云南省保山市第一中学高中数学 3.4基本不等式第1课时课件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 第1课时基本不等式 1 探索基本不等式的证明过程 并了解基本不等式的代数 几何背景 重点 2 基本不等式的简单应用 国际数学家大会是由国际数学联盟 imu 主办 首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行 1900年巴黎大会之后每四年举行一次 它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议 2002年8月20日在北京召开第24届国际数学家大会 由中国最高国家科技奖得主 著名数学家吴文俊任大会主席 这是第一次在发展中国家举办的规模最大的数学会议 有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗 2002年国际数学家大会会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 探究基本不等式 1 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗 则正方形abcd的面积是 这4个直角三角形的面积之和是 设ae a be b a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 3 你能给出它的证明吗 特别地 我们用 分别代替 可得 4 你能用不等式的性质直接推导吗 通常我们把上式写作 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 基本不等式 注意 1 a b均为正数 2 当且仅当a b时取等号 均值不等式 如图 ab是圆的直径 c是ab上任一点 ac a cb b 过点c作垂直于ab的弦de 连接ad bd 则cd 半径为 cd小于或等于圆的半径 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点c与圆心重合 即当a b时 等号成立 几何意义 半径不小于半弦 可以叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数 叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 基本不等式 例1当时 的最小值为 此时 2 1 基本不等式在求最值中的应用 分析 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 面积确定 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 即求 x y 的最小值 例2 1 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用篱笆最短 最短篱笆是40m 结论1两个正数积为定值 则和有最小值 当xy的值是常数时 当且仅当x y时 x y有最小值 分析 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 周长确定 则2 x y 36 篱笆的面积为xym2 即求xy的最大值 例2 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 当且仅当x y 即x y 9时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园的面积最大 最大面积是81m2 结论2两个正数和为定值 则积有最大值 当x y的值是常数s时 当且仅当x y时 xy有最大值 注意 各项皆为正数 和为定值或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 等 最值定理 结论1两个正数积为定值 则和有最小值 结论2两个正数和为定值 则积有最大值 例3某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的造价为120元 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 分析 水池呈长方体形 高为3m 底面的长与宽没有确定 如果底面的长与宽确定了 水池总造价也就确定了 因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低 由容积为4800m3 可得3xy 4800 因此xy 1600 由基本不等式与不等式的性质 可得 解 设底面的长为xm 宽为ym 水池总造价为z元 根据题意 有 所以 将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低 最低总造价是297600元 1 在下列函数中 最小值为2的是 a b c d c 10 3 已知且则的最大值为 解 1 两个重要的不