课件四边形的复习课

中考复习之 四边形 胡忠友 两组对边平行 一组对边平行另一组对边不平行 一 四边形的分类及转化 平行且相等 平行且相等 平行且四边相等 平行且四边相等 两底平行两腰相等 对角相等邻角互补 四个角都是直角 同一底上的角相等 对角相等邻角互补 四个角都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分 且每一条对角线平分一组对角 相等 互相垂直平分且相等 每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 中心对称图形轴对称图形 中心对称图形轴对称图形 中心对称图形轴对称图形 轴对称图形 二 几种特殊四边形的性质 三 几种特殊四边形的常用判定方法 1 定义 两组对边分别平行2 两组对边分别相等3 一组对边平行且相等4 对角线互相平分 1 定义 有一个角是直角的平行四边形2 三个角是直角的四边形3 对角线相等的平行四边形 1 定义 一组邻边相等的平行四边形2 四条边都相等的四边形3 对角线互相垂直的平行四边形 1 定义 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2 有一组邻边相等的矩形3 有一个角是直角的菱形 1 两腰相等的梯形2 在同一底上的两角相等的梯形3 对角线相等的梯形 除了复习三角形时归纳的方法外 另补充如下 1 把线段与角归结为平行四边形的边 对角线或对角 利用平行四边形的性质证明 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角相等 2 矩形 正方形的对角线相等 3 菱形 正方形的一组邻边相等 4 平行线间的距离处处相等 5 夹在两平行线间的平行线段相等 关于有关问题证明方法的拓广 1 线段与角相等的证明 2 线段与角的和 差 倍 分问题的证明 1 用平移法作辅助线证明 在长边上截取或延长短边 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3 线段垂直问题的证明 1 用垂直的定义 即证明两线段的交角是直角 2 证明把两条线段的四个端点连结起来的四边形是菱形 或正方形 利用菱形 或正方形 对角线互相垂直的性质来证明两条线段垂直 3 利用等腰三角形 三线合一 的性质证明 4 用线段垂直平分线定理的逆定理证明两线垂直 4 线段平行问题的证明 1 内错角相等 同位角相等 同旁内角互补 两直线平行 2 平行于同一条直线的两条直线平行 3 证两线是平行四边形 或矩形 菱形 正方形 的对边 三角形中位线定理 梯形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半 A A B C D B C M N M N 条件 在 ABC中 AD BD DE BC 结论 AE EC 条件 在梯形ABCD中 AE DE AB EF DC 结论 BF FC 第三边的中点 另一腰的中点 解有关梯形类的题目 常需添加辅助线 把问题转化为三角形或四边形来求解 添加辅助线一般有下列所示的几种情况 延长两腰 1 一组对边平行的四边形是梯形 2 一组对边平行 另一组对边相等的的四边形是平行四边形 3 两条对角线相等的四边形是矩形 4 一组邻边相等的的矩形是正方形 5 对角线互相垂直的四边形是菱形 6 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 x 一 判断题 x x x 巩固练习 平行四边形的四边中点所成的四边形为 矩形的四边中点所成四边形为 菱形的四边中点所成四边形为 正方形的四边中点所成四边形为 梯形的四边中点所成四边形为 等腰梯形的四边中点所成四边形为 平行四边形 菱形 矩形 正方形 平行四边形 菱形 探索性思维 要使矩形ABCD成为正方形 需增加的条件是 要使菱形ABCD成为正方形 需增加的条件是 巩固练习 二 填空题 巩固练习 3 菱形的两条对角线长分别为2 3 则菱形的面积为 2 正方形边长与对角线之比是 1 在ABCD中 1 B 50 则 2 4 如图 菱形有一个内角是120 有一条对角线长是8 则菱形边长为 5 如图 在平行四边形ABCD中 B 45 CA BA AC 2 则平行四边形ABCD的周长为 面积为 BD的长度 D A B C 80 3 S 对角线积的一半 8或 4 二 填空题 6 一个矩形的长和宽分别是10和24 顺次连结矩形各边中点所成的四边形的面积是 A 120 B 130 C 240 D 60 7 若菱形的两条对角线分别是6cm和8cm 顺次连结菱形各边中点所得矩形的对角线的长是 矩形的面积是 A C B D E H F G 3cm 思考 根据条件能求矩形ABCD的面积吗 h 3 如图 矩形ABCD的对角线AC BD相交于点O AOB 2 BOC 若对角线AC 6cm 则你能求什么 4 如图 菱形ABCD的边长为8 BAD 120 你可以求什么 O 我发现 当矩形对角线夹角为60 时 以等边三角形为突破口 当菱形有一个内角为60 时 以等边三角形为突破口 角 边 周长 面积 菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半 我想到 5 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 请添加一个条件 使四边形EFGH为菱形 并说明理由 解 添加的条件 AC BD 我想到 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 且等于第三边的一半 2 若四边形ABCD为平行四边形 请补充条件 使得四边形ABCD为菱形 1 已知 AD BC 要使四边形ABCD为平行四边形 需要增加条件 AB BC AB CD AD BC A D 180 B C 180 A C B D 四 探究开放题 AC BD 三 选择题 1 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A 等边三角形 B 平行四边形 C 矩形 D 等腰直角三角形2 下列条件中 能判定四边形为正方形的是 A 对角线相等的平行四边形 B 对角线相等且互相垂直的四边形 C 对角线相等且互相垂直的平行四边形 D 对角线互相平分且互相垂直的四边形3 用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形 在这些拼出的四边形中 平行四边形最多有 个 个 个 个 C C C 巩固练习 3 2006年安徽 如图 直线L过正方形ABCD的顶点B 点A C到直线L的距离分别是1和2 则正方形的边长是 2006年南京 在平面直角坐标系中 ABCD的顶点A B D的坐标分别是 0 0 5 0 2 3 则顶点C的坐标是 A 3 7 B 5 3 C 7 3 D 8 2 2006年福建南平 矩形ABCD中 将角D与角C分别沿过A和B的直线AE BF向内折叠 使点D C重合于点G 且 则 归纳 在四边形的翻折 旋转问题中 要注意隐含着三角形全等 在中考中这类问题很常见 8 以 ABC的边AB AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE 四边形ADFE是平行四边形 1 当 BAC等于时 四边形ADFE是矩形 2 当 BAC等于时 平行四边形ADFE不存在 3 当 ABC分别满足什么条件时 平行四边形是菱形 正方形 解 3 AB AC时 平行四边形ADFE时菱形 AB AC且 BAC 150 时 平行四边形ADFE是正方形 150 60 4 在正方形ABCD所在平面内有一点P 使 PAB PBC PCD PDA都是等腰三角形 具有这种性质的点共有多少个 试画图说明 P P P 有1个点 有四个点 有四个点 答 共有九个点 如下图 一位很有名望的木工师傅 招收了两名徒弟 一天 师傅有事外出 两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门 完事之后 两人都说对方的门不是矩形 而自已的是矩形 甲的理由是 我用角尺量我的门任意三个角 发现它们都是直角 所以我这个四边形门就是矩形 乙的理由是 我用直尺量这个门的两条对角线 发现它们的长度相等 所以我这个四边形门就是矩形 根据它们的对话 你能肯定谁的门一定是矩形 为什么 谁正确 1 已知 如图 在平行四边形ABCD中 E F分别是AB DC上的两点 且AE CF 求证 BD EF互相平分 要证 BD EF互相平分 只证明四边形DEBF为平行四边形 由已知条件可选择DF EB且DF EB 分析 四 证明题 2 在四边形ABCD中 AB CD AD BC O是AC BD的交点 E是AD上一点 EO的延长线交BC于F 1 OE与OF有何关系 2 图中有几对全等三角形 证明 1 AB CD AD BC 四边形ABCD是平行四边形 AO CO AD BC 1 2 3 4 AOE COF OE OF 2 AOE COF DOC BOA AOD COB ACD CAB ABD CDB 1 2 3 4 DOE BOF 相等 3 如图在矩形ABCD中 BD是对角线 从点C出发 作一条射线 交BD于点E 交AD于点F 交BA的延长线于点G AG AB 1 AF与DF有何关系 2 若GF为6 则CE为多少 AB CD AB CD 1 2 G DCF 证明 1 矩形ABCD AB AG AG CD 1 2 AGE CDF AF DF 3 如图在矩形ABCD中 BD是对角线 从点C出发 作一条射线 交BD于点E 交AD于点F 交BA的延长线于点G 1 如果此时AG AB 则AF与DF有何关系 2 若GF为6 则CE为多少 FD BC FE EC FD BC 1 2 证明 2 由 1 FC GF 6 CE 2 3CF 4 FDE CBE 4 如图 矩形ABCD的对角线AC BD交于点O 过点B作BP OC 且BP OC 连结CP 试说明 四边形COBP的形状 如果题目中的矩形变为正方形 图二 结论又应变为什么 如果题目中的矩形变为菱形 图一 结论应变为什么 5 如图 矩形ABCD的对角线AC BD交于点O 过点B作BP OC 且BP OC 连结CP 试说明 四边形COBP的形状 归纳 解题时 要熟练运用各种四边形的性质 6 如图 在梯形ABCD中 AB CD 中位线EF 7cm 对角线AC BD BDC 30 求梯形的高线AH 7 田村有一口呈四边形的池塘 在它的四个角A B C D处均种有一棵大核桃树 田村准备开挖鱼池建养鱼苗 想使池塘面积扩大一倍 又想保持核桃树不动 并要求扩建后的池塘成平行四边形形状 请问田村能否实现这一设想 若能 请你设计并画出图形 若不能 请说明理由 9 矩形ABCD的两条对角线AC BD相交于点O AE垂直于BD于E 若 DAE 3 BAE 则 EAC EAC 90 2 22 5 45 四边形ABCD是矩形 OA OD OAD ODA DAE 3 BAE DAE BAE 90 BAE 22 5 ADO BAE 22 5 证明 四边形ABCD是平行四边形 BE DF 四边形AFCE是平行四边形 注 利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法 E F 8 如图 在四边形ABCD中 AB 2 CD 1 A 60 B D 90 求四边形ABCD的面积 E 注 四边形的问题经常转化为三角形的问题来解 转化的方法是添加适当的辅助线 如连结对角线 延长两边等 解 延长AD BC交于点E 在Rt ABE中 A 60 E 30 又 AB 2 在Rt CDE中 同理可得 S四边形ABCD SRt ABE SRt CDE 2 1 M 解 过A作AM BD 交CD的延长线于M 又 AB CD 四边形ABDM是平行四边形 DM AB AMC BDC 30 又 中位线EF 7cm CM CD DM CD AB 2EF 14cm 又 AC BD AC AM AH CD ACD 60 注 解 翻折图形 问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴 会形成轴对称图形 本题通过设未知数 然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法 是数学中常用的 方程思想 解 设折痕为EF 连结