经济数学基础(第2版)

3 1定积分概念与性质 经济数学基础第2版 书名 经济数学基础第2版书号 978 7 111 56864 3作者 邱香兰出版社 机械工业出版社 确定曲边梯形面积的做法直观易懂 其要点为 把曲边梯形沿着平行于轴的方向切割成若干个窄窄的长条 每个长条被近似地视为矩形 而矩形面积等于底乘高 这些矩形面积之和便是曲边梯形面积的近似值 容易理解 长条越窄 精确度越高 当我们无限地加密时 近似值便应当趋于面积的精确值A 2 定积分的定义定义设函数在区间上有界 用分点把区间分成个小区间 其长度为在每个小区间上任取一点 并作函数值与小区间长度的乘积相加后得到和式 称为黎曼和 记当时 如果黎曼和的极限存在 而且此极限值与区间的分法及的取法无关 则称函数在区间上可积 称所得极限值为函数在区间上的定积分 记为即其中和分别称为定积分的下限和上限 称为积分区间 称为积分变量 称为被积函数 称为被积表达式 以上定义是德国数学家黎曼于1854年严格给定的 故也称黎曼和定义 关于此定义 我们还须作几点说明 1 两个要素 定积分的结果是一个常数 这个常数的大小取决于两个要素 被积函数和积分区间 与积分表示式的变量采用的字母无关 即 2 几何意义 由曲边梯形的面积问题及定义可知 闭区间上非负函数的定积分表示由曲线 轴 直线与所围的曲边梯形的面积 特别地 当被积函数为1 或积分区间长度为0时 便有在理论问题中 有时候并不能确定积分上限和积分下限的大小关系 因此我们也容许积分下限大于积分上限 并约定以下转换公式 3 1 2定积分的性质性质1分项积分法其中为任意两个常数 这一性质表明常数因子可以从积分中提出来 以及两个函数的和的积分等于积分之和 性质2分段积分法这一性质表明 见图3 1 6 使用定积分表示的量具有可加 性 整体等于部分之和 性质3定积分的比较若则这一性质表明定积分可以保持被积函数的大小关系 结合 几何意义和图3 1 7不难理解其含义 性质4定积分的估计若则证由性质3可知由性质1得于是不等式成立 其几何意义见图3 1 8 性质5积分中值定理设在上连续 则在上至少存在一点 使证由在闭区间上连续函数知 在上必有最小值和最大值 由性质4 得这说明即常数介于的最小值与最大值之间 再由闭区间连续函数的介值 定理知 必有一点使得积分中值定理的几何意义见图3 1 9 若在上连续 则以区间为底 为曲顶的曲边梯形面积必定等于也以为底 某点对应的函数值 假设 为高的矩形面积 我们称为函数在区间上的平均值 它是有限个实数算术平均值的推广 例2比较定积分与的大小 解在区间上 故从而 例3估计定积分的值 解由于故从而有即积分值在与之间 例4证明不等式证由及性质3得此即 例5某商店在30天的销售过程中 某货架上的商品件数由300件线性地下降到60件 试求货架上的月平均商品数 解设是第天货存件数 由题意知是 的线性函数 且于是与的关系为由性质5中介绍的平均值计算公式得 3 2牛顿 莱布尼兹公式 3 2 1变上限积分定义1若函数 都定义在同一区间上 并且满足则称是的一个原函数 等价于说 是的导函数 例如 由于故是的一个原函数 是的一个原函数 注意到 由于的导数都是 故它们都是的原函数 即一个函数的原函数有无限多个 定理1若 都是的原函数 则与仅差一个常数 即有 为常数 因此 只要找到了的一个原函数 则便是其所有原函数 为任意常数 定义2若于上连续 则在区间上的定积分称做的变上限积分 注意 在中 变量有两种不同的意义 一方面它表示定积分上限 另一方面又表示积分变量 由于定积分与积分变量采用的记号无关 为了避免混淆 将积分变量换成 于是上面的积分便可写成 让在区间上移动 对于上限的每一个值 定积分都有一个唯一确定的值与之对应 这样 在区间上就定义了一个一元函数 记作当时 几何意义如图3 2 1 定理2若函数在上连续 则变上限积分是的一个原函数 即证直接依据导数的定义来证明 任给的改变量 由于 应用定积分中值定理 在与之间 从而定理2说明 如果被积函数连续 则它的变上限积分就是它的一个原函数 即连续函数一定有原函数 因此 定理2也称为原函数存在定理 例1设求及解由定理2知 例2设求的导数 解因为故由定理2得 也是的一个原函数 由于同一个函数的两个原函数之间相差仅为一个常数 于是有