数值分析实验报告3.doc

实验报告实验项目名称 数值积分与数值微分 实验室 数学实验室 所属课程名称 数值逼近 实 验 类 型 算法设计 实 验 日 期 班 级 学 号 姓 名 成 绩 实验概述：【实验目的及要求】本次实验的目的是熟练数值分析第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，掌握复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式。本次试验要求编写复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。【实验原理】数值分析第四章“数值积分与数值微分”的相关内容，包括：复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的相应算法和相关性质。【实验环境】（使用的软硬件）软件：MATLAB 2012a硬件：电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 2.27GHz 2.27GHz实验内容：【实验方案设计】第一步，将书上关于复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式以及高斯-勒让德公式的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。实验：用不同数值方法计算积分 (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？(2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。(3)用勒让德多项式确定零点，再代入计算高斯公式，使其精度达到10-4（1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现复合梯形求积公式的程序代码如下：function s=T(n)a=0.0000001;b=1;h=(b-a)/n;s=h*(f(a)+f(b)/2;if n1for k=1:n-1x=a+k*h;s=s+h*f(x);endE=s+4/9%复合梯形误差end在command Windows中输入命令：T(10)，T(100)以及T(1000)，得出的结果为：T(10)E = 0.0271ans = -0.4173 T(100)E = 0.0013ans = -0.4431 T(1000)E = 5.4375e-05ans = -0.4444建立一个新的M-文件，输入程序代码，实现切比雪夫多项式的程序代码如下： function t=S(n)a=0.0000001;b=1;h=(b-a)/n;t=h*(f(a)+f(b)/6;if n1for k=0:n-1 x0=a+(k+0.5)*h; x1=a+k*h; if k=0 t=t+4*f(x0)*h/6; else t=t+(4*f(x0)+2*f(x1)*h/6; endendE=t+4/9%复合辛普森误差end在command Windows中输入命令：S(10)，S(100)以及S(1000)，得出的结果为：S(10)E = 0.005ans = -0.4387 S(100)E = 2.4147e-04ans = -0.4442 S(1000)E = 9.1563e-06ans = -0.4444总结由结果（1）、（2）可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即n越大、h越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。又两个相应的关于h的误差（余项） 其中属于a到b。可知h愈小，余项愈小，从而积分精度越高。（2）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现龙贝格算法的程序代码如下：function q,n=Roberg(f,a,b)M=1;abs0=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(f,a)+subs(f,b);while abs00.0001 k=k+1; h=h/2; p=0; for i=1:Mx=a+h*(2*i-1);p=p+subs(f,x); endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*p;M=2*M;for j=1:kT(k+1,j+1)=(4j)*T(k+1,j)-T(k,j)/(4j-1);endabs0=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j);endq=T(k+1,k+1);n=k;在command Windows中输入命令：Fx,n=Roberg(sqrt(x)*log(x),10(-8),1)，得出的结果为：Fx = -0.444387313932947n = 9（3）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现龙贝格算法的程序代码如下：function ql,Ak,xk=guasslegendre(fun,a,b)% fun:被积函数% a,b：积分上下限% ql：积分结果% Ak：系数% xk：零点n=0;fun=(x)sqrt(x).*log(x);eps=1;while eps0.0001 syms x p=sym2poly(diff(x2-1)(n+1),n+1)/(2(n+1)*factorial(n+1); tk=roots(p); Ak=zeros(n+1,1); for i=1:n+1 xkt=tk; xkt(i)=; pn=poly(xkt); fp=(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i); Ak(i)=quadl(fp,-1,1,0.0001);end xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;fx=(b-a)/2).*fun(xk);ql=sum(Ak.*fx);eps=abs(ql+4/9);n=n+1;endE=eps在command Windows中输入命令：guasslegendre(sqrt(x)*log(x),10(-8),1)，得出的结果为： guasslegendre(sqrt(x)*log(x),10(-8),1)E = 9.4667e-05ans = -0.4445【结论】（结果）复合求积法相比普通的求积公式而言精度要高，其中复合辛普森法求积分精度比复合梯形法求积的精度要高，龙贝格求积法使等距节点求积精度进一步提高。高斯求积公式具有最高代数精度。【小结】通过