八年级数学下册 第18章 勾股定理单元复习课件 （新版）沪科版.ppt

第18章勾股定理单元复习 全章知识结构图 勾股定理 勾股定理 直角三角形 勾股定理的逆定理 性质 判定 定理 应用 求线段的长度 解决实际问题 定理 应用 证明两条线段垂直 解决实际问题 主要知识回顾 1 勾股定理 如图 在rt abc中 c 90 a b c为三边的长 则有 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 a2 b2 c2 2 勾股定理的应用 已知a b 求cc 已知a c 求bb 已知b c 求aa 易错题解析 若一个直角三角形的两边长分别为6 8 则第三边长为 错解 10 正解 10或2 解析 两边长6和8未讲是直角边还是斜边 应分8是最长边和第三边是最长边两种情况 典例突破1 在 abc中 c 90 a b c的对边分别是a b c 1 若a 3 b 4 则c 2 若a 6 c 10 则b 3 若c 10 a b 8 15 则a b 4 若b 5 b 30 则c 解析 1 c2 a2 b2 25 c 5 2 b2 c2 a2 64 则b 8 3 由a b 8 15 可设a 8x b 15x x 0 c2 a2 b2 c 17x 又c 34 x 2 a 16 b 30 4 c 90 b 30 c 2b 10 典例突破1 在 abc中 c 90 a b c的对边分别是a b c 1 若a 3 b 4 则c 2 若a 6 c 10 则b 3 若c 10 a b 8 15 则a b 4 若b 5 b 30 则c 5 8 16 30 10 典例突破2 小明在测量学校旗杆的高时发现 旗杆的绳子垂到地面上还多出1m 当他把绳子拉直并把绳子的下端触地时 绳子离开旗杆5m 请你帮他求出旗杆的高度 分析 1 旗杆的绳子比旗杆多1m 也就是线段 比线段 多1m 2 绳子离开旗杆5m 即线段 5m 3 若设旗杆的高为xm 则ab m 4 根据勾股定理 你能得到怎样的方程 ab ac bc x 1 x 1 2 x2 52 解 设旗杆的高为xm 如图 在rt abc中 c 90 ac2 bc2 ab2 则有 x 1 2 x2 52解得x 12答 旗杆的高为12m 3 勾股定理的逆定理 在 abc中 a b c为三边的长 若a2 b2 c2 则 c 90 若a2 c2 b2 则 b 90 若c2 b2 a2 则 a 90 如果直角三角形三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 4 勾股定理的逆定理应用 判定一个三角形是否是直角三角形 证明两条线段垂直 解决实际问题 在 abc中 a b c为三边的长 其中c为最长边 若a2 b2 c2 则三角形为直角三角形 若a2 b2 c2 则三角形为锐角三角形 若a2 b2 c2 则三角形为钝角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数如果m n是任意给定的正整数 m n 则m2 n2 2mn m2 n2是勾股数 又称毕达哥拉斯数例如 3 4 5 5 12 13 9 40 41 易错题解析 一个三角形的三边长的比为1 1 则该三角形的形状是 三角形 错解 直角 解析 既要用勾股定理的逆定理 又要注意有两边相等 正解 等腰直角 典例突破3 根据下列条件 判断 abc是不是直角三角形 1 a 1 b 1 c 2 a b c 13 12 5 分析 要先找出最长边 并算出它的平分 再算出两条较短边的平方和 然后判断最长边的平方是否等于两条较短边的平方和 解 1 最长边为c 则c2 6 a2 b2 1 2 1 2 3 2 3 2 6 c2 a2 b2 abc是直角三角形 2 设a 13k b 12k c 5k k 0 最长边是a 13k a2 13k 2 169k2 b2 c2 12k 2 5k 2 169k2 a2 b2 c2 abc是直角三角形 典例突破4 如图 a b c d是四个小城镇 除bc外 它们之间都有笔直的公路连接 公共汽车行驶于城镇之间 其票价与路程成正比 已知各城镇间的公共汽车票价如下 a b 10元 a c 12 5元 a d 8元 b d 6元 c d 4 5元 为了方便b c之间的交通 在b c之间建成一条笔直的公路请按上述标准计算出b c之间公共汽车的票价为多少元 分析 由于票价与路程成正比 所以可将票价视为路程来处理 在 abd中 由勾股定理的逆定理可得 adb 90 再在rt bdc中由bd cd可求得bc 解 在 abd中 ab 10 ad 8 bd 6 ad2 bd2 82 62 100又ab2 102 100 ad2 bd2 ab2 adb 90 bdc 90 在rt bdc中 bc 7 5 答 b c之间公共汽车的票价为7 5元 典例突破5 如图 在四边形abcd中 ac dc ad 13cm dc 12cm ab 3cm bc 4cm 求四边形abcd的面积 分析 1 怎样求ac的长 2 abc是什么形状的三角形 为什么 3 怎样求四边形的面积呢 在 adc中用勾股定理求 直角三角形 根据勾股定理的逆定理 adc与 abc的面积之和 解 在rt adc中 ad 13 dc 12 ac 5 又 ab 3 bc 4 ab2 bc2 ac2 b 90 s四边形abcd s adc s abc dc ac ab bc 12 5 3 4 36 cm2 答 四边形abcd的面积为36cm2 解题方法总结 1 在运用勾股定理时 首先要确定哪个角是直角 然后再确定两条直角边和斜边 最后再考虑怎样运用勾股定理 2 在运用勾股定理的逆定理时 先确定三边长 再找三边长的平方的关系 然后确定直角三角形 哪个角是直角 3 熟记常见的勾股数 达标检测 1 已知一个直角三角形的面积为6cm2 一条直角边长为3cm 则它的斜边长为 a 5cmb 6cmc 8cmd 12cm2 等腰三角形底边上的高是8 周长是32 则此三角形的面积是 a 32b 40c 48d 56 a c 3 已知 x 12 y 13 2与z2 10z 25互为相反数 则以x y z为三边的三角形是 三角形 4 在 abc中 ab 2k ac 2k 1 bc 3 当k 时 c 90 5 给出一组式子 32 42 52 82 62 102 152 82 172 242 102 262 请你依据规律直接写出第五个式子 直角 2 5 352 122 372 达标检测 6 如图 在操场上竖直立着一根长为2m的测影竿cd 早晨测得它的影长bd为4m 中午测得它的影长ad为1m 且b d a在同一条直线上 则a b c三点能否构成直角三角形 为什么 达标检测 解 能 理由如下 在rt bdc中 bd 4 cd 2 bc2 bd2 cd2 42 22 20 同理 ac2 5 又 ab bd ad 5 ab2 52 25 ab2 bc2 ac2 abc为直角三角形 达标检测 拓展练习 如图 在 abc中 ab bc ca 3 4 5 且周长为36 点p从点a开始沿ab边向b点以每秒1cm的速度移动 点q从点b沿bc边向点c以每秒2cm的速度移动 如果同时出发 问过3s时 bpq的面积是多少 解 设ab 3xcm bc 4xcm ac 5xcm 周长为36cm 3x 4x 5x 36解得x 3 ab 9cm bc 12cm ca 15cm ab2 bc2 ac