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函数的奇偶性 1 在日常生活中 有非常多的轴对称现象 如人与镜中的影关于镜面对称 请同学们举几个例子 除了轴对称外 有些是关于某点对称 如风扇的叶子 如图 它关于什么对称 而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象 请看下面的函数图像 2 观察下面两组图像 它们是否也有对称性呢 1 1 f x x2 1 2 3 x x f 2 2 2 4f 2 4 例如 函数f x x2 如下 f 1 1 2 1f 1 1 f x x 2 x2 f 1 f 1 f 2 f 2 f x f x 结论 当自变量x任取定义域中的一对相反数时 对应的函数值相等 即f x f x 4 例如 对于函数f x x3 有f 1 1 3 1f 1 1 f 2 2 3 8f 2 8 f x x 3 x3 f 1 f 1 f 2 f 2 f x f x x x 结论 当自变量任取定义域中的两个相反数时 对应的函数值也互为相反数 即f x f x 5 函数奇偶性的定义 偶函数定义 如果对于函数f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于函数f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫奇函数 6 理解定义 4 2 思考 函数具有奇偶性的前提是什么 函数的定义域关于原点对称 7 对于奇 偶函数定义的几点说明 2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件 3 奇 偶函数定义的逆命题也成立 即 若函数f x 为奇函数 则f x f x 成立 若函数f x 为偶函数 则f x f x 成立 1 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就是说函数f x 具有奇偶性 8 在线测试 1 对于定义在R上的函数f x 下列判断是否正确 1 若f x 是偶函数 则f 2 f 2 2 若f 2 f 2 则函数f x 是偶函数 3 若f 2 f 2 则函数f x 不是偶函数 2 已知函数f x 是偶函数 且f 3 3 则f 3 A 3B 3C 0D 无法确定3 下列四个结论 偶函数的图像一定与y轴相交 奇函数的图像一定过原点 偶函数的图像关于y轴对称 奇函数y f x x 的图像必过 a f a 表述正确的个数是A 1B 2C 3D 4 9 4 已知函数f x 是奇函数 且f 3 3 则f 3 等于 A 3B 3C 0D 无法确定5 已知函数f x x3 5 x 5 则下列结论正确的是 A 函数f x 是奇函数 B 函数f x 的图像关于原点中心对称 C 函数定义域中由无数多个x 使得f x f x D 函数f x 的定义域是关于原点对称的区域 10 思考 如何判断一个函数的奇偶性呢 1 图像法 2 定义法 11 例1 根据下列函数图象 判断函数奇偶性 y x y x y x 典例详解 12 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 13 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是偶函数 14 15 o y x 例2已知函数y f x 是偶函数 它在y轴右边的图象如图 画出y f x 在y轴左边的图象 16 第一课时 互动探究案 例2 已知函数y f x 是偶函数 且知道x 0是的图像 请作出另一半图象 y x 练习 17 例3 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 2 f x 3x4 6x2 a 解 定义域为R f x x 3 x x3 x x3 x 即f x f x f x 为奇函数 解 定义域为R f x 3 x 4 6 x 2 a 3x4 6x2 a即f x f x f x 为偶函数 说明 用定义判断函数奇偶性的步骤 先求出定义域 看定义域是否关于原点对称 再判断f x f x 或f x f x 是否成立 18 19 用定义法判断函数奇偶性解题步骤 1 先确定函数定义域 并判断定义域是否关于原点对称 2 求f x 找f x 与f x 的关系 若f x f x 则f x 是偶函数 若f x f x 则f x 是奇函数 3 作出结论 f x 是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数 20 练习 说出下列函数的奇偶性 f x x4 f x x f x x 2 f x x5 f x x 3 f x x 1 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 对于形如f x xn 的函数 在定义域R内 若n为偶数 则它为偶函数 若n为奇数 则它为奇函数 21 思考1 函数f x 2x 1是奇函数吗 是偶函数吗 x y 0 1 2 f x 2x 1 1 分析 函数的定义域为R但是f x 2 x 1 2x 1 f x f x 且f x f x f x 既不是奇函数也不是偶函数 也称为非奇非偶函数 如右图所示 图像既不关于原点对称也不关于y轴对称 22 1 f x 2 f x x2x 4 4 解 定义域不关于原点对称或 f 4 4 2 16 f 4 在定义域里没有意义 f x 为非奇非偶函数 解 定义域为 0 定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 思考2 以下两个函数是奇函数吗 是偶函数吗 23 思考3 在前面的几个函数中有的是奇函数 有的是偶函数 也有非奇非偶函数 那么有没有这样的函数 它既是奇函数又是偶函数呢 有 例如 函数f x 0 是不是只有这一个呢 若不是 请举例说明 x y 0 1 f x 0 1 24 奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性 函数可划分为四类 25 课堂小结 1奇偶性定义 对于函数f x 在