福建师大附中2012-2013年高二上数学（文）期末试题及答案.doc

福建师大附中 2012 2013 学年度上学期期末考试 高二数学文试题 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 四个选项中 只有一项符合题目要求 1 已知命题 则 px Rsin1x A B Rxp 0 1sin 0 xRxp 0 1sin 0 x C px Rsin1x px Rsin1x 2 某物体的位移 米 与时间 秒 的关系是 则物体在秒时的瞬时St 2 3 tttS 2t 速度为 A m s B m s C m s D m s121 7 3 已知定点 A B 且 动点 P 满足 则点的轨迹为 2 AB1 PBPAP A 双曲线 B 双曲线一支 C 两条射线 D 一条射线 4 抛物线 的准线方程是 2 xy A 4 x 1 0 4 y 1 0 2 x 1 0 2 y 1 0 5 若 x2 y2 0 则 x y 不全为零 若 则有实根 则 p q2 m02 2 mxx A 为真 B 为真 C 为真 为假 qp p qp q 6 某公司的产品销售量按函数规律变化 在时 反映该产品的销售量的 tfy bat 增长速度先快后慢的图象可能是 A B C D 7 设 直线与抛物线只有一个公共点 p0 k q1 kxylxy4 2 则是 条件pq a b a b a o t o t y ba o t y o t y b y A 充分且非必要 B 必要且非充分 C 充分且必要 D 既非充分也非必要 8 曲线在点处的切线方程为 lnf xxx 1 0 A B C D 1yx 1yx yexe yexe 9 若 k 可以取任意实数 则方程 x 2 k y 2 1 所表示的曲线不可能是 A 直线 B 圆 C 椭圆或双曲线 D 抛物线 10 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与该双曲线的一条渐进FBFB 线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 11 已知数列满足记 如果对任意的正整数 n a 2 11 2 4 2 3 n nn aaan 1 3 2 n n n a T 都有 则实数的最大值为 n n TM M A 2 B 3 C 4 D 5 12 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系 如把抛物线的图象绕原点沿逆时针 2 yx 方向旋转就得到函数的图象 若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一90 2 yx 2 2 1 3 x y 定角度后 能得到某一个函数的图象 则旋转角可以是 A B C D 30 45 60 90 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知数列的前项和 则 n an 2 1 n Snn n a 14 点在双曲线上运动 为坐标原点 线段中点的轨迹方程是 P1 22 yxOPOM 15 设是椭圆的左 右焦点 点在椭圆上 满足 12 F F 22 3448xy P 12 3 sin 5 PFF 的面积为 则 12 PFF 6 2 PF 16 已知点满足椭圆方程 则 的最大值为 yxP12 22 yx 1 x y 三 解答题 本大题共 6 题 满分 74 分 17 本题满分 12 分 在中 内角所对的边分别为 且 ABC A B C a b csin3 cosbAaB 求角的大小 B 若 求的值 3b sin2sinCA a c 18 本题满分 12 分 已知为等差数列 且 n a 1324 8 12aaaa 求数列的通项公式 n a 记数列的前项和为 若成等比数列 求正整数的值 n an n S 12 kk a a S k 19 本题满分 12 分 已知椭圆 C 的上顶点坐标为 离心率为 22 22 1 0 xy ab ab 0 3 1 2 求椭圆方程 设 P 为椭圆上一点 A 为左顶点 F 为椭圆的右焦点 求的取值范围 AP FP 20 本小题满分 12 分 已知直线 经过抛物线的焦点 且与抛物线交于两点 点为坐标原点 l 2 4xy BA O 证明 为钝角 AOB 若的面积为 求直线 的方程 AOB 4l X O B Y A F 21 如图 有一边长为 2 米的正方形钢板缺损一角 图中的ABCD 阴影部分 边缘线是以直线为对称轴 以线段的中OCADAD 点为顶点的抛物线的一部分 工人师傅要将缺损一角切割下来 O 使剩余的部分成为一个直角梯形 请建立适当的直角坐标系 求阴影部分的边缘线的方OC 程 如何画出切割路径 使得剩余部分即直角梯形EF 的面积最大 ABEF 并求其最大值 22 如图 设 分别是圆和椭圆的弦 且弦的端点AB AB 22 4O xy 2 2 1 4 x Cy 在轴的异侧 端点与 与的横坐标分别相等 纵坐标分yA AB B 别同号 若弦所在直线斜率为 且弦的中点的横坐标为 AB1 AB 求直线的方程 4 5 AB 若弦过定点 试探究弦是否也必过某个AB 3 0 2 M AB 定点 若有 请证明 若没有 请说明理由 A B CD O F E M A B B x y O A 参考答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 A 8 B 9 D 10 D 11 A 12 C 13 14 15 16 3 1 2 2 n n a n n 22 441xy 2 3PF 2 17 解 I 由及正弦定理 得 sin3 cosbAaB sinsin ab AB sin3cosBB 所以 tan3B 0 B 3 B 由及 得 由及余弦定理sin2sinCA sinsin ab AB 2ca 3b 得 所以 222 2 cosbacaB 22 9acac 3a 2 3c 18 解 I 设数列的公差为 解得 n ad 1 1 228 2412 ad ad 1 2a 2d 所以 1 1 22 1 2 n aandnn 由 1 可得 1 22 1 22 n n n aann Sn n 因 成等比数列 所以 从而 即 1 a k a 2k S 2 12kk aa S 2 2 2 2 3 kkk 2 560kk 解得或 舍去 因此6k 1k 6k 19 解 I 依题意得 椭圆方程为 222 3 2 1 12 b a c e ca abc 22 1 43 xy 设 则 P x y 2 0 1 0 AF 22 2AP FPxxy 点满足 代入 式 得 P 22 3412xy 2 2 3 1 4 x y 2 1 1 22 4 AP FPxxx 根据二次函数的单调性可得 的取值范围为AP FP 0 4 20 解 I 依题意设直线 的方程为 必存在 l1ykx k 设直线 与抛物线的交点坐标为 2 2 1 440 4 ykx xkx xy 2 16160k l 则有 依向量 1122 A x yB xy 22 12 1212 4 1 44 xx x xy y 1212 30 x xy y 的数量积定义 即证为钝角cos0AOB AOB 由 I 可知 22 12 14 1 ABkxxk 2 1 1 d k 直线方程为 2 1 214 2 AOB SAB dk 3k 31 31yxyx 21 解 I 以为原点 直线为轴 建立如图所示的直角坐标系 依题意OADy 可设抛物线弧的方程为OC 2 0 2 yaxx 点的坐标为 C 2 1 2 21a 1 4 a 故边缘线的方程为 OC 2 1 02 4 yxx 要使梯形的面积最大 则所在的直线必与抛物线弧相切 设切点ABEFEFOC 坐标为 2 1 02 4 P ttt 1 2 yx 直线的的方程可表示为 即 EF 2 11 42 ytt xt 由此可求得 2 11 24 ytxt 2 1 2 4 Ett 2 1 0 4 Ft 22 11 1 1 44 AFtt 22 11 1 1 44 BEtttt 设梯形的面积为 则ABEF S t 1 2 S tABAFBE 22 11 1 1 44 ttt 当时 2 1 2 2 tt 2 155 1 222 t 1t 5 2 S t 故的最大值为 此时 S t2 5 0 75 1 75AFBE 答 当时 可使剩余的直角梯形的面积最大 其最大值为0 75 m 1 75 mAFBE 2 2 5 m 22 解 由题意得 直线的方程为 AByxm 22 22 58440 44 yxm xmxm xy 设 2 80 160m 1122 A x yB xy 将代入检验符合题意 12 44 1 255 xxm m 1m 故满足题意的直线方程为 AB1yx 解法一 由 得 圆的方程为 分O 22 4 xy 设 11 A x y 22 B xy 1 A x m 2 B x n 点在圆上 AO 22 11 4xy 点在椭圆上 AC 2 2 1 1 4 x m A B B x y O A A B CD O F E x y P 联立方程 解得 同理解得 1 2 y m 2 2 y n 弦过定点 1 1 2 y A x 2 2 2 y B xAB 3 0 2 M 且 即 12 xx AMBM kk 12 12 33 22 yy xx 化简得 1221 21 3 2 y xy x xx 直线的方程为 即 AB 21 1 1 21 22 2 yy y yxx xx 21 21 1 2 yy yx xx 1221 21 2 y xy x xx 由得直线的方程为 1221 21 3 2 y xy x xx AB 21 21 1 2 yy yx xx 3 4 弦必过定点 AB 3 0 4 M 解法二 由 得 圆的方程为 O 设 11 A x y 22 B xy 圆上的每一点横坐标不变 纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆 O 1 2 C 又端点与 与的横坐标分别相等 纵坐标分别同号