《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究

高考命题规律分析与解题对策研究 南宁三中数学组李俊强 解析几何是高中数学的重要内容 其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线 其本质是用代数的方法研究图形的几何性质 在考基础 考能力 考素质 考潜能的考试目标指导下 每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例 除涉及平面向量知识外 还常与数列及函数和导数交汇 一 版块知识分析及考纲考情分析 二 全国大纲 卷近6年文 理高考试卷考查 解析几何 有关内容分析 三 高考命题的特征及趋势 四 解题对策研究 五 复习建议 一 版块知识分析及考纲考情分析 1 知识结构 2 考试大纲 要求考试内容的知识要求 能力要求和个性品质要求 知识要求对知识的要求 依次为了解 理解和掌握 灵活和综合运用三个层次 解析几何的内容要求的层次分析 了解部分 文 理科完全一样 二元一次不等式表示平面区域 线性规划的意义 解析几何的基本思想 坐标法 圆的参数方程的概念 椭圆的参数方程 圆锥曲线的初步应用 理解和掌握部分 除上述了解部分外 其余都在理解和掌握的水平上 能力要求能力是指思维能力 运算能力 空间想象能力以及实践能力和创新意识 高中平面解析几何的主要体现在思维能力和运算能力上 个性品质要求个性品质是指考生个体的情感 态度和价值观 其中提到的 要求考生 崇尚数学的理性精神 形成审慎思维的习惯 体会数学的美学意义 克服紧张情绪 树立战胜困难的信心 体现锲而不舍的精神 在解析几何上是体现得淋漓尽致 3 思想方法高考命题的着眼点看上去是考查知识 但核心是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力 利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质 其核心是 数形结合 的思想方法 由于解析几何内容的综合性 在解决问题的过程中 就必然还要用到其它的思想方法 如函数与方程思想 转化与化归思想 分类与整合思想 特殊与一般思想 以及待定系数法 换元法等等 二 全国大纲 卷近6年数学文 理高考试卷考查 解析几何 有关内容分析 表一 考点 分值和题型分析 表二 以2012年全国大纲卷数学高考 考试说明 为参考 全国大纲 卷近6年数学文 理考点频率分析 表三 高频词统计 有关内容的提及或涉及 只统计理科数学 三 高考命题的特征及趋势 1 题量稳定 近几年来高考解析几何试题一直稳定在三 或二 个选择题 一个填空题 一个解答题上 分值约为30分 占总分值的20 左右 其中2008年文理均达到了37分之多 足见其之不可动摇的重要地位 文理考点与分值差别不大 只是顺序变化 特别是解答题完全相同 理科都放在第21题 而文科都放在第22题 2 整体平衡 重点突出 重点内容重点考 重点内容年年考 以2012年全国大纲卷数学高考 考试说明 为参考 可理解为有19个知识点 一般考查的知识点在60 左右 其中对直线 圆 圆锥曲线知识的考查从没遗漏 通过对知识的重新组合 考查时既注意全面 更注意突出重点 对支撑数学科知识体系的主干知识 考查时保证较高的比例并保持必要深度 直线与圆的方程 圆锥曲线的定义 标准方程 几何性质等是支撑解析几何的基石 也是高考命题的基本元素 高考十分注重对这些基础知识的考查 有的是考查定义的理解和应用 有的是求圆锥曲线的标准方程 有的是直接考查圆锥曲线的离心率 有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等 近6年全国卷数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型 求方程 类型确定 甚至给出曲线方程 直线 圆和圆锥曲线间的交点问题 含切线问题 与圆锥曲线定义有关的问题 涉及焦半径 焦点弦 焦点三角形和准线 利用余弦定理等 与曲线有关的最值问题 含三角形和四边形面积 与曲线有关的几何证明 圆线相切 四点共圆 对称性或求对称曲线 平行 垂直等 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征 含范围与最值 3 能力立意 渗透数学思想 如2012年理第21题 文科第22题 以抛物线和圆为背景 将两者的概念 性质与应用导数求曲线切线等知识融为一体 有很强的综合性 一些虽是常见的基本题型 但如果借助于数形结合的思想 就能快速准确的得到答案 4 题型稳定 中规中矩 不偏不怪 内容及位置也很稳定 难度不算太大 选择题 填空题属易中等题 高考一般不给出图形 选择题 填空题从没有 解答题也只有2009 2011两年给了图 解答题加大与相关知识的联系问题直接 无探索性 解答题与圆有关 计算量减少 但思考量增大 对于用代数方法研究有关直线与椭圆 抛物线位置关系问题 体现在解法上 不仅仅只是利用根与系数关系研究 而是在方法的选择上更加灵活 如联立方程组求交点或向量的运算等 思维层次的要求并没有降低 若再按以前的 解几套路 解题显然难以成功 四 解题对策研究 1 直线与圆的方程对于直线方程 要理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握点到直线的距离公式等 特别是求直线方程的几种形式 而对于圆的方程 要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法 如求解圆的方程的待定系数法 求圆的圆心与半径的配方法 求圆的弦心距的构造直角三角形法 判断直线与圆 圆与圆的位置关系的代数法与几何法 求圆的切线的基本方法等 这些方法是解决与圆有关问题的常用方法 必须认真领会 熟练运用 2 线性规划全国大纲卷的这部分内容考得很直接很简单 线性约束条件都不含参数且目标函数都是直线型的 其他型的可稍加训练 不必过分拓展 其它年高考的目标函数如 2013年会有大动作吗 3 圆锥曲线的定义 标准方程 命题意图 本小题主要考查了双曲线的定义和性质的运用 以及余弦定理的运用 首先运用定义得到两个焦半径的值 然后结合三角形中的余弦定理求解即可 类似的题目很多 总结 利用圆锥曲线的定义是解决此类问题的有效方法 当然熟记某些常用的结论对于提高解题速度大有好处 特别是在高考复习的冲刺阶段 尤为重要 4 圆锥曲线的离心率 离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点 求离心率的值 或其取值范围 的问题是解析几何中很常见的问题 其归根结底是利用定义寻求关于a b c的相应等式 并把等式中的a b c转化为只含有a c的齐次式 再转化为含e的等式 最后求出e 该类题型较为基础 一般以填空题 选择题或解答题的第一问的形式出现 而全国卷高考的选择填空题中常常涉及焦半径等 可利用第二定义构造直角三角形来解决 从而避免了复杂的运算 答案 B 类似的题目还有 2008年全国 卷理152007年全国 卷理112007年全国 卷理11 2010年全国 卷理16 2010年全国 卷理12 2010年全国 卷理15 2009年全国 卷理12 2009年全国 卷理11 2008年全国 卷理15 2007年全国 卷理11 2007年全国 卷理11 如此之多 难道还不应该引起足够的重视吗 5 直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合性问题 只想要一些步骤分 很简单 可速战速决 用 解几套路 不过2012年行不通了 要想尽可能地多拿分 一定要好好 策划 除了时间上的保障之外 各种题型的提前研究当然显得格外重要了 在有限的二轮复习时间内 多研究全国卷的考题又显特别重要 当然其他省也有很多跟我们的考题类似的 或可以很轻松地进行转化的 五 复习建议 1 回归课本 重视通性通法高考命题的一个不变的原则就是 源于课本 又不囿于课本 2 夯实基础 关注核心内容常态试题是考查数学基础知识 基本技能的重要阵地 考试说明 在命题指导思想中也指出 考查考生对基础知识 基本技能的掌握程度是高考考查的重要目标之一 对数学基础知识的考查 要求既全面 又突出重点 对于支撑数学知识体系的主干知识要占有较大的比例 是支撑数学试卷的主体 因此 考查核心内容 主干知识的问题在高考的试卷中都较为基础 常态 按前面统计的高频词 除了课本上有的之外 还有的往往会让我们忽略 稍有不慎满盘皆输 例如 3 熟记一些重要二级结论 对解决选择填空题非常有效 对解答题也有很好的指导作用 解析几何中的二级结论特别多 而抛物线又是更加多 其中又绝大多数与焦点 焦半径 焦点弦 焦点三角形和准线有关 简单地说 就是与定义有关 如抛物线的二级结论有如下 有关定点 定值问题 有关圆线相切问题 有关共线问题 有关平分与对称问题 有关面积问题 与数列有关的问题等 4 参考外省 有备无患 在我们重视基础 强化训练运算能力的同时 做为解析几何的经典题型中的存在性的探求 定点 定值问题 参数范围等全国卷从未涉及的问题 做为预防可做适当训练 但不宜花太多时间和精力而让学生感到乏力和恐惧 平时的各种考试命题要重视选题 个人认为可用如下两个标准检验 不要偏题 怪题 繁题