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理论力学 1 第一部分静力学 理论力学 2 第一部分静力学 引论刚体静力学 staticsofrigidbodies 研究刚体 rigidbody 在力系的作用下相对于惯性系静止的力学规律 1 力学模型 刚体在力的作用下不变形的物体称为刚体 在实际生活中 完全不变形的物体并不存在 刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化 3 吊车梁的变形 吊车梁在起吊重物时所产生的最大挠度 一般不超过梁的跨度的1 500 4 简化的条件除了要求物体的变形不大之外 更重要的是这种变形对我们所研究的问题的结果产生的影响要足够小 但在研究吊车梁的强度问题时 就不能这样简化了 这种小变形对于两端支承力的影响是微不足道的 因此在计算两端的支承力时 吊车梁可简化为刚体 5 力系作用于同一刚体的一组力称为力系 systemofforces 使刚体的原有运动状态不发生改变的力系 平衡力系 forcesystemofequilibrium 6 3 基本问题 物体的受力分析 力系的等效替换及简化 力系的平衡条件及其应用 刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止状态 它也可能处于某种惯性运动状态 平衡条件 equilibriumconditions 平衡力系所要满足的数学条件 7 1 工程力学教程 范钦珊主编高等教育出版社 九五 国家级重点教材 2 理论力学 第三版 浙江大学理论力学教研室 高等教育出版社 1999 面向21世纪课程教材 参考书目 8 1静力学基础 9 1静力学基础 1 1力和力矩1 1 1力的概念力是物体间的相互作用 作用结果使物体的运动状态发生改变 或使物体产生变形 对刚体而言 力的作用只改变其运动状态 力是矢量 力的三要素 threeelementsofaforce 两个共点力的合成又满足平行四边形法则 因而力是定位矢量 fixedvector 10 量度力的大小的单位 在国际单位制中用牛顿 N 千牛顿 kN 力的作用线 力的作用点 力矢量的表示 F1 FA 力矢量的模 F1 FA 11 作用力和反作用力 力的另一重要性质是由牛顿第三定律 Newton sthirdlaw 所描述的作用力和反作用力之间的关系 即 两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在 且大小相等 方向相反 沿同一直线 并分别作用在两个不同的物体上 12 分布力 distributedforce 与集中力 concentratedforce 分布力 集中力 集中作用于物体上一点的力 表面力 surfaceforces 连续作用于物体的某一面积上的力 体积力 bodyforces 连续作用于物体的某一体积内的力 13 分布力 14 集中力 15 实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能的 集中力只是作用于一个小区域上的分布力 一切真实力都是分布力 集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型 能否进行这种简化主要取决于我们所研究的问题的性质 16 力在坐标轴上的投影 力在坐标轴上的投影是代数量 应特别注意它的符号 17 二次投影法 secondprojection 18 已知力F在各坐标轴上的投影 则可求得力F的大小和它相对于各轴的方向余弦 即 19 1 1 2力对点的矩 力矩 momentofaforce 是用来量度力使物体产生转动效应的概念 力对点的矩的概念作用于刚体的力F对空间任意一点O的力矩定义为 式中O点称为矩心 centerofmoment r为矩心O引向力F的作用点A的矢径 即力对点的矩 momentofaforceaboutapoint 定义为矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积 20 MO F 通常被看作为一个定位矢量 习惯上总是将它的起点画在矩心O处 但这并不意味着O就是MO F 的作用点 21 力矩矢的三要素 力矩矢的三要素为大小 方向和矩心 MO F 的大小即它的模 式中 为r和F正方向间的夹角 h为矩心到力作用线的垂直距离 常称为力臂 momentarm MO F 的方向垂直于r和F所确定的平面 指向由右手定则确定 22 平面问题 平面问题中 由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内 力矩矢总是垂直于该平面 即力矩的方向不变 指向可用正 负号区别 故力矩由矢量变成了代数量 且有 23 正负号通常规定为 24 平面问题 矢量表达式 MO Fxy rxy Fxy k 25 力对点的矩在坐标轴上的投影 力矩的单位在国际单位制 SI 中为牛顿 米 N m 或千牛顿 米 kN m 26 27 1 1 3力对轴的矩 力对轴的矩 momentofaforceaboutanaxis 用来量度力对其所作用的刚体绕某固定轴转动的效应 矩轴 axisofmoment Oz 28 F Fz Fxy 力对轴的矩的概念 空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩 作用于刚体的力F对z轴的矩定义为 29 力对轴的矩是代数量 正负号的规定是按右手定则与z轴的指向一致时为正 反之为负 当力的作用线与z轴平行 Fxy 0 或相交 h 0 时 或概括起来讲 当力与轴共面时 力对轴的矩等于零 30 力对轴之矩 矢量表达式 31 力对点之矩与力对轴之矩的关系 力F对O点之矩MO F 在z轴上的投影为 首先将力的作用点的矢径r和力F分解如下 32 MO F 在z轴上的投影 33 34 即有 则有MO F 在z轴上的投影 将上式右端展开 并注意到 35 而另一方面力F对z轴之矩可表示为 我们得到一个说明力对轴之矩与力对点之矩的关系的重要结论 力对任意轴之矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该轴上的投影 因此 36 于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式 式中x y z是力的作用点的坐标 Fx Fy Fz分别是F在各坐标轴上的投影 37 例1 1长方体的上 下底为正方形 边长为 高为a 求图中力F对顶点O之矩 38 解 设沿各坐标轴的基矢量为i j k 则F的作用点A的矢径为 r 力F在坐标轴上的投影为 39 故 因此 40 例1 2园柱的底半径为r 高为2r 求图中作用于B点的力F对x y z轴以及OE轴之矩 41 解 力F的作用点B的坐标为 而 42 于是F对各坐标轴之矩分别为 根据 43 由此即有 44 设沿OE轴的单位矢为e 则有 因此力F对OE轴之矩为 45 要点回顾 力的概念 力学模型 刚体 刚体静力学研究的基本问题 力是约束矢量 力系的概念 力在坐标轴上的投影 引论 力对点的矩 力对点的矩的概念 力对点的矩在坐标轴上的投影 力对轴的矩 力对轴的矩的概念 力对点之矩与力对轴之矩的关系 46 静力学基础 理论力学 47 1 2力系等效原理 1 2 1力系的主矢和主矩 力系的主矢 称为该力系的主矢量 principalvector 作用于某刚体上的若干个力F1 F2 Fn构成空间一般力系 threedimensionalforcesystem 通常表示为 F1 F2 Fn 这n个力的矢量和 48 力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在相应轴上投影的代数和 注意力系的主矢仅涉及力系中各力的大小和方向 而与其作用点无关 故力系的主矢是一个自由矢量 freevector 而不是一个力 49 力系的主矩 空间一般力系 F1 F2 Fn 中各力对某点O的矩的矢量和 称为该力系对于矩心O的主矩 principalmoment 式中ri是由矩心O引向力Fi的作用点的矢径 50 主矩MO在以矩心O为原点的任意直角坐标系Oxyz上的投影表达式 即力系的主矩在通过矩心的任意轴上的投影等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和 51 力系的主矩MO是位于矩心O处的定位矢量 与力系的主矢不同 主矩与矩心的位置有关 因此 说到 力系的主矩 时 一定要指明是对哪一点的主矩 否则就没有意义 MA Fi MB Fi 52 1 2 2力系等效原理 在刚体静力学中 如果两个不同的力系对同一刚体产生同样的作用 则称此二力系互为等效力系 equivalentforcesystems 53 显然 等效力系的相互替换并不影响它们对刚体的作用 与一个力系等效的力称为该力系的合力 resultantforce 但并非任何一个力系都有合力 因为完全不受力作用的刚体其运动状态是不会发生改变的 故平衡力系即是与零力系 nullforce system 等效的力系 54 力系等效原理 两个力系等效的充分必要条件是主矢量相等 以及对同一点的主矩相等 力系等效原理 principleofequivalentforcesystems 实际上只是动量定理和动量矩定理的一个推论 但在讲述动力学的这些定理之前 在刚体静力学中我们也可以把它看成是一个基于经验事实的基本假设 55 力系等效原理是刚体静力学理论体系的基础 无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义 力系等效原理表明 力系对刚体的作用完全取决于它的主矢和主矩 因此主矢和主矩是力系的最重要的基本特征量 56 力系等效原理的推论 1 平衡定理力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢及对于某一点的主矩同时等于零 即 2 二力平衡定理刚体在两个力的作用下处于平衡的充分必要条件是此二力大小相等 方向相反且作用线重合 57 2 二力平衡定理刚体在两个力的作用下处于平衡的充分必要条件是此二力大小相等 方向相反且作用线重合 注意二力平衡定理与牛顿第三定律之间的区别 58 4 力的可传性定理作用于刚体上某点的力可沿其作用线移至刚体内任一点而不改变该力对刚体的作用 于是 作用于刚体的力由定位矢量变成了滑动矢量 slidingvector 3 加减平衡力系定理在作用于刚体的任一力系上加上或减去任意的平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用 59 思考题 根据力的可传性定理 力F可沿其作用线移至 60 5 合力矩定理若力系有合力 则合力对任一点 或轴 之矩等于力系中各力对同一点 或轴 之矩的矢量和 或代数和 MA FR MA Fi Mz FR Mz Fi 61 合力矩定理的应用 已知 AO h OC r求 水平力F对C点之矩 MC F Frsin Fhcos 62 1 3力偶与力偶矩 F F 63 F F F F 力偶的定义 两个大小相等 作用线不重合的反向平行力组成的力系称为力偶 couple 64 力偶中两个力的作用线所确定的平面称为力偶的作用面 actingplaneofacouple 二力作用线之间的垂直距离称为力偶臂 couplearm Planeofthecouple 65 力偶的主矢和主矩 力偶的主矢因为力偶 F F 中F F 故FR F F 0 即力偶的主矢恒等于零 力偶对任意点O的主矩力偶对任意点之主矩恒等于矢量积r F 而与矩心的位置无关 66 67 力偶矩矢量 力偶矩矢量 couple vector 用来量度力偶对刚体的作用效果 定义为 力偶矩矢的大小为 力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面 指向按右手定则与力偶的转向一致 力偶矩矢量是自由矢量 只有大小和方向两个要素 68 平面问题 由于力偶的作用面总是与力系所在的平面重合 力偶矩由矢量变成代数量 正负号用来区别转向 通常规定 逆时针为正顺时针为负 69 力偶是最简单的力系之一 力偶中二力作用线不重合 根据二力平衡定理 它们不可能组成一个平衡力系 因为力偶的主矢量FR 0 它也不可能进一步简化为一个力 否则FR 0 与力偶的定义相矛盾 因此 与单个的力类似 力偶也是最简单的力系之一 70 力偶等效变换的性质 1 力偶可在其作用面内任意转动和移动 2 力偶的作用面可任意平行移动 3 只要保持力偶矩大小不变 可任意同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短 作用于刚体的力偶等效替换的条件是其力偶矩矢量保持不变 71 例1长方体由两个边长为a的正方体组成 如图所示 试求力偶 F F 的力偶矩矢量M 72 解 故 73 设由F 的作用点至F的作用点的矢径为r 则有 因此 74 例2正方体的边长为a 大小均为P的6个力作用于正方体的棱边上 如图所示 试求该力系的主矢及对O点的主矩 75 解 注意到原力系由同向平行力系 F1 F4 和力偶 F5 F6 组成 力系 F1 F4 的主矢为 F1 F4的作用点相对于O点的矢径分别为 76 故 力偶 F5 F6 的主矢为零 力偶矩矢为 因此原力系的主矢及对O点的主矩为 77 力系的主矢和主矩 力系等效原理 力系等效原理的推论 力偶及力偶矩矢 力偶的主矢和主矩 力偶是最简单的力系之一 力偶等效变换的性质 要点回顾 78 理论力学 静力学基础 1 4物体的受力分析 一 79 约束与约束反力的概念 1 4 1约束与约束反力 1 4物体的受力分析 限制物体运动的条件 或者更直观地说 对物体运动施加限制的周围物体称为约束 constraint 80 火车的位移受到了轨道的限制 81 约束施于被约束物体的力称为约束力 constraintforce 约束力是一种接触力 82 静力学中力的分类 约束的基本类型 刚体静力学的典型问题 83 约束的基本类型 柔索工程中的绳索 链条 皮带等物体可简化为柔索 flexiblecable 理想化的柔索不可伸长 不计自重 且完全不能抵抗弯曲 柔索的约束力是沿绳向的拉力 84 85 缆索 86 87 2 光滑接触面 光滑接触面的约束力沿接触处的公法线方向 作用于接触点 且为压力 若两物体的接触面上摩擦力很小而可忽略不计时 就可简化为光滑接触面 smoothsurface 88 滑槽与销钉 FN 89 光滑接触面约束 90 91 用圆柱销钉将两个零件连接在一起 并假设接触面是光滑的 这样构成的约束称为光滑圆柱铰链 smoothcylindricalpin 简称铰链 被连接的构件可绕销钉轴作相对转动 但相对移动则被限制 3 光滑圆柱铰链 92 93 光滑圆柱铰链的约束力是一个大小和方向都未知的二维矢量FN 在受力分析时 为了方便起见 我们常常用两个大小未知的正交分力Fx和Fy来表示它 94 光滑圆柱铰链在图中的表示 A FAy FAx 95 96 97 98 99 恐龙骨骼的铰链连接 100 当光滑圆柱铰链连接的两个构件之一与地面或机架固接则构成固定铰链支座 fixedsupportofpinjoint 4 固定铰链支座 101 固定铰链支座在图中的表示 102 固定铰支座 103 104 105 106 5 光滑球形铰链 固连于构件的小球嵌入另一构件上的球窝内 若接触面的磨擦可以忽略不计 即构成光滑球形铰链 smoothballandsocketjoint 简称球铰 107 光滑球形铰链 与铰链相似 球铰提供的约束力是一个过球心 大小和方向都未知的三维空间矢量FN 常用三个大小未知的正交分力Fx Fy和Fz来表示它 108 球铰 109 盆骨与股骨之间的球铰连接 110 球铰支座在图中的表示 111 6 可动铰链支座 在铰链支座与支承面之间装上辊轴 就构成可动铰链支座或辊轴铰链支座 rollersupportofpinjoint 112 113 可动铰链支座的反力FN过铰链中心且垂直于支承面 114 辊轴 FR 115 7 链杆 二力杆 A B 两端用光滑铰链与其它构件连接且中间不受力的刚性轻杆 自重可忽略不计 称为链杆 由于链杆为二力杆 根据二力平衡定理 链杆的约束力必然沿其两端铰链中心的连线 FA 116 用铰链连接的杆 FR 117 8 固定端 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固定端约束 fixedendsupport 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限制物体的转动 118 工程结构中的固定端约束 槽钢悬臂梁 119 在外载荷的作用下 受固定端约束的物体既不能移动也不能转动 因此平面固定端约束的约束反力 可用两个正交分力和一个力偶矩表示 120 空间固定端约束 121 122 123 约束的基本类型 柔索 光滑接触面 光滑球形铰链 可动铰链支座 链杆 二力杆 固定端 约束与约束反力的概念 要点回顾 124 理论力学 静力学基础 1 4物体的受力分析 二 125 分离体和受力图被选取作为研究对象 并已解除约束的物体称为分离体 isolatedbody 当研究对象包括几个物体时 解除约束是指解除周围物体对它们的全部约束 但不包括这些物体相互之间的联系 1 4 2物体的受力分析 选取适当的研究对象 解除约束 画受力图 126 画有分离体及其所受的全部主动力和约束力的图称为受力图 free bodydiagram 内力和外力 当选取由几个物体所组成的系统作为研究对象时 系统内部的物体之间的相互作用力称为内力 internalforce 系统之外的物体对系统内部的物体的作用力称为外力 externalforce 显然 内力和外力的区分是相对的 完全取决于研究对象的选择 在作受力图时不必画出内力 127 对研究对象进行受力分析看似简单 但它却是研究力学问题的关键步骤之一 只有准确地掌握了基本概念 才有可能正确地进行受力分析 对此 初学者一定要予以足够的重视 128 例1图示结构为一提升重物的悬臂梁 试画出 1 AB梁和 2 整体的受力图 解 整体的受力图 AB梁的受力图 MA 129 注意 不要将线荷载q简化为一个集中力 A为平面固定端约束 B为光滑园柱铰链 应分别按其约束的特征画出约束力 正交分力FAx FAy和FBx FBy的指向 以及力偶矩MA的转向可以任意假定 今后如果某个计算值为负 则表明它的实际方向与假定方向相反 但应注意 这种假定在同一问题中的几个不同的受力图中必须是一致的 130 画受力图的步骤如下 1 根据问题的要求选取研究对象 画出分离体简图 2 画出分离体所受的全部主动力 一般不要对已知载荷进行静力等效替换 3 在分离体上每一解除约束的地方 根据约束的类型逐一画出约束力 131 例2三铰拱结构简图如图所示 不计拱的自重 试分别作出 1 右半拱 2 左半拱和 3 整体的受力图 132 解 1 右半拱的受力图 133 A B C P FAx FAy 2 左半拱的受力图 是FC的反作用力 134 A B C P FB FAx FAy 3 整体的受力图1 铰链C处的内力不要画出 135 三力平衡汇交定理 刚体受不平行三力作用而平衡时 此三力的作用线必汇交于一点 A 三力平衡汇交定理是刚体受不平行三力作用而平衡的必要条件 可用于确定未知约束力的方向 136 A B C P FB FA 4 整体的受力图2 三力平衡汇交定理的应用 E 137 注意 要正确判断二力杆和二力构件 作用力和反作用力要配对 内力不要画出 有时也可用三力平衡汇交定理来确定未知约束反力的方向 138 例3结构如图示 试画出 1 AB杆和 2 整体的受力图 139 解 1 杆AB的受力图 140 杆AB的受力图1 141 杆AB的受力图2 142 2 整体受力图1 143 整体受力图2 144 例4结构如图示 试画出 1 AB杆和 2 整体的受力图 145 解 1 杆AB的受力图 146 杆AB的受力图1 147 杆AB的受力图2 力偶只能与力偶平衡 148 2 整体受力图1 149 整体受力图2 150 例5组合梁如图所示 试分别作出梁AB BC和整体的受力图 151 解 梁AB的受力图 梁BC的受力图 152 解 梁AB的受力图 梁BC的受力图 153 解 梁AB的受力图 梁BC的受力图 154 整体的受力图 155 物体受力分析课堂练习1 试分别作出AC DEBH DE 以及BH的受力图 156 受力图A 157 受力图B 158 物体受力分析课堂练习2 试分别作出AB CE 加滑轮 CE 以及整体的受力图 159 受力图A 160 受力图B 161 物体的受力分析 分离体和受力图 内力和外力 三力平衡汇交定理 物体的受力分析的步骤和注意事项 要点回顾 162 理论力学 力系的简化 163 2力系的简化 寻求一个已知力系的更简单的等效力系 称为力系的简化 reductionofforcesystems 力系的简化是静力学研究的基本问题之一 本章的主要内容包括 汇交力系与力偶系的简化空间任意力系的简化平行力系的简化平行力系中心和重心 164 2 1汇交力系与力偶系的简化 2 1 1汇交力系的简化 各力作用线汇交于一点的力系称为汇交力系 concurrentforcesystem 汇交力系的简化 几何法 汇交力系 F1 F2 Fn 简化的结果为一通过汇交点的合力 合力矢等于原力系的主矢 几何法即是用多边形法则求这个合力矢 165 力的多边形法则FR Fi FR Fi Fn F1 F2 F1 F2 166 汇交力系的简化 解析法 上述结果称为合力投影定理 即合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和 167 2 1 2力偶系的简化 任意力偶系 M1 M2 Mn 的简化结果为一合力偶 其合力偶矩等于 全部由力偶组成的力系称为力偶系 systemofcouples 简化的方法也有类似的几何法和解析法 168 作用在刚体上的力FA可以平行移动到刚体上任一指定点O 但必须附加一力偶 其力偶矩等于原力FA对指定点O之矩MO FA 2 2任意力系的简化 2 2 1力线平移定理 MO FA rOA FA 169 FO FAM MO FA rOA FA 力线平移定理的证明 注意一下上述定理的逆过程 即可发现当一个力和一个力偶矩相互垂直时 即F M时 它们也可以合成为一个力 170 2 2 2任意力系向一点简化 F i FiMi MO Fi 空间任意力系向一点简化得到一个汇交力系和一个力偶系 171 任意力系 向简化中心O简化 汇交力系 力偶系 172 应用 固定端约束的约束反力 任意力系 FA和MA 平面固定端约束 173 空间固定端约束 A 174 2 2 3平面任意力系的简化结果 平面任意力系 F1 F2 Fn 向一点简化后得到 由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况 175 由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况 1 简化为一合力 其合力矢FR F R 合力作用线通过简化中心O 这时原力系等价于一个汇交于简化中心O的汇交力系 2 简化为一合力偶 其力偶矩M MO 且与简化中心的选择无关 即原力系等价于一个力偶系 176 3 简化为一合力 其合力矢FR F R 但合力作用线不通过简化中心O 4 原力系为一平衡力系 177 2 3平面平行力系的简化 各力的作用线相互平行的平面力系称为平面平行力系 平行力系是工程中最常见的力系之一 178 平面平行力系的简化 向O点简化后得到 可进一步简化为一个合力 其合力矢 FR F R Fi 合力FR的作用点C称为平行力系中心 centerofparallelforces 下面来确定它的位置 179 平行力系中心 由合力矩定理可得 同理可得 180 主矢不等于零的平行力系中各力绕其各自的作用点同时转过一个相同的角度时 平行力系中心的位置不变 这个结论与我们的日常经验是吻合的 平行力系中心C的坐标公式 公式适用于任何主矢不等零的平行力系 式中各力的投影和作用点的坐标均为代数量 使用时应注意正负号 181 平行分布载荷 平行分布载荷是指平行分布的表面力或体积力 通常是一个连续分布的同向平行力系 在工程中极为常见 某些平行分布载荷可以简化为沿直线分布的平行力 称为线载荷 作用于悬臂梁的载荷分布于狭长的梁顶表面 且受力关于梁的纵向对称面对称 故可简化为梁纵向对称面内的线载荷 182 线载荷的大小以某处单位长度上所受的力来表示 称为线载荷在该处的集度 intensity 常用q表示 单位为N m或kN m 线载荷是平行力系的特殊情况 可用平行力系的简化理论来求它的合力 矩形均布载荷 Q ql 183 三角形分布载荷 Q ql 2 重心与形心 作用在地球表面附近的物体各质元上的重力可近似看成一平行力系 此平行力系中心就称为物体的重心 centerofgravity 求物体重心的坐标可直接应用平行力系中心的坐标公式 即 184 式中 xiyizi 是第i个质元的坐标 Pi是它的重量 重心坐标公式 均质物体的重心位置只取决于其体积和形状 与物体的几何中心重合 也称为形心 centroidofavolume 形心坐标的计算公式为 式中V是整个物体的体积 185 例1求如图所示的平面图形的形心 解 1 分割法 将图形分割成三个部分 各个部分的面积和形心坐标分别为 S1 3a2x1 3a 2y1 7a 2S2 2a2x2 a 2y2 2aS3 3a2x3 3a 2y3 a 2 186 2 负面积法 将图形补足成一规则的矩形 S1 12a2x1 3a 2y1 2a 再挖去补充的部分 其面积和形心坐标分别为 187 S2 4a2x2 2ay2 2a 两种方法求出的结果相同 188 例2如图所示 求作用于悬臂梁AB的线分布荷载对A点的矩 解 189 要点回顾 汇交力系与力偶系的简化 力线平移定理 空间任意力系向一点简化 平面任意力系的简化结果 平行力系的简化 平行力系中心和重心 190 理论力学 力系的平衡 一 191 3力系的平衡 3 3考虑摩擦时的平衡问题 192 3 1力系的平衡方程3 1 1空间任意力系的平衡方程 3力系的平衡 空间任意力系平衡的充分必要条件 Fx 0 Fy 0 Fz 0 Mx Fi 0 My Fi 0 Mz Fi 0 空间任意力系的平衡方程 FR Fi 0MO MO Fi 0 193 3 1 2平面任意力系的平衡方程 平面力系 systemofcoplanarforces 是指各力的作用线共面的力系 可视为空间力系的特殊情况 在静力学中占有特别重要的地位 平面任意力系平衡方程的基本形式设力系中各力位于xy平面内 则有 Fx 0 Fy 0 MO Fi 0 上述方程也称为平衡方程的基本形式 式中坐标系和矩心均可任意选取 194 平面任意力系平衡方程的等价形式 二力矩形式 Fx 0 MA Fi 0 MB Fi 0 其中AB不垂直于x轴 195 三力矩形式 其中A B C不共线 MA Fi 0 MB Fi 0 MC Fi 0 196 平面特殊力系的平衡方程 汇交力系 Fx 0 Fy 0 力偶系 Mi 0 平行力系各力平行于Oy轴 基本形式 二力矩形式 Fy 0 MO Fi 0 MA Fi 0 MB Fi 0 AB不平行于Oy轴 197 3 1 3力系平衡方程的应用 平衡方程主要用于解决以下三方面的问题 求未知约束反力 求平衡位置 确定主动力之间的关系 选取研究对象 单独画出研究对象的受力图 选取坐标系 列平衡方程 解方程 组 校核及讨论 其中重点是问题1 应用平衡方程解题的步骤大致如下 198 平衡方程应用举例 例1图示结构 若AB l FP已知 确定以下四种情形下的支座反力 1 2 199 3 4 平衡方程应用举例 例1图示结构 若AB l FP已知 确定以下四种情形下的支座反力 200 1 解 取整体为研究对象 受力分析如图示 Fx 0 FA FCcos60 0 Fy 0 FP FCsin60 0 FA 0 577FPFC 1 155FP 201 讨论 选择不同的研究对象 202 是否可选取AB作为研究对象 203 是否可选取BC作为研究对象 204 讨论 以下两种情况的支座反力是否相同 205 2 解 取整体为研究对象 受力分析如图示 Fy 0 FCy 0 Fx 0 FA FCx 0 MC F 0 M FAltg60 0 FCx 0 577FPFCy 0FA 0 577FP 206 讨论 力偶只能与力偶平衡 M 0 M FAltg60 0 FA FC 0 577FP 由平面力偶系的平衡方程 207 3 解 取ABC为研究对象 受力分析如图示 Fy 0 FAy FP 0 Fx 0 FC FAx 0 MA F 0 FCltg60 FPl 0 FC 0 577FPFAx 0 577FPFAy FP 208 讨论 三力平衡汇交定理的应用 由平面汇交力系的平衡方程 Fx 0 FC FAcos60 0 Fy 0 FP FAsin60 0 FA 1 155FPFC 0 577FP 209 4 解 取ABC为研究对象 受力分析如图示 Fy 0 FAy FP 0 Fx 0 FC FAx 0 MA F 0 FCltg60 FPl M 0 FC 1 155FPFAx 1 155FPFAy FP 210 讨论 平衡方程的等价形式 Fy 0 FAy FP 0 MA F 0 FCltg60 FPl M 0 MC F 0 FAxltg60 FPl M 0 二力矩形式 注意 AC不垂直于y轴 211 三力矩形式 MA F 0 FCltg60 FPl M 0 MC F 0 FAxltg60 FPl M 0 MB F 0 FCltg60 FAyl M 0 注意 A B C不共线 212 例2已知 q M qa2 AB AD 2a BC a 求 A D处的约束力 解 取整体为研究对象 受力分析如图示 MB F 0 FAy 2a M 2qa a 0 Fy 0 FDcos45 FAy 2qa 0 Fx 0 FAx FDsin45 0 FAx 3qa 2FAy qa 2FD 3qa 2 213 例3已知 q M qa2 AB a 求 A B处的约束力 解 取AB为研究对象 受力分析如图示 MA F 0 FBcos a M qa 2 2a 3 0 Fx 0 FAx FBsin 0 Fy 0 FAy qa 2 FBcos 0 FAx 2qa tan 3FAy 7qa 6FB 2qa 3cos 214 例4已知 q M qa2 AB a 求 固定端A的约束力 解 取AB为研究对象 受力分析如图示 MA F 0 MA M qa a 2 0 Fx 0 FAx 0 Fy 0 FAy qa 0 FAx 0FAy qaMA 3qa2 2 215 例5已知 水平搁板重FG 800kN AB CD 1 5m AD BC 0 6m DK 0 75m AH BE 0 25m E和H为蝶铰 D和K为球铰 求 铰E H和D的约束力 216 解 取板为研究对象 受力分析如图示 FEx FHx FDsin 0 FEz FHz FDcos FG 0 几何关系 sin 0 8cos 0 6 FHz EH FDcos AE FG EH 2 0 FG AD 2 FDcos AD 0 FHx EH FDsin AE 0 217 平面任意力系平衡方程的基本形式 空间任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡方程的等价形式 平面特殊力系的平衡方程 平衡方程的应用 单体平衡问题 要点回顾 218 理论力学 力系的平衡 二 219 3 2物系平衡静定与超静定问题3 2 1物系平衡 两个或两个以上刚体用一定的方式连接起来组成的系统 称为刚体系统 rigidmultibodysystem 刚体系统整体处于平衡时 每一局部均处于平衡 局部 组成系统的单个或几个刚体所构成的子系统 220 221 刚体系统平衡问题的特点是 仅仅考察系统整体平衡 无法求得全部未知力 222 求解物系平衡问题 可选取单个刚体 某个局部 系统内几个相互连接的刚体 或整个系统作为研究对象 列出平衡方程求解 223 对于由n个刚体组成的受平面力系作用的系统 其独立平衡方程数 3n 224 3 2 2静定与超静定问题 静定问题 staticallydeterminateproblems 未知约束力的数目 独立的平衡方程数超静定问题 staticallyindeterminateproblems 未知约束力的数目 独立的平衡方程数 225 静定 超静定 超静定 不完全约束 226 静定结构的例子 227 超静定结构的例子 228 3 2 3物系平衡问题应用举例 例1已知 q 10KN m M 20KN m 60 求 A B C处约束力 229 解 1 研究BC MC F 0 FBy 3 3q 3 2 0 Fx 0 FBx FCsin60 0 Fy 0 FBy 3q FCcos60 0 230 2 研究整体 MD F 0 M 4FAy 5q 5 2 FCcos60 5 0 Fx 0 FAx FCsin60 0 231 例2支架如图示 已知AB BC CA 铰D位于AC杆的中点 力FP作用于BC杆的中点E 求铰链C约束力和BD杆的内力 解 1 研究整体 设AB a MA F 0 232 2 研究BC MC F 0 Fx 0 FCx FBDcos30 0 Fy 0 FCy FP FBDsin30 FB 0 233 例3半径为R的圆形玻璃杯将两个半径为r r R 2r 重P的小球扣在光滑的水平桌面上 如图所示 求玻璃杯不致翻倒的最小重量Qmin 234 解 1 研究整体 临界状态受力如图 QR Pr P N 2R r 0 MB F 0 235 2 研究两小球 受力如图 Fy 0 QR Pr P N 2R r 0 N 2P 0 236 例4已知 FW 1 2KN AD DB a 2m CD DE b 1 5m 求 A B处的支座反力及杆BC的内力 237 解 1 研究滑轮 CE 设滑轮半径为r FT FW MD F 0 FCBbcos FT b r FWr 0 因为cos 0 8 FCB 1 25FW 1 5kN 238 2 研究整体 MA F 0 FB2a FT b r FW a r 0 Fx 0 FAx FT 0 Fy 0 FAy FB FW 0 FCB 1 5kNFB 1 05kNFAx 1 2kNFAy 0 15kN 239 例5已知 P 2KN H处为光滑接触 图中长度单位为m 求 铰链B约束力 解 1 研究整体 MA F 0 FH 2 3 3 P 3 6 3 0 FH 3P 2 240 2 研究BH FBy 3P 2 FH 3P 2 241 3 研究BH DE 由此即可解出 FBx P 2 1kNFBy 3P 2 3kN 242 要点回顾 静定与超静定问题 物系平衡 物系平衡的应用问题 243 理论力学 力系的平衡 三 244 3 3平面桁架3 3 1平面静定桁架 桁架 truss 是工程中常见的一种杆系结构 是一个由若干直杆的两端以适当的方式连接 铆 焊 而成的几何形状保持不变的系统 各杆件的轴线及所有荷载均处于同一平面内的桁架称为平面桁架 planartruss 桁架结构在工程中有极其广泛的应用 245 工程中的桁架结构 246 工程中的桁架结构 247 工程中的桁架结构 248 工程中的桁架结构 249 工程中的桁架结构 250 工程中的桁架结构 251 工程中的桁架结构 252 工程中的桁架结构 253 工程中的桁架结构 254 工程中的桁架结构 255 工程中的桁架结构 256 为简化计算 平面桁架常采用以下基本假设 所有杆件仅在端部用光滑园柱铰链相互连接 主动力 荷载 只作用在连接处 所有杆件的自重忽略不计 满足以上假设的平面桁架称为平面理想桁架 其受力特征是桁架中的各杆均可看成二力杆 只承受拉力或压力 而不能承受弯曲 桁架中各杆轴线在杆件端部连接处的交点称为节点 node 257 简化计算模型 258 力学中的桁架模型 模型与实际结构的差异 259 3 3 2计算桁架内力的节点法 节点法 methodofjoints 每一节点可列两个平衡方程 解两个未知数 求解步骤及注意事项 先以整个桁架为研究对象 求出支座反力 从只有两个未知力的节点开始 依次研究各节点 直到求出全部待求量 假设各杆均受拉力 力矢背向节点 计算结果为正表示受拉 为负表示受压 260 假设各杆均受拉力 261 节点法例题 已知 P 40kN Q 10kN求 杆1 6的内力 解 整体 262 FAx F1 F2cos45 0FAy F2sin45 0 F1 F4 0 P F3 0 F2 cos45 F6 F5cos45 0F2 sin45 F3 F5sin45 0 263 F1 20kNF2 42 4kNF3 40kNF4 20kNF5 14 14kNF6 20kN 杆1 3 4受压 杆2 5 6受拉 264 3 3 3计算桁架内力的截面法 截面法 methodofsections 截面的形状不限 可以是任意的平面或曲面 每次切割的未知力杆尽量不要超过三根 若需求出桁架全部杆的内力 常用节点法 若只需求出少数几根杆的内力 常用截面法 或两种方法结合应用 265 截面法例题 已知 P 40kN Q 10kN求 杆4 5 6的内力 解 研究整体FB 10kN 取截面m m 研究右半部分 266 ME F 0 FB a Q a F6 a 0 MD F 0 FB 2a F4 a 0 Fy 0 FB F5cos45 0 F4 20kNF5 14 14kNF6 20kN 267 3 3 4几个补充问题 平面桁架的静定性 设平面桁架的杆数为m 节点数为n 则当 m 3 2n时 平面桁架是静定的 m 3 2n时 平面桁架是超静定的 m 3 2n时 为一可变形结构 268 多余约束杆 零力杆的直接判断 桁架中内力为零的杆件称为零力杆 269 零力杆的直接判断 1 两杆件相交的节点 S1 0 S2 0 S2 0 2 三杆件相交的节点 S3 0 270 思考题 图示桁架哪些杆是零力杆 注意 平面静定桁架的零力杆只是在特定载荷下内力为零 所以它绝不是多余的杆件 271 图示桁架哪些杆是零力杆 272 图示桁架哪些杆是零力杆 273 例4 已知力P 求图示桁架各杆的内力 F1 F2 F3 F4 F5 F6 P P P 0 0 0 274 例5 已知力P 求图示桁架1 2和3杆的内力 A B C 275 解 1 取截面m m 研究右半部分 MB F 0 S4 3a P 4a 0 S4 4P 3 276 2 取截面n n 研究右半部分 MC F 0 S1 3a P 6a 0 S1 2P 277 3 研究节点A S4 S3cos S1 0 S2 S3sin 0 S2 P 2S3 5P 6 S1 2PS2 P 2S3 5P 6 278 第二部分运动学 理论力学 运动学基础 一 279 第二部分运动学 引论运动学的任务运动学 kinematics 研究物体在空间的位置随时间变化的几何性质 运动学只从几何方面来描述物体的运动 而不考虑与运动有关的物理因素 运动学的特征量是位置 速度 加速度和轨迹等 280 2 力学模型 所谓相对于参考系的运动 即是在参考系上的观察者所观察到的运动 或者说是将参考系当作 静止的 来研究物体的运动 参考体 referencebody 参考系 referencesystem 3 参考系 动点 point 刚体 rigidbody 281 由于同一物体相对不同的参考系的运动是不同的 故不明确指出指出参考系 论及物体的运动是毫无意义的 工程上通常以大地为参考系 4 基本方法 分析法 建立运动方程的方法 矢量法 合成法 282 1 理论力学 刘延柱杨海兴编高等教育出版社 面向21世纪课程教材 2 理论力学 第6版 哈尔滨工业大学理论力学教研室编 高等教育出版社3 理论力学 第三版 浙江大学理论力学教研室编 高等教育出版社 面向21世纪课程教材 4 EngineeringMechanicsDYNAMICS SecondEdition AndrewPytel JaanKiusalaas清华大学出版社 影印版 参考书目 283 4运动学基础 主要内容 284 4 1点的运动学 点的运动学研究动点在空间的几何位置随时间变化的规律 4运动学基础 4 1 1矢量表示 1 运动方程 r r t 点的运动方程的矢量形式 点的位矢 positionvector r 285 位矢r的末端相对参考系描出一条连续曲线 称为矢端曲线 也就是动点M的轨迹 trajectory 动点M的位移 displacement r r t t r t 当 t 0时 r dr dr称为M点的元位移 infinitesimaldisplacement 286 v的方向沿轨迹在该点的切线方向 其大小等于 2 点的速度 动点的瞬时速度 velocity 等于它的位矢对时间的一阶导数 287 3 点的加速度 时刻t动点的加速度 acceleration 定义为 即动点的瞬时加速度等于它的速度对时间的一阶导数 或其矢径对时间的二阶导数 注意加速度a的方向 应为 t 0时 v的极限方向 一般说来它并不在速度方向上 除非是动点作直线运动 288 动点M的矢径r在空间固定直角坐标系Oxyz上的投影表达式为 r xi yj zk 4 1 2直角坐标法 1 运动方程 x x t y y t z z t 点的运动方程的直角坐标形式 289 x x t y y t z z t 上述方程也是以t为参数的参数形式的轨迹方程 消去时间t 即可得到直角坐标表示的轨迹方程的显形式 直角坐标表示的动点M的元位移dr dr dxi dyj dzk 2 点的速度 290 动点的速度在各坐标轴上的投影分别为 由此即可确定速度矢量的大小和方向 3 点的加速度 291 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴 弧坐标 来确定动点位置的方法称为自然法 弧坐标 arccoordinateofadirectedcurve s 4 1 3自然法 1 运动方程 点的运动方程的自然形式 s s t 292 空间曲线的曲率 空间曲线上的弧段MM 的平均曲率定义为 当M M时 弧长 s 0 对 s取极限 得曲线在M点处的曲率 curvature s 0 k s 平均曲率反映了弧段MM 的弯曲程度 293 曲线在M点处的曲率是曲线在该点弯曲程度的量度 它的倒数具有长度的量纲 称为曲率半径 radiusofcurvature 即 曲率圆 circleofcurvature 曲率半径及曲率中心 centerofcurvature 的几何意义 294 自然轴系 轨迹曲线在M点处的曲率园所在的平面称为曲线在该点的曲率平面或密切面 osculatingplane 由M点处的曲线的切线 主法线和副法线组成的正交标架称为自然轴系 trihedralaxesofaspacecurve 其单位矢量 n b 称为自然轴系的基矢量 295 2 点的速度 注意到dr ds 3 点的加速度 296 式中 由下图不难看出 1 且 的极限方向沿M点的主法线方向 即有 因此 297 a 和an分别称为动点M的切向加速度 tangentialacceleration 和法向加速度 normalacceleration a 沿M点处轨迹的切线方向 反映了速度大小随时间的变化率 an的方向永远指向曲率中心 反映了速度方向随时间的变化率 恒为正值 298 例1 图示曲柄连杆机构 已知r l h t 求滑块B的运动方程 速度和加速度 299 解 滑块B作直线运动 引入固定坐标轴x如图示 考虑B在任意位置的坐标 于是有滑块B的运动方程 300 故滑块B的速度等于 滑块B的加速度 略 301 例2 已知固定大圆环的半径为R 杆AB绕A转动 t 求小圆环M的直角坐标运动方程 速度和加速度 解 引入平面直角坐标系如图示 t时刻M的坐标为 x Rcos2 y Rsin2 故有M的运动方程 x Rcos2 t y Rsin2 t 302 v 2R a 4R 2 303 例3 已知固定大圆环的半径为R 杆AB绕A转动 t 求小圆环M的弧坐标运动方程以及速度和加速度 解 引入弧坐标如图示 t时刻M的坐标为 s R 2R a 4R 2 3