二次型和正定矩阵.doc

二次型2007-029-8设是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵 证明：当时，矩阵B为正定矩阵。2007-029-9已知二次曲面方程为（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？ 2007-008-8已知矩阵(1) 求二次型;(2) 用正交线性替换化二次型为标准型;(3) 证明定义了上的内积,其中是的列向量,是的转置,并求在该内积下的一组标准正交基.(4) 求实对称矩阵B使得,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)2007-021-72007-012-2求实二次型 的规范形及符号差。2007-001（A）-1化二次型为标准型,并给出所用的非退化线性替换.2007-030-2（3）（填空题）已知实二次型的正负惯性指数都是1，则= .2007-030-3（6）（计算与证明题）设是级实对称矩阵，是正定矩阵，证明是可逆矩阵。2007-031-6设为阶正定矩阵，为实维非零列向量，当时有，证明： 线性无关.2007-031-9用正交线性替换将二次型化为标准型.2007-032-1（3）（判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。2007-032-6设是阶正定矩阵，证明它的行列式的主对角线元素之积，等式成立当且仅当的对角阵。2007-032-7设是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的矩阵可逆，其中。2007-033-3给出将化为标准形的正交线性替换。2007-034-4设为阶正交矩阵且-1不是的特征值。证明是反对称矩阵且。2007-034-6设为阶实正定对称矩阵，为阶实反对称矩阵。证明的行列式。2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）设，则使正定的实数的取值范围是 。2007-035-2（20）（计算与证明题）设为正定矩阵，其中为阶方阵，为阶方阵，为矩阵。证明：与都是正定矩阵。2007-035-2（22）（计算与证明题）设为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使。2007-036-4设为实二次型，且存在，使，请证明：存在，使得。2007-019-4证明任意阶实可逆阵可以表成一个正定阵与一个正交阵之积。2007-037-7设为阶实对称矩阵，证明必存在数使得为半正定而非正定，这里表示阶单位矩阵。2007-037-11（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差： （2）取什么值时，二次型为正定的？2007-038-3用正交化二次型为标准形。并写出所作的正交变换。2007-038-8若是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵，使得。并对二阶方阵。求出一个满足上面条件的矩阵。2007-040-6试将划为标准形，求出变换矩阵，并指出满足什么条件时，正定。2007-040-7设都是正定实对称矩阵，证明：（1）正定的充要条件是。（2）如果正定，则也是正定。2007-041-6设均是阶实对称矩阵，且正定，证明（）的根是实数;（）设的根为，且，则（是的转置）在约束条件下下的最大值和最小值分别为。2007-041-8设，其中是实数，问满足什么条件时，二次型是正定的？2007-043-4设一个二次曲面在直角坐标系下的方程为，求一个正交直角坐标变换：使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。2007-043-4 设为一个阶正定矩阵，为一个阶反对称矩阵，即满足：。1. 证明：存在阶实可逆矩阵使得，其中表示矩阵的转置矩阵。2. 证明：的特征值或者是0或者是纯虚数。3. 证明：为可逆矩阵。2007-044-7设是一个实对称矩阵，是的最大特征值。证明：。2007-013-2（1）证明：任意阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；（2）设是阶实方阵，且对任意的非零列向量，都有。证明：存在正定矩阵和反对称矩阵使得。2007-018-3设，。问是否是一个正定二次型，为什么？2007-018-6设阶矩阵对于任意的维列向量满足。（）证明当为对称矩阵时，（）如果矩阵不是对称的，未必是零矩阵。2007-018-9设为阶实对称矩阵，试求正交矩阵，使得为对角形矩阵，并求。2007-018-10证明（1）阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。2007-013-9证明下述阶实矩阵是正定矩阵：2007-007-1（9）（填空）设是级实对称矩阵，则为正定矩阵的充分必要条件是 。2007-007-7设实二次型的系数矩阵为，若，证明：必存在一组实数，使。2007-046-7设为一实对称阵，若是半正定的，则的一切主子式其中且。2007-004-5设是实对称矩阵，如果是半正定的，则存在实的半正定矩阵，使得。2007-004-7设二次型通过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换。2007-047-1（5）（填空）复数域上上阶对称矩阵按合同关系分类，共有 类。2007-048-8（5）假设实对称矩阵以及均是正定矩阵，证明：也是正定矩阵。2007-026-10讨论二次型何时正定。2007-024-1（7）（判断题）任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。2007-024-1（8）（判断题）设为正定矩阵，则在的所有元素中，绝对值最大者必在的主对角线上。2007-024-2（2）（填空题）设实二次型，则的矩阵为 ，符号差 。2007-024-2（3）（填空题）实二次型是正定二次型当且仅当满足条件 。2007-024-4设，把分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。2007-024-7设是级正定矩阵，是级实矩阵并且0不是的特征值，证明：。2007-010-1（3）（填空题）已知二次曲面经过正