高中数学 1.1.1集合的含义与表示课件 新人教A版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修1 集合与函数的概念 第一章 本章的章头图表现了运载 神舟 五号载人航天飞船的火箭升空 以及 神舟 五号载人航天飞船进入预定轨道后在太空飞行的场景 其中包含了一些可以用函数描述的变化规律 如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化 飞船外的温度和气压随气船与地面的距离的变化而变化 等等 而高中的函数是用集合来刻画的 集合语言是一种抽象的数学语言 学习集合语言最好的方法就是使用 非洲大草原上生存着几千种动物 它们常常面临着生与死的考验 为了生存 它们过着 群居 的生活 这种 物以类聚 就产生某种动物集合 让我们一起走进 集合 世界 探索集合的奥秘 1 1集合 第一章 1 1 1集合的含义与表示 1 在平面上 到一个定点的距离等于定长的点的集合是 2 到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线段的 3 到一个角的两边距离相等的点的集合是 知识衔接 圆 垂直平分线 这个角的平分线 自然数 1 集合的概念 1 含义 一般地 我们把 统称为元素 把一些元素组成的 叫做集合 简称为集 2 集合相等 只要构成两个集合的 是一样的 即这两个集合中的元素完全相同 就称这两个集合相等 自主预习 研究对象 总体 元素 名师点拨 集合中的元素必须满足如下性质 1 确定性 指的是作为一个集合中的元素 必须是确定的 即一个集合一旦确定 某一个元素属于或不属于这个集合是确定的 要么是该集合中的元素 要么不是 二者必居其一 2 互异性 集合中的元素必须是互异的 就是说 对于一个给定的集合 它的任何两个元素都是不同的 3 无序性 集合中的元素是没有顺序的 比如集合 1 2 3 与 2 3 1 表示同一集合 2 元素与集合的关系 归纳总结 符号 和 只能用于元素与集合之间 并且这两个符号的左边是元素 右边是集合 具有方向性 左右两边不能互换 是 不是 不属于 3 集合的表示法 1 自然语言表示法 用文字语言形式来表示集合的方法 例如 小于3的实数组成的集合 2 字母表示法 用一个大写 表示集合 如a b c等 用小写拉丁字母表示元素 如a b c等 常用数集的表示 拉丁字母 n 或n 3 列举法 把集合的 一一列举出来 并用花括号 括起来表示集合的方法叫做列举法 4 描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的 这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 元素 一般符号 取值 或变化 范围 共同特征 1 下列给出的对象中 能组成集合的是 a 著名的数学家b 很大的数c 较胖的人d 小于3的整数 答案 d 解析 著名的数学家 和 较胖的人 无明确的标准 对于某人是否 著名 或 较胖 无法客观地判断 因此 著名的数学家 和 较胖的人 不能组成集合 很大的数 也无明确的标准 所以也不能组成集合 任意给定一个整数 能够判定是否小于3 有明确的标准 故d能组成一个集合 预习自测 答案 1 2 3 4 5 6 3 下列集合 1 2 2 r 全体实数 3 5 不等式x 5 0的解集为 x 5 0 其中 集合表示方法正确的是 答案 解析 违背了集合中元素的互异性 中全体实数本身就是集合 不能再加大括号 中用描述法表示的集合 未写出代表元素 应为 x x 5 0 4 1 用列举法表示集合 x n x 5 为 2 方程x2 6x 9 0的解集用列举法可表示为 3 用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为 答案 1 0 1 2 3 4 2 3 3 x 3 x 8 解析 1 因为x n 且x 5 所以x 0 1 2 3 4 2 由x2 6x 9 0 得x1 3 x2 3 3 实数x大于3且不大于8可表示为3 x 8 集合的概念 互动探究 探究1 接近于0 比较小 近似值 是否有明确的标准 探究2 在限定某个集合时 如果限定条件不明确 会出现什么后果 规律总结 1 确定性是判断一组对象能否构成集合的标准 2 判断集合中的元素个数时 要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个 即集合中的元素满足互异性 下列每组对象能否构成一个集合 1 我国的小城市 2 某校2015年在校的所有高个子同学 3 不超过20的非负数 4 方程x2 9 0在实数范围内的解 5 直角坐标平面内第一象限的一些点 解析 1 我国的小城市 无明确的标准 对于某个城市是否 小 无法客观地判断 因此 我国的小城市 不能构成一个集合 2 与 1 类似 也不能构成集合 3 任给一个实数x 可以明确地判断是不是 不超过20的非负数 即 0 x 20 与 x 20或x 0 两者必居其一 且仅居其一 故 不超过20的非负数 能构成集合 4 类似于 3 也能构成集合 5 一些点 无明确的标准 对于某个点是否在 一些点 中无法确定 因此 直角坐标平面内第一象限的一些点 不能构成集合 规律总结 判断指定的对象能不能构成集合 关键在于能否找到一个明确标准 对于任何一个对象 都能确定它是不是给定集合的元素 同时还要注意集合中元素的互异性 无序性 已知a m 1 3m m2 1 若3 a则m 探究1 3 a说明了什么 探究2 集合a中的元素对m有什么限制 集合中元素的特性 解析 由m 1 3 得m 4 此时3m 12 m2 1 15 故m 4满足集合中元素的互异性 由3m 3 得m 1 此时m 1 m2 1 0 故舍去 由m2 1 3 得m 2 经检验m 2满足集合中元素的互异性 故填4或 2 答案 4或 2 规律总结 1 什么是元素分析法 解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题 而集合离不开元素 因此分析元素是解决集合问题的核心 这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法 2 如何应用元素分析法解决有关集合问题 分析元素的性质 即确定性 互异性 无序性 由元素所具有的性质转化为相关问题的性质 如本题正是由3 a得3为集合a中的任一元素且各元素互不相同 若2 x x a 0 则实数a的取值范围是 答案 a a 2 解析 因为2 x x a 0 所以2不满足不等式x a 0 即2满足不等式x a 0 所以2 a 0 a 2 所以实数a的取值范围是 a a 2 规律总结 当a a时 若集合a是用描述法表示的 则a一定满足集合中元素的共同特征 如满足方程 组 不等式 组 等 若集合a是用列举法表示的 则a一定等于其中的一个元素 反之 当a a时 结论恰恰相反 集合的表示方法 探究1 除自然语言外 集合的常用表示方法还有哪些 探究2 弄清集合中的元素是什么 是有限个还是无限个 再选用适当的方法表示 2 描述法 x x 3k 1 k n 无限集 3 描述法 坐标平面内在第一 三象限的点的特点是纵 横坐标同号 所以不在第一 三象限的点的集合可表示为 x y xy 0 x r y r 无限集 4 列举法 0 12 22 32 也可用描述法 x x n2 n n 无限集 规律总结 1 数集和点集在以后的学习中时常用到 其一般格式为 数集 x p x 点集 x y p x y 2 何谓适当的方法 即较为简洁 和谐的表示方法 一般无限集用描述法 有限集且元素个数较少时用列举法 用适当的方法表示下列集合 1 由大于5 且小于9的所有自然数组成的集合 2 被5除余2的所有正整数组成的集合 3 不等式2x 3 0的解组成的集合 4 抛物线y x2上的所有点组成的集合 解 1 6 7 8 2 x x 5n 2 n n 3 x 2x 3 0 4 x y y x2 已知集合a是由方程ax2 2x 1 0 a r 的实数解作为元素构成的集合 1 1是a中的一个元素 求集合a中的其他元素 2 若a中有且仅有一个元素 求a的值组成的集合b 3 若a中至多有一个元素 试求a的取值范围 探究1 集合的元素即为方程的解 探究2 方程是一次还是二次 方程无解 有一解 二解分别满足什么条件 分类讨论的思想 探索延拓 3 集合a中至多有一个元素包括两种情况 a中有且只有一个元素 由 2 知此时a 0或a 1 a中一个元素也没有 此时a 0 且 4 4a 0 a 1 综合 知所求a的取值范围是 a a 1或a 0 已知集合a x r ax2 x 2 0 若a中至少有一个元素 则a的取值范围是 易错点一忽略元素的特征出错 误区警示 点评 在表示集合时 一定要准确把握集合符号法中的符号所描述的元素的具体属性与相应的集合是否相符 下列各组集合中 表示同一集合的是 a m 3 2 n 2 3 b m 3 2 n 2 3 c m x y x y 1 n y x y 1 d m 3 2 n 3 2 答案 b 解析 a项中m 3 2 中的元素是 3 2 n 2 3 中的元素是 2 3 所以这是两个不同的集合 b项中m 3 2 中的元素是3 2 n 2 3 中的元素是2 3 由集合中元素的无序性可知 这是两个相同的集合 c项中集合m中的代表元素是 x y 是直线x y 1上的点 而集合n中的代表元素是y 是直线x y 1上点的纵坐标 因此是两个不同的集合 d项中两集合m的元素分别是3 2 而n中含有一个元素 3 2 因此它们是两个不同的集合 设集合a x2 x xy b 1 x y 若集合a b所含元素相同 求实数x y的值 易错点二忽略集合中元素的互异性 错因分析 当x 1 y 0时 a b 1 1 y 不满足集合元素的互异性 当x 1 y 1时 a b 1 1 1 也不满足元素的互异性 当x 1 y 0 a b 1 1 0 满足题意 点评 在实际解答过程中 很多同学只是把答案算出来后就不算了 根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求 有没有出现遗漏或增根 在实际解答中要根据元素的特征 结合题目要求和隐含条件 加以重视 又当a 1时 a 1 0 1 不满足集合中元素的互异性 舍去 a 1 即集合a 1 0 1 此时a 1 b 0 故a2015 b2015 1 2015 02015 1 0 1 1 下列各组对象 能构成集合的有 对环境污染不太大的塑料 中国古典文学中的四大名著 所有的正方形 方程x x2 2x 3 0的所有实数根 a b c d 答案 c 解析 语句 污染不太大