高三数学函数单调性

第三章导数 二导数的应用 3 6函数的单调性 复习引入 问题 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性 1 一般地 对于给定区间上的函数f x 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 2 由定义证明函数的单调性的一般步骤 1 设x1 x2是给定区间的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 并变形 3 判断差的符号 从而得函数的单调性 例1讨论函数y x2 4x 3的单调性 解 取x1f x2 所以y f x 在区间 2 单调递减 当20 f x1 f x2 所以y f x 在区间 2 单调递增 综上y f x 单调递增区间为 2 y f x 单调递减区间为 2 单增区间 1 和 1 单减区间 1 0 和 0 1 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 如 y x 1 x 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过单调函数的图象来考察一下 单调性的判别法 从几何图形上看 表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时 曲线总是上升 下降 的 这就启示我们 能否利用导数的符号来判定单调性 进一步 若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正 负 即切线的倾角全为锐 钝 角 曲线就是上升 下降 的 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 结论 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 结论应用 由以上结论可知 函数的单调性与其导数有关 即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性 现举例说明 例3 确定函数在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 例4求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 解 函数的定义域为R 令6x2 12x 0 解得x2 则f x 的单调递增区间为 0 和 2 再令6x2 12x 0 解得0 x 2 则f x 的单调递减区间为 0 2 注 当x 0或2时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 f x 6x2 12x 例5求函数y x2 1 x 3的单调区间 解 y x2 1 x 3 2x 1 x 3 x2 3 1 x 2 1 x 1 x 2 2 1 x 3x x 1 x 2 2 5x 令x 1 x 2 2 5x 0 解得0 x y x2 1 x 3的单调增区间是 0 令x 1 x 2 2 5x 0 解得x 0或x 且x 1 y x2 1 x 3的单调减区间是 0 注意 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 总结 根据导数确定函数的单调性一般需三步 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 课堂练习 1 确定下列函数的单调区间 1 y x3 9x2 24x 2 y x x3 2 讨论二次函数y ax2 bx c a 0 的单调区间 3 求下列函数的单调区间 1 y 2 y 3 y x 练习求函数f x x2 lnx2的单调区间 求函数f x x2 2lnx的单调区间 例6 证 注意 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 例如 练习 当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 分析 假设令f x e2x 1 2x f 0 e0 1 0 0 如果能够证明f x 在 0 上是增函数 那么f x 0 则不等式就可以证明 证明 令f x e2x 1 2x f x 2e2x 2 2 e2x 1 x 0 e2x e0 1 2 e2x 1 0 即f x 0 f x e2x 1 2x在 0 上是增函数 f 0 e0 1 0 0 当x 0时 f x f 0 0 即e2x 1 2x 0 1 2x e2x 点评 所以以后要证明不等式时 可以利用函数的单调性进行证明 把特殊点找出来使函数的值为0 巩固提高 1 证明 方程x sinx 0只有一个实根x 0 巩固提高 求函数y x 2sinx 0 x 2 单调区间 归纳总结 1 函数导数与单调性的关系 若函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 2 本节课中 用导数去研究函数的单调性是中心 能灵活应用导数解题是目的 另外应注意数形结合在解题中应用 石器时代SFhttp shiqishidai cc 石器时代SF容凌娢一副视死如归的样子 士可杀 不可辱 要杀要刮随你便 总比在这里干活还被人欺负要好 干嘛这么激动 我没有生气啊 没有生气还把我搞到这里来刷碗 慕容凌娢的肚子不争气的叫了起来 古风一言 点朱砂 笔书华 戎马难忘镜中花 第026章风俗习惯不同而已 咕噜噜 还没吃东西吗 这不是废话嘛 慕容凌娢没好气的说 给 专门给你留的 百蝶从袖子中拿出了一个小布袋 递给了慕容凌娢 应该还是热着的 慕容凌娢打开袋子 里面是两个还冒着淡淡热气的馒头 就只有这个吗 慕容凌娢看百蝶的眼神完全变了 她已经被百蝶的食物 驯化 了 人不要太贪得无厌了 你还想要什么 有木有老干妈 辣条也行啊 慕容凌娢狼吞虎咽地吃着馒头 还在死皮赖脸的讨价还价 干吃馒头很不好吃啊 那你怎么还吃 因为饿 你慢慢吃吧 我先回去了 百蝶看了看放在慕容凌娢身旁的盘子 那些被打碎的盘子我就不在追究了 至于其它的盘子和碗 今晚必须刷完 嗯 纳尼 慕容凌娢赶忙将嘴里的馒头咽了下去 差点没有噎出眼泪来 百蝶姐姐你 这真的不是我打碎的 百蝶丝毫不理会慕容凌娢的解释 头也不回的走了 独自留慕容凌娢在风中凌乱 笨蛋 白痴 心机girl 慕容凌娢不停地小声嘀咕 居然还分楼主 层主 不就是变向的中二病吗 如果你是楼主 我还是吧主呢 说归说 慕容凌娢还是得老老实实的刷碗 第二天 天哪 那个小女孩居然真的把碗给刷完了 估计是在这里待了一晚上吧 真是太不可思议了 慕容凌娢依在墙边已经睡着了 根本就没有听见这些人的议论 白绫 白绫 醒醒啊 若曦走过去晃了晃慕容凌娢 唔 让我再睡一会 慕容凌娢小声哼唧 以为自己还在家里 想要再赖会儿床 白绫 赶快起来吧 若曦也没有什么办法 只好推了慕容凌娢一下 慕容凌娢刚想要再次入睡 结果身子一歪 倒了下来 啊 慕容凌娢被突然惊醒了 是谁推我的 白绫 对不起呀 若曦抱歉的说道 我看你怎么叫也叫不醒 所以就推了你一下 没摔疼吧 没 没事 慕容凌娢不好意思的笑了笑 我还以为