湖南省衡阳四中高二数学下学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省衡阳四中高二（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合a=2，1，3，4，b=1，0，3，则ab等于（）a1，3b2，1，0，3，4c2，1，0，4d2，1，3，42某几何体的三视图都是全等图形，则该几何体一定是（）a球体b长方体c三棱锥d圆锥3函数的零点所在的一个区间是（）a（1，0）b（0，1）c（1，2）d（2，3）4已知f（x）=，则f（4）=（）a1b2c3d45执行如图所示的程序框图，若输出的s为4，则输入的x应为（）a2b16c2或8d2或166要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况应采取的抽样方法是（）a（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法b（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法c（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法d（1）（2）都用分层抽样法7已知等比数列an的公比为2，则值为（）abc2d48一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（）abcd9函数f（x）=cos2（x）的单调增区间是（）a2k，2k+，kzb2k+，2k+，kzck+，k+，kzdk，k+，kz10设a1，b2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）a2b2+1c2+2d2+3二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分请将答案填在题中横线上11在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是12已知向量=（，1），=（m，1）若向量，的夹角为，则实数m=13过点a（2，3）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为14在abc中，|ab|=4，|ac|=2，a=60，|bc|=15将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij，则数表中的2015应记为三、解答题：（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知sin=，（，）（）求sin2的值；（）求tan（）的值17设sn为数列an的前n项和，且sn=n2+n+1，nn*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和tn18如图，在三棱锥pabc中，pa=pc=5，pb=4，ab=bc=2，acb=30（1）求证：acpb；（2）求三棱锥pabc的体积192013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170，第二类在（单位：千瓦时）某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；（2）本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率20在直角坐标系xoy中，圆c：x2+y2+4x2y+m=0与直线xy+2=0相切（）求圆c的方程；（）若圆c上有两点m，n关于直线x+2y=0对称，且|mn|=2，求直线mn的方程2015-2016学年湖南省衡阳四中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合a=2，1，3，4，b=1，0，3，则ab等于（）a1，3b2，1，0，3，4c2，1，0，4d2，1，3，4【考点】并集及其运算【分析】找出两个集合的公共元素组成的集合【解答】解：集合a=2，1，3，4，b=1，0，3，则ab=2，1，0，3，4；故选：b2某几何体的三视图都是全等图形，则该几何体一定是（）a球体b长方体c三棱锥d圆锥【考点】简单空间图形的三视图【分析】任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆【解答】解：球、长方体、三棱锥、圆锥中，任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是等圆，故选a3函数的零点所在的一个区间是（）a（1，0）b（0，1）c（1，2）d（2，3）【考点】函数零点的判定定理【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可【解答】解：函数，可得：f（1）=50，f（0）=30，f（1）=0，f（2）=0，f（3）=0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内故选：d4已知f（x）=，则f（4）=（）a1b2c3d4【考点】函数的值【分析】由已知条件直接利用分段函数的性质求解【解答】解：f（x）=，f（4）=log24=2故选：b5执行如图所示的程序框图，若输出的s为4，则输入的x应为（）a2b16c2或8d2或16【考点】程序框图【分析】算法的功能是求s=的值，分当x1时和当x1时两种情况，求输出s=4时的x值【解答】解；由程序框图知：算法的功能是求s=的值，当x1时，输出的s=42x=4x=2；当x1时，输出的s=4log2x=4x=16故选：d6要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况应采取的抽样方法是（）a（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法b（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法c（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法d（1）（2）都用分层抽样法【考点】分层抽样方法【分析】根据抽样的定义分别进行判断即可【解答】解：（1）由于家庭收入差异较大，故（1）应该使用分层抽样（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，故选：c7已知等比数列an的公比为2，则值为（）abc2d4【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由已知可得： =22=4故选：d8一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（）abcd【考点】等可能事件的概率【分析】分别求从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，结果；取出的两个球同色结果，代入概率计算公式可求【解答】解：现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有4种结果（红，红）（红，白）（白，红）（白，白）记“取出的两个球同色”为事件a，则a包含的结果有（白，白）（红，红）2种结果由古典概率的计算公式可得p（a）=故选：a9函数f（x）=cos2（x）的单调增区间是（）a2k，2k+，kzb2k+，2k+，kzck+，k+，kzdk，k+，kz【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：f（x）=cos2（x）=cos2（x）=cos（2x）=sin2x，由2k+2x2k+，kz，得k+xk+，kz，即函数的单调递增区间为k+，k+，kz，故选：c10设a1，b2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）a2b2+1c2+2d2+3【考点】基本不等式【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a1+3，由基本不等式可得【解答】解：a1，b2，且ab=2a+b，abb=2a，b（a1）=2a，解得b=，a+b=a+=a1+33+2=3+2当且仅当a1=即a=1+时取等号故选：d二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分请将答案填在题中横线上11在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是45，46【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【分析】本题主要考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题【解答】解：由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45乙组共9个数据中位数为46故答案为45、4612已知向量=（，1），=（m，1）若向量，的夹角为，则实数m=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的夹角公式计算即可【解答】解： =（，1），=（m，1），|=2，|=， =m+1，cos，=cos=，解得m=0（舍去）或m=，故答案为：13过点a（2，3）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为x2y+4=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：直线2x+y5=0的斜率为2，由垂直关系可得所求直线的斜率为，所求直线的方程为y3=（x2），化为一般式可得x2y+4=0故答案为：x2y+4=014在abc中，|ab|=4，|ac|=2，a=60，|bc|=2【考点】余弦定理【分析】由已知利用余弦定理即可计算求值得解【解答】解：|ab|=4，|ac|=2，a=60，由余弦定理可得：bc2=ab2+ac22abaccosa=16+42=12，解得：|bc|=2故答案为：215将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij，则数表中的2015应记为a4579【考点】归纳推理【分析】本题考查的是归纳推理，解题思路为：分析各行数的排列规律，猜想前n行数的个数，从而进行求解【解答】解：前1行共有：1个数前2行共有：1+3=4个数前3行共有：1+3+5=9个数前4行共有：1+3+5+7=16个数由此猜想：前n行共有n2个数，442=19362015，452=20252015，故2015应出现在第45行，又由第45行的第一个数为1937，故2015应为第79个数，故答案为：a4579三、解答题：（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知sin=，（，）（）求sin2的值；（）求tan（）的值【考点】两角和与差的正切函数【分析】（）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，可得 sin2=2sincos的值（）由（）求得tan的值，再利用两角差的正切公式求得tan（）的值【解答】解：（）因为sin=，（，），cos=，sin2=2sincos=（）由（）得tan=，所以tan（）=17设sn为数列an的前n项和，且sn=n2+n+1，nn*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）运用数列通项和前n项和的关系：当n=1时，a1=s1；当n1时，an=snsn1，计算即可得到所求通项公式；（2）求得当n=1时，t1=；当n2时， =（），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：（1）当n=1时，a1=s1=1+1+1=3；当n2时，sn=n2+n+1，sn1=（n1）2+（n1）+1，两式相减得：an=snsn1=n2+n（n1）2（n1）=（2n1）+1=2n但a1=3不符合上式，因此an=；（2）当n=1时，t1=；当n2时， =（），前n项和tn=+=+（+）=+（）=且t1=符合上式，因此tn=18如图，在三棱锥pabc中，pa=pc=5，pb=4，ab=bc=2，acb=30（1）求证：acpb；（2）求三棱锥pabc的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取ac的中点d，连接pd、bd，利用三线合一得出pdac，bdac，于是ac平面pbd，从而得出acpb；（2）计算ac，pd从而得出pb=pd，求出pbd的面积，则vpabc=spbdac【解答】证明：（1）取ac的中点d，连接pd、bdab=bc，pa=ac，d为ac的中点，pdac，bdac，又bd平面pbd，pd平面pbd，bdpd=d，ac平面pbdpb平面pbd，acpb（2）ab=bc=2，acb=30bd=bc=，ad=cd=ac=3pd=4，又pb=4，pbd是等腰三角形，作pbbd于o，则o为bd的中点，po=spbd=vpabc=vapbd+vcpbd=spbd（ad+cd）=192013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170，第二类在（单位：千瓦时）某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；（2）本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率【考点】频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等求中位数，根据各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和为数据的平均数求平均数；（2）利用频率分布直方图求得第一、二类的户数，再求每户居民获得奖励的平均值；（3）根据分层抽样的方法计算第一、二类分别应抽取的户数，利用排列组合分别计算从5户居民代表中任选两户居民和居民用电资费属于不同类型的选法种数，代入古典概型概率公式计算【解答】解：（1）从左数第一组数据的频率为0.00420=0.08，第二组数据的频率为0.01420=0.28，第三组数据的频率为0.020200.4，中位数在第三组，设中位数为150+x，则0.08+0.28+0.020x=0.5x=6，中位数为156，平均数为1200.1+1400.3+1600.4+18