程化为k2x2+（6k212）x+9k2=0，（k0）可得根与系数的关系，利用焦点弦与抛物线的定义可得：|fa|=x1+3，|fb|=x2+3，利用|fa|=3|fb|，联立解出即可【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2）联立直线y=k（x+3）（k0）与抛物线c：y2=12x，化为k2x2+（6k212）x+9k2=0，（k0）x1+x2=6，x1x2=9|fa|=3|fb|，|fa|=x1+3，|fb|=x2+3，x1+3=2（x2+3），化为x1=2x2+3联立，解得k=故答案为：【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos2x（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）求f（x）的单调递减区间【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+1，利用周期公式可求最小正周期，由正弦函数的图象和性质即可得解最大值（2）由2k+2x2k+，kz，即可解得f（x）的单调递减区间【解答】（本题满分为10分）解：（1）f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos2x=sin2x+sinxcosx+cos2x=sin2x+1，f（x）的最小正周期t=，最大值为：；5分（2）f（x）=sin2x+1，由2k+2x2k+，kz，解得f（x）的单调递减区间为：k+，k，kz10分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查18某厂通过技术改造降低了产品a对重要原材料g的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品a的过程记录的产量x（吨）与原材料g相应的消耗量y（吨）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 1.6 2.2 3.0 3.4（1）请在图a中画出如表数据的散点图；（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨产品a需要消耗原材料g多少吨？参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式： =， =【分析】（1）以x为横坐标，y为纵坐标描点；（2）根据线性回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（3）把x=50代入线性回归方程得出估计值【解答】解：（1）作出散点图如下：（2）=4.5， =2.55=31.6+42.2+53.0+63.4=49， =32+42+52+62=86，=0.62， =2.550.624.5=0.24y关于x的线性回归方程为=0.62x0.24（3）当x=50时， =0.62500.24=30.76答：预测生产50吨产品a需要消耗原材料g30.76吨【点评】本题考查了线性回归方程的求解，属于基础题19如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，abc=90，ab=bc=2，pa=ad=4（1）求证：cd平面pac；（2）求二面角cpda的余弦值【分析】（1）推导出cdpa，cdac，由此能证明cd平面pac（2）以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角cpda的余弦值【解答】证明：（1）pa平面abcd，cd平面abcd，cdpa，adbc，abc=90，ab=bc=2，pa=ad=4，bcd=135，bca=45，acd=90，cdac，paac=a，cd平面pac解：（2）以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴，建立空间直角坐标系，a（0，0，0），p（0，0，4），c（2，2，0），d（0，4，0），=（2，2，4），=（0，4，4），设平面pcd的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，1），平面pda的法向量=（1，0，0），设二面角cpda的平面角为，则cos=二面角cpda的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且b（tana+tanb）=2ctanb（1）求角a；（2）若a=2，c=2，求abc的面积s【分析】（1）由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosa=，可得a=；（2）由正弦定理可得sinc，再由同角三角函数基本关系可得cosc，再由两角和的正弦公式可得sinb，代入三角形的面积公式计算可得【解答】解：（1）在abc中b（tana+tanb）=2ctanb，由正弦定理可得sinb（tana+tanb）=2sinctanb，sinb（tana+tanb）=2sinc，cosb（tana+tanb）=2sinc，cosb（+）=2sinc，cosb=2sinc，cosb=2sinc，解得cosa=，a=；（2）a=2，c=2，a=，ca，由正弦定理可得sinc=，cosc=，sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc=+=abc的面积s=acsinb=3【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属中档题21已知数列an中，2an+1an+1an+a=4，sn为它的前n项和，且s1，s2，s4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=an3n，求数列bn的前n项和tn【分析】（1）通过对2an+1an+1an+a=4变形可知（2an）an+1=（2an）（2+an），进而分an=2或an+1=an+2两种情况讨论即可；（2）通过（1）可知an=2或an=2n1，当an=2时直接利用等比数列的求和公式计算即得结论；当an=2n1时可知bn=（2n1）3n，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）2an+1an+1an+a=4，（2an）an+1=（2an）（2+an），2an=0或an+1=2+an，即an=2或an+1=an+2，当an=2时，显然满足题意；当an+1=an+2时，由s1，s2，s4成等比数列，可知=a1（4a1+12），解得：a1=1，an=1+2（n1）=2n1；综上