湖南省郴州市高三数学二模试卷 理（含解析）.doc

2016年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1若复数z满足zi=1i，则z的共轭复数是（）a1ib1ic1+id1+i2若a=x|x2+2x80，b=x|x1，则图中阴影部分表示的集合为（）a（4，1b（1，2）c1，2）d（4，1）3如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）abcd4某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）a55人，80人，45人b40人，100人，40人c60人，60人，60人d50人，100人，30人5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则6直线与圆o：x2+y2=4交于a、b两点，则=（）a2b2c4d47某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）a150b180c240d5408如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为f1，f2，短轴端点分别为b1，b2，现沿b1b2将椭圆折成120角（图二），则异面直线f1b2与b1f2所成角的余弦值为（）a0bcd9在区间1，1上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）abcd10设点p是曲线c：y=x3x+上的任意一点，曲线c在p点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）a，）b（，c0，），）d0，），）11已知倾斜角为的直线与双曲线c：=1（a0，b0）相交于a，b两点，m（4，2）是弦ab的中点，则双曲线c的离心率是（）abc2d12已知定义在r上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f（x）在r上的恒有f（x）（xr），则不等式f（x2）+的解集为（）a（，2）（2，+）b（2，2）c（，）（，+）d（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13已知四边形abcd满足|ab|=|ad|，|cd|=且bad=60，=，那么四边形abcd的面积为14记不等式组所表示的平面区域为d若直线y=a（x+1）与d有公共点，则a的取值范围是15一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab0）且对任意的xr，有f（x）f（），给出以下命题：a=b；f（x+）为偶函数；函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；函数y=f（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为p1，p2，p3，p4，则|p2p4|=2其中正确命题的序号是（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sin2xcos2x，xr（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，sinb=2sina，求abc的面积s18已知数列an满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有an+m=anam，若数列bn满足bn=n1+log3an，bn的前n项和为bn（）求an和bn；（）令cn=anbn，dn=，数列cn的前n项和为sn，数列dn的前n项和为tn，分别求sn和tn19如图，四棱锥pabcd的底面abcd是菱形，且abc=60，侧面pad是边长为2的正三角形且与底面abcd垂直（）求证：bcpc；（）线段pc上是否存在点m，使得二面角padm的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由20已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值21已知椭圆的中心在原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点（1）求椭圆的标准方程；（）q为椭圆的左顶点，直线l经过点（，0）与椭圆交于a，b两点（1）若直线l垂直于x轴，求aqb的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得qab为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由22已知a为实数，函数f（x）=alnx+x24x（）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（）若函数f（x）在2，3上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（）设g（x）=（a2）x，若存在x0，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围2016年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1若复数z满足zi=1i，则z的共轭复数是（）a1ib1ic1+id1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数z满足zi=1i，可得z，从而求出即可【解答】解：复数z满足zi=1i，z=1i，故=1+i，故选：c2若a=x|x2+2x80，b=x|x1，则图中阴影部分表示的集合为（）a（4，1b（1，2）c1，2）d（4，1）【考点】venn图表达集合的关系及运算【分析】先观察venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（crb）a，根据集合的运算求解即可【解答】解：a=x|x2+2x80=（4，2），b=x|x1，crb=1，+），（crb）a=1，2）故选：c3如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）abcd【考点】程序框图【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出s值【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算s=+=故选：d4某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）a55人，80人，45人b40人，100人，40人c60人，60人，60人d50人，100人，30人【考点】分层抽样方法【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值【解答】解：每个个体被抽到的概率为=，专科生被抽的人数是1500=50，本科生要抽取3000=100，研究生要抽取900=30，故选：d5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系【分析】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【解答】解：选项a，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故a错误；选项b，若，m，n，则mn，或m，n异面，故b错误；选项c，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故c错误；选项d，若m，mn，则n，再由n可得，故d正确故选d6直线与圆o：x2+y2=4交于a、b两点，则=（）a2b2c4d4【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与ao的夹角，然后求数量积【解答】解：圆o：x2+y2=4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是=2所以直线与圆相交故ab=2=2=r，所以aob=所以=22cos=2故选a7某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）a150b180c240d540【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，分析有将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案【解答】解：将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有c53a33=60种，分成2、2、1时，有=90种，所以共有60+90=150种，故选：a8如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为f1，f2，短轴端点分别为b1，b2，现沿b1b2将椭圆折成120角（图二），则异面直线f1b2与b1f2所成角的余弦值为（）a0bcd【考点】椭圆的简单性质【分析】由of1b1b2，of2b1b2，可得f1of2为二面角f1b1b2f2的平面角，即为120，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos，=，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值【解答】解：由of1b1b2，of2b1b2，可得f1of2为二面角f1b1b2f2的平面角，即为120，椭圆+y2=1中a=，b=1c=，可得b1f2=b2f1=，=+， =+，=+=1+0+0+（）=2，即有cos，=，可得异面直线f1b2与b1f2所成角的余弦值为故选：c9在区间1，1上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）abcd【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可【解答】解：区间1，1上任取两数m和n，对应的区域为正方形，面积s=22=4，若方程x2+mx+n=0的两根都是负数，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的面积s=dm=m3|=，则对应的概率p=，故选：a10设点p是曲线c：y=x3x+上的任意一点，曲线c在p点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）a，）b（，c0，），）d0，），）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=3x2，则f（x）=3x2，即tan，则0或，故角的取值范围是0，），），故选：d11已知倾斜角为的直线与双曲线c：=1（a0，b0）相交于a，b两点，m（4，2）是弦ab的中点，则双曲线c的离心率是（）abc2d【考点】双曲线的简单性质【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），根据ab的中点p的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率【解答】解：倾斜角为的直线与双曲线c：=1（a0，b0）相交于a，b两点，直线的斜率k=tan=，设a（x1，y1），b（x2，y2），则=1，；=1，得=，则k=m（4，2）是ab的中点，x1+x2=8，y1+y2=4，直线l的斜率为，=，即=，则b2=a2，c2=a2+b2=（1+）a2，e2=1+=（）2则e=故选：d12已知定义在r上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f（x）在r上的恒有f（x）（xr），则不等式f（x2）+的解集为（）a（，2）（2，+）b（2，2）c（，）（，+）d（，）【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合【分析】由f（x），构造辅助函数g（x）=f（x）x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=，根据f（x2）+，将其转换成g（x2）g（2），根据函数单调性即可求得不等的解集【解答】解：f（x）（xr），f（x）0，设g（x）=f（x）x，g（x）=f（x）0，g（x）是r上的减函数，g（2）=g（2）=，f（x2）+，g（x2）=f（x2）=g（2），x22，解得：x或x，原不等式的解集为（，）（，+）故答案选：c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13已知四边形abcd满足|ab|=|ad|，|cd|=且bad=60，=，那么四边形abcd的面积为【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积【解答】解：由题意作图如右图，=，bcad且|bc|=|ad|，又|ab|=|ad|，且bad=60，|ae|=|ab|=|ad|，|bc|=|de|，bcde是平行四边形，cdbe，dcad，|cd|=，|ab|=|ad|=2，s=，故答案为：14记不等式组所表示的平面区域为d若直线y=a（x+1）与d有公共点，则a的取值范围是，4【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（1，0）所以当y=a（x+1）过点b（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点a（1，1）时，对应a=又因为直线y=a（x+1）与平面区域d有公共点所以a4故答案为：，415一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱abca1b1c1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形abc，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段mn的中点o与三棱柱的顶点a的连线ao就是外接球的半径，abc是边长为3的等边三角形，mn=2，am=，om=1，这个球的半径r=2，这个球的表面积s=422=16，故答案为：1616已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab0）且对任意的xr，有f（x）f（），给出以下命题：a=b；f（x+）为偶函数；函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；函数y=f（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为p1，p2，p3，p4，则|p2p4|=2其中正确命题的序号是（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【分析】由三角函数的最大值相等列式判断；利用辅助角公式化简代值判断；求出得值判断；求导后利用函数的图象平移判断；由函数图象平移周期不变判断【解答】解：f（x）=asinx+bcosx=，对任意的xr，有f（x）f（），则2a2+2b2=（a+b）2，（ab）2=0，则a=b，故正确；f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=，f（x+）=，f（x+）为偶函数，故正确；=0，故错误；y=f（x）=acosxasinx=，而f（x+）=，故正确；由f（x）的周期为2，而f（x）=是把向左平移个单位得到的，|p2p4|=2，故正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sin2xcos2x，xr（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，sinb=2sina，求abc的面积s【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x）1，由周期公式可求最小正周期，由2k，kz 可解得单调递增区间（2）由f（c）=sin（2c）1=0，可得sin（2c）=1，解得c的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得c的值，由sinb=2sina，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos2x=sin2x=sin（2x）1，最小正周期t=，由2k，kz 得k，kz，f（x）的最小正周期为，单调递增区间为k，k（kz） （2）f（c）=sin（2c）1=0，则sin（2c）=1，0c，02c2，2c=，c=，sinb=2sina，由正弦定理，得，由余弦定理，得c2=a2+b22abcos，即a2+b2ab=3，由解得a=1，b=2sabc=18已知数列an满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有an+m=anam，若数列bn满足bn=n1+log3an，bn的前n项和为bn（）求an和bn；（）令cn=anbn，dn=，数列cn的前n项和为sn，数列dn的前n项和为tn，分别求sn和tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（i）对任意的正整数m，n都有an+m=anam，可得an+1=ana1=3an，利用等比数列的通项公式可得an可得bn，即可得出bn的前n项和为bn（ii）cn=（2n1）3n利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得sndn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（i）对任意的正整数m，n都有an+m=anam，an+1=ana1=3an，数列an是等比数列，公比为3，首项为3，an=3nbn=n1+log3an=n1+n=2n1，bn的前n项和为bn=n2（ii）cn=anbn，=（2n1）3n数列cn的前n项和为sn=3+332+533+（2n1）3n，3sn=32+333+（2n3）3n+（2n1）3n+1，2sn=3+2（32+33+3n）（2n1）3n+1=3（2n1）3n+1=（22n）3n+16，sn=（n1）3n+1+3dn=，当n=1时，d1=；当n2时，tn=+=当n=1时也成立，tn=19如图，四棱锥pabcd的底面abcd是菱形，且abc=60，侧面pad是边长为2的正三角形且与底面abcd垂直（）求证：bcpc；（）线段pc上是否存在点m，使得二面角padm的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）取ad中点o，连结op，oc，以o为原点，oc为x轴，od为y轴，op为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明bcpc（）设m（a，b，c），由=可得点m的坐标为m（，0，），求出平面amd的法向量和平面pad的法向量，由此利用向量法能求出结果【解答】（）证明：取ad中点o，连结op，oc，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面abcd是abc=60的菱形，adc是等边三角形，po、ad、co两两垂直，以o为原点，oc为x轴，od为y轴，op为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得p（0，0，），c（，0，0），b（，2，0），=（0，2，0），=（，0，），=0，cbcp（）解：假设存在符合要求的点m，令=（01），则=（，0，），可得m（，0，），=（，1，），=（，1，），设平面mad的法向量为=（x，y，z），则，令z=，得=（1，0，），显然平面pad的一个法向量为=（，0，0），二面角padm的平面角余弦值为，|=，=或=1（舍去）线段pc上存在点m， =时，使得二面角padm的平面角余弦值为20已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论【解答】解：（1）求导数可得，f（x）=x=1是函数f（x）的极大值点，0a1函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+）；（2）恒成立，alnxx+b0恒成立，令g（x）=alnxx+b，则g（x）=g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减g（x）max=g（a）=alnaa+b0balna，aba2a2lna令h（x）=x2x2lnx（x0），则h（x）=x（12lnx）h（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减h（x）max=h（）=，ab即ab的最大值为21已知椭圆的中心在原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点（1）求椭圆的标准方程；（）q为椭圆的左顶点，直线l经过点（，0）与椭圆交于a，b两点（1）若直线l垂直于x轴，求aqb的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得qab为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（i）设椭圆的标准方程为：，根据条件列方程组解出a，b即可；（ii）（1）把x=代入椭圆方程解出a，b坐标，根据三角形的边长即可求出aqb；（2）设ab斜率为k，联立方程组求出a，b坐标的关系，通过计算=0得出，则当qab为等腰直角三角形时，取ab中点n，则qnab，计算qn的斜率判断是否为即可得出结论【解答】解：（i）设椭圆的标准方程为：，（ab0）抛物线y=x2的焦点为（0，1），解得a2=4，椭圆的标准方程为+y2=1（ii）q（2，0），设a（x1，y1），b（x2，y2），（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=则直线l与x轴交于m（，0）联立方程组，解得或不妨设a在第二象限，则a（，），b（，）|qm|=|am|=aqm=45，aqb=2aqm=90（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+）（k0）联立方程组，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2100=0x1+x2=，x1x2=y1y2=k2（x1+）（x2+）=+=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=+4+=0qaqb，即qab是直角三角形假设存在直线l使得q