线性代数第3章习题解答(rr).doc

线性代数第三章习题解答1 已知向量： 求解: 2.设 求 解: 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 成立， 则向量组线性相关 解：不正确.如：，虽然 但线性无关。(2) 如果存在m个不全为零的数使则向量组线性无关。 解： 不正确. 如 (3) 如果向量组 不能由其余向量线性表出.解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 线性相关，与题没矛盾。(4) 如果向量组线性相关，则一定可由线性表示。解：不正确。例如：向量组线性相关，但不能由线性表示。(5) 如果向量可由向量线性表示，即： 则表示系数不全为零。 解：不正确。例如：，表示系数全为0。(6) 若向量线性相关，线性无关，则线性相关. 解：正确。因线性相关，即存在不全为零的数使.因不全为零，所以线性相关。 4.判断向量能否由向量组线性表示，若能，写出它的一种表示方式。(1) ， 解：显然 (2) ，解： 设 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 故 (3) 解: 设，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：因阶梯形矩阵所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。(4) 解： 设 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到：5. 证明： 如果n维单位坐标向量组可由n维向量组线性表示，则向量组线性相关。 证：,向量组与向量组等价，所以向量组的秩为n，所以线性无关。6. 若向量组线性无关，证明：向量组 也线性无关。 证： 设有常数 使 7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。(1) 解：以为列向量作矩阵作初等行变换得到：显然(2) 解：令 对A作初等行变换，得到： 故 R(A)=R(B)=3. 线性相关。且由(3)解： 令解方程组AX=0，其中X=,对系数矩阵A作初等行变换得到： 由得同解方程组, 线性相关。(4) 解：令对A 作初等行变换得到： R(A)=R(B)=3 , 线性无关。8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。(1) 解： 令对A作初等行变换，得到： R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为2, 是一个极大无关组。(2) 解： 线性相关，线性相关。而线性无关。向量组的秩是3。是一个极大无关组。(3) 解：令对A作初等行变换，得到： 显然R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是3,并且 是向量组的一个极大无关组。(3) 解： 令对A作初等行变换，得到： 显然R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是2 , 并且 是一个极大无关组。9. 设向量组 线性无关，证明：(1) 当时，线性相关；(2) 当时，线性无关证明： (1)当时，线性相关。(3) 当时，设有常数，使 线性无关， 10. 设 证： (i) 若线性无关，设有常数 因线性无关， 因方程组一定有非零 解，线性相关。 (ii) 若线性相关，不妨设，于是： 由此可知，线性相关。11n个n+1维向量 是否线性相关？ 解：n维单位坐标向量组线性无关，而无关组增添分量 仍无关，向量组线性无关。12. 设是一组n维向量，证明：它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。 证：必要性：若向量组线性无关，则对任一n维向量，向量组 线性相关，故一定可由 线性表示。 充分性：若任一n维向量均可由向量组线性表示，则n维单位坐标向量组可由线性表示，又可由线性表示，向量组与向量组等价，向量组的秩是n，线性无关。13. 试证：若向量组与向量组有相同的秩， 则可由线性表示。 证： 设向量组的秩为r，不失一般性，设(r1r)为向量组的极大无关组，则与等价，依题设向量组的秩也为,故也是的极大无关组，可由线性表示，进而，可由线性表示。 14. 设是互不相同的r个非零实数，证明：(1) 向量组 线性无关.(2) 任一r维向量都可由线性表示.证： 令则A的前r行元素组成的r阶子式 故R(A)=r,线性无关. (2) 对任一r维向量，向量组线性相关.而线性无关，可由线性表示.15. 设A为n阶方阵，为n维列向量，(1) 证明： 若线性相关，则也线性相关；(2) 问：若线性无关，是否也线性无关，为什么 ？。(1) 证明：若线性相关，即存在不全为零的常数，使从而有：不全为零，线性相关。(2)不一定线性无关。如当A=E，则线性无关，若A=0，则线性相关。16. 试证： 设A是n阶方阵，则 证： (i) 若R(A)=n，则，由 ，得到 ， ，. (ii) 如果R(A)=n-1，则A的列向量组线性相关，其中必有一列向量是组中其余向量的线性组合，不妨设：据行列式的性质可知，A的第2列至第n列元素的代数余子式全为0，R(A) =n-1，A的第1列元素的代数余子式中至少有一个不为0.由此得到 的第1行元素不全为零，而第2行至第n行元素全为0，(iii) 若 R(A)n-1，则A的n-1阶子式全为零，(17) 设有线性方程组： 若，问：(1) 系数矩阵A秩是多少？ (2) 增广矩阵的秩是多少？(3) 方程组是否有解，有多少解？(4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少个解向量？解： (1) R(A)=2. (2) (3) 方程组有解，有无穷多解. (4) 方程组的导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。18. 选择和填空(1) 设A是n阶方阵，方程组AX=0有无穷多解，则方程组 . (c)a . 只有零解 b .有n个解 c .有无穷多解 d .无解(2) 设A,B均为n阶方阵，且，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数之和为 (0)(3) 设为实数，如果齐次线性方程组有非零解，则(1或3)(4) 设A为n阶方阵，如果方程组AX=b有唯一解，则A一定(b，d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a，b都有可能 d .满秩19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解.(1) 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 故 同解方程组： 依次取 得基础解系 .方程组的通解： ，其中为任意实数.(2) 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到 同解方程组， . 依次取自由未知量的值得方程组的基础解系： ，方程组的通解为： ，其中为任意实数.(3) 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到： 故同解方程组： 取 得到方程组的通解： 其中， 为任意实数。基础解系 (4) 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到： 同解方程组 取 ，得到方程组的通解： ，基础解系： 20. 设 ，证明：A的行向量组一定线性相关。21. 设A是矩阵，B是矩阵，其中。若AB=E，证明：B的列向量组线性无关。22. 设A是矩阵，且，证明： A中必有一列向量是其余列向量的线性组合。23. 设向量组线性无关，证明：向量组线性无关的充分必要条件是: 24. 判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。(1) 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 ，所以原方程组的同解方程组为（取为自由未知量） 取 ，得到方程组的通解：其中为任意实数.(2) 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 .取 为自由未知量，得原方程组的同解方程组： 取 ，得到方程组的通解：其中为任意实数.(3) 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： . 原方程组无解。(4) 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： .原方程组的同解方程组： 取 ，得到方程组的通解：， 其中为任意实数.25. 证明：线性方程组有唯一解的充分必要条件是其导出只有零解。 证： 必要性： 若方程组有唯一解，则（未知量个数）， 导出组只有零解。 充分性： 如果导出组只有零解，则（未知量个数），从而，即。方程组有唯一解。26. 取何值时，下列非其次线性方程组 （i）有唯一解；（ii）无解；（iii）有无穷多解；当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其通解。 （1） （2） 解：计算系数行列式 （i） 当时，方程组有唯一解（克莱姆法则）.（ii）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 方程组无解。（iii）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：原方程组的同解方程组： 取 ，得到方程组的通解： 其中为任意实数.（2）对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： .（i） ， 方程组无解。（iii）当时，原方程组的同解方程组： 令 ，得到方程组的通解：其中为任意实数.27. 证明： 方程组 有解的充分必要条件是：.证明：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： .显然当且仅当时，即方程组有解。28 讨论： 当参数取何值时，下列方程组有解；无解；当有解时，用导出组的基础解系表示其通解。 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： .显然（i）当时，方程组无解； (ii）当 时，方程组有解， 1 当时，原方程组的同解方程组： 令 ，得到方程组的通解：其中为任意实数. 2当时， 原方程组的同解方程组： 令 ，得到方程组的通解：，其中为任意实数.29 设为阶方阵，试证：存在非零方阵，使的充分必要条件是。 证：将阶方阵按列分块成，则，即，于是，存在非零方阵，使方程组有非零解。30. 取何值时，向量组：.（1）线性相关 ，（2）线性无关 .解：以为列向量，构造矩阵， 当时，线性无关。当时，线性相关。31. 设是方程组的个解，为个实数，并且证明： 也是方程组的解.证： . 得证.32. 设是非齐次线性方程组的1个解，是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1） 线性无关，（2） 线性无关.证：（1）（反正）如果线性相关，因线性无关，一定由线性表示，即有：，从而 ，此与是的解矛盾，故线性无关。 （2）设有常数，使 ,即 由（1）知线性无关，故 ，线性无关.33. 设证明：其齐次线性方程组的任意个线性无关的解都是一个基础解系.证明：因为中；所以中有个独立变量、个自由变量的基础解系中只有个解向量 的无穷个解向量中只有个线性无关，任意个解向量线性相关在的