数学专业英语

NewWords Expressions succession连续 连贯性sequence序列 数列infinitesequence无穷序列series序列 级数 数 instructions指令event事件convergent收敛的divergent发散的convergeto收敛于diverge发散convergence收敛divergence发散theimaginarypart虚部therealpart实部complex valuedsequence复值函数real valuedsequence实值函数thepositiveintegers thesetofallpositiveintegers 2 5SequencesandTheirLimits IneverydayusageoftheEnglishlanguage thewords sequence and series aresynonyms andtheyareusedtosuggestasuccessionofthingsoreventsarrangedinsomeorder 在日常英语中 单词 sequence 和 series 是同义词 用以表示按某种次序排列的一串东西或事件 Theword sequence isemployedasinthecommonuseofthetermtoconveytheideaofasetofthingsarrangedinorder buttheword series isusedinasomewhatdifferentsense 像通常用法一样 术语 sequence 用以表达按次序排列的一串东西的意思 但是 series 一词则用于表示别的意思 级数 Anothercommonwaytodefineasequenceisbyasetofinstructionswhichexplainshowtocarryonafteragivenstart 另一种常用的定义序列的方法是 通过一串指令说明在给定初项后如何给定后面的项 Afunctionfwhosedomainisthesetofallpositiveintegers1 2 3 iscalledaninfinitesequence Thefunctionvaluef n iscalledthenthtermofthesequence 以正整数集为定义域的函数称为序列 Veryoftenthedependenceonnisdenotedbyusingsubscripts andwewritean xn 序列各项对n的相关性常利用下标来表示 写成an xn Unlessotherwisespecified allsequencesinthischapterareassumedtohaverealorcomplexterms 若无另加申明 本章研究的序列都是假定具有实的项或复的项 Asequence an issaidtohavealimitLif foreverypositivenumbere thereisanotherpositivenumberN whichmaydependone suchthat an L eforalln N Inthiscase wesaythesequence an convergestoLandwewriteliman L oran Lasn Asequencewhichdoesnotconvergeiscalleddivergent n 对任意整数e 存在另一个正数N N可能跟e有关 使得 an L e对所有n N成立 就称 an 收敛于L Acomplex valuedsequencefconvergesifandonlyifboththerealpartandtheimaginarypartconvergeseparately 一个复数值序列f收敛当且仅当它的实部和虚部分别收敛 Itisclearthatanyfunctiondefinedforallpositiverealxmaybeusedtoconstructasequencebyrestrictingxtotakeonlyintegervalues 显然 每一个对所有正实数x有定义的函数都可以用来构造一个序列 其办法是限制x只取整数值 NewWords Expressions derivative导数differentiation微分法thefirstderivative一阶导数numerator分子thesecondderivative二阶导数fraction分数分式differencequotient差商approachzero趋于0averagerate平均变化率velocity速度positionfunction位置函数slope斜率tangent正切 切线acceleration加速度rectilinearmotion直线运动 2 6TheDerivativeofaFunction Ifthequotientapproachessomedefinitevalueasalimit whichimpliesthatthelimitisthesamewhetherhapproacheszerothroughpositivevaluesorthroughnegativevalues thenthislimitiscalledthederivativeoffatxandisdenotedbythesymbolf x readas fprimeofx 如果差商以某个确定的值为极限 这蕴含着不论h取正的值趋于0还是取负的值趋于0 其极限一样 那么这个极限称为f在x的导数 记作f x 读成 f一撇x Thequotientisreferredtoastheaveragerateofthechangeoffintheintervaljoiningxtox h 差商表示函数f在连接x与x h的区间上的平均变化率 Ingeneral thelimitprocesswhichproducesf x fromf x givesusawayofobtaininganewfunctionf fromagivenfunctionf 一般地 由f x 产生f x 的极限的过程提供了一种方法 从一个给定的函数f得到一个新的函数f Whenthisisinterpretedgeometricallyittellsusthat ashgetsnearerto0 thepointPremainsfixed QmovesalongthecurvetowardP andthelinethroughPQchangesitsdirectioninsuchawaythatitsslopeapproachesthenumberf x asalimit 其几何意义为 当h趋于0时 点P保持不动 而点Q沿曲线趋近P 同时 经过PQ的直线以这样的方式改变方向 即其斜率趋于数值f x 并以它为极限 Forrectilinearmotion thefirstderivativeofvelocity secondderivativeofposition iscalledacceleration 在直线运动中 速度的一阶导数称为加速度 Theprocedureusedtodefinethederivativehasageometricinterpretationwhichleadsinanaturalwaytotheideaofatangentlinetoacurve 由定义导数的过程所提供的几何解释以一种自然的方式导出了关于曲线的切线的思想 NewWords Expressions differentialequation微分方程polynomial多项式partialdifferentialequation偏微分方程inversetrigonometricfunction反三角函数approximateevaluation近似估计initialvalueproblem初值问题initialcondition初始条件mathematicalphysics数学物理boundarycondition边界条件 2 7IntroductiontoDifferentialEquations Alargevarietyofscientificproblemsariseinwhichonetriestodeterminesomethingfromitsrateofchange 大量的科学问题需要人们根据事物的变化率来确定该事物 的量 Forexample wecouldtrytocomputethepositionofamovingparticlefromaknowledgeofitsvelocityoracceleration 例如 我们可以由已知速度或者加速度来计算移动粒子的位置 Oraradioactivesubstancemaybedisintegratingataknownrateandwemayberequiredtodeterminetheamountofmaterialpresentafteragiventime 又如 某种放射性物质可能正在以已知的速度进行衰变 需要我们确定在给定的时间后遗留物质的总量 Inexampleslikethese wearetryingtodetermineanunknownfunctionfromprescribedinformationexpressedintheformofanequationinvolvingatleastoneofthederivativesoftheunknownfunction 在类似的例子中 我们力求由方程的形式表示的信息来确定未知函数 而这种方程至少包含了未知函数的一个导数 Theseequationsarecalleddifferentialequations andtheirstudyformsoneofthemostchallengingbranchesofmathematics 这些方程称为微分方程 对其研究形成了数学中最具有挑战性的一门分支 Thestudyofdifferentialequationsisonepartofmathematicsthat perhapsmorethananyother hasbeendirectlyinspiredbymechanics astronomy andmathematicalphysics 微分方程的研究是数学的一部分 也许比其他分支更多的直接受到力学 天文学和数学物理的推动 Itshistorybeganinthe17thcenturywhenNewton Leibniz andtheBernoullissolvedsomesimpledifferentialequationsarisingfromproblemsingeometryandmechanics 微分方程起源于17世纪 当时牛顿 莱布尼茨 伯努力家族解决了一些来自几何和力学的简单的微分方程 Theseearlydiscoveries beginningabout1690 graduallyledtothedevelopmentofalotof specialtricks forsolvingcertainspecialkindsofdifferentialequation 开始于1690年的早期发现 逐渐引起了解某些特殊类型的微分方程的大量特殊技巧的发展 Althoughthesespecialtricksareapplicableinrelativelyfewcases theydoenableustosolvemanydifferentialequationsthatariseinmechanicsandgeometry 尽管这些特殊的技巧只是用于相对较少的几种情况 但他们能够解决力学和几何中出现的许多微分方程 sotheirstudyisofpracticalimportance Someofthesespecialmethodsandsomeoftheproblemswhichtheyhelpussolvearediscussedneartheendofthischapter 因此 他们的研究具有重要的实际应用 这些特殊的技巧和有助于我们解决的一些问题将在本章最后讨论 Experiencehasshownthatitisdifficulttoobtainmathematicaltheoriesofmuchgeneralityaboutsolutionofdifferentialequations exceptforafewtypes 经验表明除了几个典型方程外 很难得到微分方程解的一般性数学理论 Amongthesearetheso calledlineardifferentialequationswhichoccurinagreatvarietyofscientificproblems 在这些典型方程中 有一个称为线性微分方程