高等数学第三章导数的应用.ppt

中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 第三节 第三章导数的应用 定理1设函数f x 满足条件 由上述的讨论 我们可以得到如下定理 罗尔 Rolle 定理 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 f a f b 则在 a b 内至少存在一点 使得 证因f x 在闭区间 a b 上连续所以在 a b 上一定取到最大值M和最小值m 1 若M m则f x 在 a b 上是常数 f x M x a b 3 1 1罗尔定理 由于f x 在 处取最大值 所以不论 x为正或为负 总有 当 x 0时 2 若M m 则M m中至小有一个不等于f a 不妨设f a M 因此 函数f x 在内 a b 某一点 处取到最大值M 我们来证 同理 当 x 0时 从而 因此 任取 a b 都有 因此必然有 3 1 2拉格朗日中值定理 由上述的讨论 我们可以得到如下定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理 定理2设函数f x 满足条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则在 a b 内至少存在一点 使得 分析 若f a f b 即为罗尔定理 不妨设f a f b 证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理 容易看出 弦的方程为 证作辅助函数 即 它是x的函数 将其记为 显然函数满足罗尔定理的条件 显然在上 a b 连续 在 a b 可导 且 于是由罗尔定理 至少存在一点 a b 使得 MadebyHuilaiLi 中值定理的演示 T与l平行 这样的x可能有好多 在区间上应用拉各朗日中值定理时 结论可以写成 由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论 证在 a b 内任意取两点x1 x2 不妨设x1 x2 显然f x 在 a b 上连续 在 x1 x2 内可导 由拉格朗日中定理可知 至少存在一点 x1 x2 使得 推论2若函数f x g x 在 a b 内可导 且 推论1若函数f x 在 a b 内任意点的导数 则f x 在 a b 内是一个常数 由条件知 从而f x2 f x1 0 即f x2 f x1 由x1 x2是 a b 内的任意两点 于是我们就证明了f x 在 a b 内恒为一个常数 则在 a b 内 f x 与g x 最多相差一个常数 即 其中c为常数 事实上 因为 由推论1可知 应用拉格朗日定理 我们不可以证明一些等式和不等式 例1 证明等式 证 设 由推论可知 常数 令x 0 得 又 故所证等式在定义域上成立 自证 经验 欲证 时 只需证在I上 机动目录上页下页返回结束 例2 证明不等式 证 设 中值定理条件 即 因为 故 因此应有 机动目录上页下页返回结束 3 1 3柯西中值定理 定理3设函数f x 和g x 满足条件 作为拉格朗日定理的推广 我们证明如下柯西定理 则在 a b 内至少存在一点 使得 证先用反证法证明g b g a 0 若不然 即有g b g a 则由罗尔定理知 至少存在一点x0 a b 使得 此与条件 3 矛盾 故有g b g a 0 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 注容易看出 拉格朗日中值定理是柯西定理当g x x时的一个特殊情况 柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则 即 显然F x 满足罗尔定理的三个条件 因此 在 a b 内至少存在一点 使得 即 为证明等式成立 我们作辅助函数 费马 1601 665 法国数学家 他是一位律师 数学 只是他的业余爱好 他兴趣广泛 博 览群书并善于思考 在数学上有许多 重大贡献 他特别爱好数论 他提出 的费马大定理 至今尚未得到普遍的证明 他还是微积分学的先驱 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的 拉格朗日 1736 1813 法国数学家 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要集中 在微积分学 柯 西全集 共有27卷 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的 分析教程 无穷小分析概论 微积 分在几何上的应用 等 有思想有创建 响广泛而深远 对数学的影 他是经典分析的奠人之一 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展 复变函数和微分方程方面 一生发表论文800余篇 著书7本 三 其他未定式 二 型未定式 一 型未定式 第二节 机动目录上页下页返回结束 洛必达法则 第三章 定理 设 1 2 在点的某邻域内 点本身可以除外 及存在且 3 存在或为无穷大 则有 一两个无穷小量之比的极限 型 3 1 4罗必达法则 例1 求 解 原式 注意 不是未定式不能用洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 例2 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例3 求 解 原式 例4 求 解 1 n为正整数的情形 原式 机动目录上页下页返回结束 说明 例如 而 用洛必达法则 1 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 机动目录上页下页返回结束 例如 极限不存在 机动目录上页下页返回结束 2 若 其他未定式 解决方法 通分 取倒数 取对数 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 解 原式 例6 求 机动目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 例7 求 解 利用例5 例5目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 例8 求 解 注意到 原式 机动目录上页下页返回结束 内容小结 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设 是未定式极限 如果 不存在 是否 的极限也不存在 举例说明 极限 说明目录上页下页返回结束 洛必达 1661 1704 法国数学家 他著有 无穷小分析 1696 并在该书中提出了求未定式极 限的方法 后人将其命名为 洛必达法 的摆线难题 以后又解出了伯努利提出的 最速降 线 问题 在他去世后的1720年出版了他的关于圆 锥曲线的书 则 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 机动目录上页下页返回结束 解 原式 第三节目录上页下页返回结束 一 函数单调性和极值 机动目录上页下页返回结束 二 曲线的凹凸与拐点 3 2函数性态的研究 第三章 3 2 1函数单调性和极值1 函数的单调性 若 定理1 设函数 则在 a b 内单调递增 递减 证 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明在I内单调递增 在 a b 内可导 机动目录上页下页返回结束 证毕 例1 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动目录上页下页返回结束 说明 单调区间的分界点除驻点外 也可是导数不存在的点 例如 2 如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如 机动目录上页下页返回结束 例2 证明 时 成立不等式 证 令 从而 因此 且 证 证明目录上页下页返回结束 证明 令 则 从而 即 2函数的极值及其求法 定义 在其中当 时 1 则称为的极大值点 称为函数的极大值 2 则称为的极小值点 称为函数的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点 机动目录上页下页返回结束 注意 为极大点 为极小点 不是极值点 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或不存在的点 1 函数的极值是函数的局部性质 例如 为极大点 是极大值 是极小值 为极小点 机动目录上页下页返回结束 定理2若函数f x 在点处有极值 且存在 则 使的点称为函数f x 的驻点 定理1 极值第一判别法 且在空心邻域 内有导数 机动目录上页下页返回结束 例1 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求极值可疑点 令 得 令 得 3 列表判别 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 机动目录上页下页返回结束 定理2 极值第二判别法 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 机动目录上页下页返回结束 不确定 例2 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求驻点 令 得驻点 3 判别 因 故为极小值 又 故需用第一判别法判别 机动目录上页下页返回结束 下列命题是否正确 为什么 1 若 则x0是f x 的极值点 2 若f x 在x0点取得极值 必有 解 1 错误 如f x x3 则 但f x 在x0 0点无极值 2 错误 反例为 易知f x f 0 即x0 0是f x 极值点 但f x 在x0 0不可导 二 最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法 1 求在内的极值可疑点 2 最大值 最小值 机动目录上页下页返回结束 特别 当在内只有一个极值可疑点时 当在上单调时 最值必在端点处达到 若在此点取极大值 则也是最大值 小 对应用问题 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点 小 机动目录上页下页返回结束 3 2 2曲线的凹凸性与拐点1曲线的凹凸性定义 如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方 我们就称这段曲线是凹曲线 如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方 我们就称这段曲线是凸曲线 曲线的拐点 如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分 那么这两部分的分界点叫拐点 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形是凸的 设函数 在区间I上有二阶导数 例1 判断曲线 的凹凸性 解 故曲线 在 上是向上凹的 说明 1 若在某点二阶导数为0 2 根据拐点的定义及上述定理 可得拐点的判别法如下 若曲线 或不存在 的一个拐点 则曲线的凹凸性不变 在其两侧二阶导数不变号 机动目录上页下页返回结束 例2 求曲线 的拐点 解 不存在 因此点 0 0 为曲线 的拐点 凹 凸 机动目录上页下页返回结束 例3 求曲线 的凹凸区间及拐点 解 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹 向上凸 点 0 1 及 均为拐点 凹 凹 凸 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 可导函数单调性判别 在I上单调递增 在I上单调递减 2 曲线凹凸与拐点的判别 拐点 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 提示 利用 单调增加 及 B 1 设在 机动目录上页下页返回结束 2 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示 及 第五节目录上页下页返回结束 有位于一直线的三个拐点 1 求证曲线 证明 备用题 机动目录上页下页返回结束 令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线 机动目录上页下页返回结束 证明 当 时 有 证明 令 则 是凸函数 即 2 机动目录上页下页返回结束 自证 内容小结 1 连续函数的极值 1 极值可疑点 使导数为0或不存在的点 2 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 3 第二充分条件 为极大值 为极小值 定理3目录上页下页返回结束 最值点应在极值点和边界点上找 应用题可根据问题的实际意义判别 2 连续函数的最值 3 设 是方程 的一个解 若 且 A 取得极大值 B 取得极小值 C 在某邻域内单调增加 D 在某邻域内单调减少 提示 A 机动目录上页下页返回结束 特点 3 3函数展为幂级数 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 需要解决的问题 如何提高精度 如何估计误差 x的一次多项式 3 3 1用多项式近似表示函数 1 求n次近似多项式 要求 故 机动目录上页下页返回结束 令 则 1 幂级数 常用的几个函数的幂级数展开式 定义1 给定数列则表达式叫做无穷级数 简称为级数 记为或或 其中第n项叫做无穷级数的通项或一般项 如果级数的每一项都是常数 这级数称为常数项级数或数项级数 如果级数的每一项都是函数 这级数叫做函数项级数 2 f x 的幂级数展开式 函数f x 在点x 0处的幂级数展开式 二 几个初等函数的麦克劳林公式 其中 机动目录上页下页返回结束 其中 机动目录上页下页返回结束 类似可得 其中 机动目录上页下页返回结束 其中 机动目录上页下页返回结束 已知 其中 类似可得 机动目录上页下页返回结束 例1 计算无理数e的近似值 解 令x 1 得 当n 9时 机动目录上页下页返回结束 说明 注意舍入误差对计算结果的影响 本例 若每项四舍五入到小数点后6位 则 各项舍入误差之和不超过 总误差为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 机动目录上页下页返回结束 泰勒 168