高等数学下无穷级数ppt课件.ppt

1 无穷级数 无穷级数 数项级数 幂级数 傅氏级数 数一 第十一章 2 常数项级数的概念和性质 一 常数项级数的概念 二 无穷级数的基本性质 三 级数收敛的必要条件 第一节 第十一章 3 一 常数项级数的概念 引例用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正 边形 这个和逼近于圆的面积A 设a0表示 即 内接正三角形面积 ak表示边数 增加时增加的面积 则圆内接正 4 定义 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数 其中第n项 叫做级数的一般项 级数的前n项和 称为级数的部分和 次相加 简记为 5 当级数收敛时 称差值 为级数的余项 则称无穷级数发散 显然 收敛 则称无穷级数 并称S为级数的和 记作 6 例1 讨论等比级数 又称几何级数 q称为公比 的敛散性 解 1 若 从而 因此级数收敛 从而 则部分和 因此级数发散 其和为 7 2 若 因此级数发散 因此 n为奇数 n为偶数 从而 综合1 2 可知 时 等比级数收敛 时 等比级数发散 则 级数成为 不存在 因此级数发散 8 例2 判别下列级数的敛散性 解 1 所以级数 1 发散 技巧 利用 拆项相消 求和 9 2 所以级数 2 收敛 其和为1 技巧 利用 拆项相消 求和 10 二 无穷级数的基本性质 性质1 若级数 收敛于S 则各项 乘以常数c所得级数 也收敛 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 即 其和为cS 性质2 设有两个收敛级数 则级数 也收敛 其和为 11 说明 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 例如 1 性质2表明收敛级数可逐项相加或减 12 性质3 在级数前面加上或去掉有限项 不会影响级数 的敛散性 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 推论 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 但 发散 例如 13 三 级数收敛的必要条件 性质5 设收敛级数 则必有 可见 若级数的一般项不趋于0 则级数必发散 例如 其一般项为 不趋于0 因此这个级数发散 14 注意 并非级数收敛的充分条件 例如 调和级数 虽然 但此级数发散 事实上 假设调和级数收敛于S 则 但 矛盾 所以假设不真 15 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 第二节 一 正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十一章 16 一 正项级数及其审敛法 若 定理1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 则称 为正项级数 定理2 比较审敛法 设 且存在 对一切 有 1 若强级数 则弱级数 2 若弱级数 则强级数 则有 收敛 也收敛 发散 也发散 是两个正项级数 常数k 0 17 例1 讨论p级数 常数p 0 的敛散性 解 1 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知p级数 发散 发散 18 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 由比较审敛法知p级数收敛 时 2 若 19 调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在 对一切 20 证明级数 发散 证 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知 所给级数发散 例2 21 定理3 比较审敛法的极限形式 则有 两个级数同时收敛或发散 2 当l 0 3 当l 设两正项级数 满足 1 当0 l 时 22 是两个正项级数 1 当时 两个级数同时收敛或发散 特别取 可得如下结论 对正项级数 2 当且收敛时 3 当且发散时 也收敛 也发散 23 的敛散性 例3 判别级数 的敛散性 解 根据比较审敛法的极限形式知 例4 判别级数 解 根据比较审敛法的极限形式知 24 定理4 比值审敛法 D alembert判别法 设 为正项级数 且 则 1 当 2 当 时 级数收敛 或 时 级数发散 说明 当 时 级数可能收敛也可能发散 例如 p 级数 但 级数收敛 级数发散 25 例5 讨论级数 的敛散性 解 根据定理4可知 级数收敛 级数发散 26 例6 讨论级数 的敛散性 27 定理5 根值审敛法 Cauchy判别法 设 为正项级 则 数 且 时 级数可能收敛也可能发散 例如 p 级数 说明 但 级数收敛 级数发散 28 例7 讨论级数 的敛散性 例8 讨论级数 的敛散性 29 二 交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 定理6 Leibnitz判别法 若交错级数满足条件 则级数 收敛 且其和 其余项满足 30 收敛 收敛 用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 发散 收敛 收敛 31 三 绝对收敛与条件收敛 定义 对任意项级数 若 若原级数收敛 但取绝对值以后的级数发散 则称原级 收敛 数 为条件收敛 均为绝对收敛 例如 绝对收敛 则称原级 数 条件收敛 32 定理7 绝对收敛的级数一定收敛 说明 上述逆定理不一定成立 即 发散 发散 33 例9 证明下列级数绝对收敛 证 1 而 收敛 收敛 因此 绝对收敛 34 2 令 因此 收敛 绝对收敛 35 内容小结 1 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2 利用正项级数审敛法 必要条件 发散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收敛 发散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 36 3 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法 则交错级数 收敛 概念 绝对收敛 条件收敛 37 例1 06 一 三 若 则级数 A B C D 例2 05 三 设 若 则下列结论正确的是 A B C D 38 第三节 一 函数项级数的概念 二 幂级数及其收敛性 三 幂级数的运算 幂级数 第十一章 39 一 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 对 若常数项级数 敛点 所有收敛点的全体称为其收敛域 若常数项级数 为定义在区间I上的函数 称 收敛 发散 所有 为其收 为其发散点 发散点的全体称为其发散域 40 为级数的和函数 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前n项的和 即 在收敛域上 函数项级数的和是x的函数 称它 41 例如 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如 级数 级数发散 所以级数的收敛域仅为 有和函数 42 二 幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数 其中数列 下面着重讨论 例如 幂级数 为幂级数的系数 即是此种情形 的情形 即 称 43 收敛 发散 定理1 Abel定理 若幂级数 则对满足不等式 的一切x幂级数都绝对收敛 反之 若当 的一切x 该幂级数也发散 时该幂级数发散 则对满足不等式 44 幂级数在 收敛 由Abel定理可以看出 中心的区间 用 R表示幂级数收敛与发散的分界点 的收敛域是以原点为 则 R 0时 幂级数仅在x 0收敛 R 时 幂级数在 R R 收敛 R R 加上收敛的端点称为收敛域 R称为收敛半径 在 R R 可能收敛也可能发散 外发散 在 R R 称为收敛区间 45 定理2 若 的系数满足 1 当 0时 2 当 0时 3 当 时 则 的收敛半径为 说明 据此定理 46 对端点x 1 的收敛半径及收敛域 解 对端点x 1 级数为交错级数 收敛 级数为 发散 故收敛域为 例1 求幂级数 47 例2 求下列幂级数的收敛域 解 1 所以收敛域为 2 所以级数仅在x 0处收敛 规定 0 1 48 例3 的收敛半径 解 级数缺少奇次幂项 不能直接应用定理2 比值审敛法求收敛半径 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 49 例4 的收敛域 解 令 级数变为 当t 2时 级数为 此级数发散 当t 2时 级数为 此级数条件收敛 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 50 三 幂级数的运算 定理3 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 则有 其中 51 说明 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多 例如 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 52 定理4若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分 运算前后收敛半径相同 注 逐项积分时 运算前后端点处的敛散性不变 53 例5 求级数 的和函数 解 易求出幂级数的收敛半径为1 及 收敛 54 因此由和函数的连续性得 而 及 55 内容小结 1 求幂级数收敛域的方法 1 对标准型幂级数 先求收敛半径 再讨论端点的收敛性 2 对非标准型幂级数 缺项或通项为复合式 求收敛半径时直接用比值法或根值法 2 幂级数的性质 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加 减与 也可通过换元化为标准型再求 乘法运算 56 2 在收敛区间内幂级数的和函数连续 3 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分 57 第四节 两类问题 在收敛域内 和函数 本节内容 一 泰勒 Taylor 级数 二 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十一章 58 一 泰勒 Taylor 级数 其中 在x与x0之间 称为拉格朗日余项 则在 若函数 的某邻域内具有n 1阶导数 此式称为f x 的n阶泰勒公式 该邻域内有 59 为f x 的泰勒级数 则称 当x0 0时 泰勒级数又称为麦克劳林级数 1 对此级数 它的收敛域是什么 2 在收敛域上 和函数是否为f x 待解决的问题 若函数 的某邻域内具有任意阶导数 60 定理1 各阶导数 则f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f x 的泰勒公式中的余项满足 设函数f x 在点x0的某一邻域 内具有 定理2 若f x 能展成x的幂级数 则这种展开式是 唯一的 且与它的麦克劳林级数相同 61 二 函数展开成幂级数 1 直接展开法 由泰勒级数理论可知 第一步求函数及其各阶导数在x 0处的值 第二步写出麦克劳林级数 并求出其收敛半径R 第三步判别在收敛区间 R R 内 是否为 骤如下 展开方法 直接展开法 利用泰勒公式 间接展开法 利用已知其级数展开式 0 的函数展开 62 例1 将函数 展开成x的幂级数 解 其收敛半径为 对任何有限数x 其余项满足 故 在0与x之间 故得级数 63 当m 1时 64 2 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 例4 将函数 展开成x的幂级数 解 因为 把x换成 得 将所给函数展开成幂级数 65 例5 将函数 展开成x的幂级数 解 从0到x积分 得 定义且连续 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在x 1收敛 所以展开式对x 1也是成立的 于是收敛 66 例6 将 展成 解 的幂级数 67 例7 将 展成x 1的幂级数 解 68 06 一 将 展成关于x的幂级数 69 内容小结 1 函数的幂级数展开法 1 直接展开法 利用泰勒公式 2 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 2 常用函数的幂级数展开式 式的函数 70 当m 1时 71 第七节 一 三角级数及三角函数系的正交性 二 函数展开成傅里叶级数 三 正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 72 一 三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 谐波函数 A为振幅 复杂的周期运动 令 得函数项级数 为角频率 为初相 谐波迭加 称上述形式的级数为三角级数 73 定理1 组成三角级数的函数系 证 同理可证 正交 上的积分等于0 即其中任意两个不同的函数之积在 74 上的积分不等于0 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 75 二 函数展开成傅里叶级数 定理2 设f x 是周期为2 的周期函数 且 右端级数可逐项积分 则有 叶系数为系数的三角级数 称为 的傅里叶系数 由公式 确定的 的傅里 的傅里叶级数 称为函数 以 76 77 定理3 收敛定理 展开定理 设f x 是周期为2 的 周期函数 并满足狄利克雷 Dirichlet 条件 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内只有有限个极值点 则f x 的傅里叶级数收敛 且有 x为间断点 其中 为f x 的傅里叶系数 x为连续点 注意 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多 78 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式为 解 先求傅里叶系数 将f x 展成傅里叶级数 79 80 1 根据收敛定理可知 时 级数收敛于 2 傅氏级数的部分和逼近 说明 f x 的情况见右图 81 例2 上的表达式为 将f x 展成傅里叶级数 解 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 82 说明 当 时 级数收敛于 83 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 定义在 上的函数f x 的傅氏级数展开法 其它 84 例3 将函数 级数 则 解 将f x 延拓成以 展成傅里叶 2 为周期的函数F x 85 利用此展式可求出几个特殊的级数的和 当x 0时 f 0 0 得 说明 86 设 已知 又 87 三 正弦级数和余弦级数 1 周期为2 的奇 偶函数的傅里叶级数 定理4 对周期为2 的奇函数f x 其傅里叶级数为 周期为2 的偶函数f x 其傅里叶级数为余弦级数 它的傅里叶系数为 正弦级数 它的傅里叶系数为 88 例4 设 的表达式为f x x 将f x 展成傅里叶级数 是周期为2 的周期函数 它在 解 若不计 周期为2 的奇函数 因此 89 n 1 根据收敛定理可得f x 的正弦级数 级数的