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奇妙数学史 老师眼中的数学 爸妈眼中的数学 你眼中的数学是 其实你了解到的数学 仅限于数学知识数学这门学科涵盖的内容是非常丰富的下面一一道来 数学史的分期 一 数学的起源与早期发展 公元前6世纪 二 初等数学时期 公元前6世纪 16世纪 三 近代数学时期 17世纪 18世纪 四 现代数学时期 1820年 现在 第一章 数学的起源与早期发展 史前数学主要是对数的认识这种认识跨越几万年 直到18世纪 数字的由来 早在原始人时代 人们在生产活动中慢慢的就注意到1只羊和许多羊 一头狼和许多狼的差异 随着时间的推移慢慢的产生了数的概念 最早人们利用自己的手指头来记数 当自己的手指不够用的时候 人们开始采用 石头记数 当人们觉得 石头记数 法比较麻烦 容易出错时 他们又想出了 结绳记数 法 再后来 人们又发明了 刻痕记数 法 在经历了数万年的发展后 直到大约距今五千多年前 才出现了书写记数以及相应的记数方法 公元前3400年左右的古埃及象形数字 公元前2400年左右的古巴比伦楔形文字 公元前1600年左右的中国甲骨文数字 公元前500年左右的中国筹算数码 公元前300年左右印度婆罗门数字 公元500年左右 随着经济 文化和佛教的兴起与发展 印度地区的数学一直处于领先地位 1 10 100 大约公元700年前后阿拉伯人征服了印度北部 他们发现被征服的印度地区数学比他们先进 于是771年 印度北部的数学家被抓到阿拉伯的巴格达 被迫给当地人传授数学 后来阿拉伯人把这些数学符号传到了很多地方 最开始阿拉伯数字的形状与现代阿拉伯数字并不完全相同 只是比较接近而已 为了使它变成今天的0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的书写形式 又有许多数学家做了许多努力 进位制 史上曾经有过二进制 五进制 十进制 十二进制 十六进制 二十进制 六十进制 汉字一二三四五六七八九十对十进制的贡献长期运用后留下二进制十进制据推测五进制十进制与人的手指个数有关 现代澳大利亚托列斯峡群岛上一些部落仍用二进制 一 乌拉勃 二 阿柯扎他们把三表为 阿柯扎乌拉勃那么 阿柯扎阿柯扎 阿柯扎阿柯扎乌拉勃 阿柯扎阿柯扎阿柯扎 0 不是印度人或阿拉伯人的发明 0 太重要了 一无所有为零零是自然数据考证 0 首次出现在柬埔寨 苏门答腊的碑文上进位制是人类共同财产 我们学过的数被分为两类 有理数和无理数 有理数如2 12 35 72 632632632 106 444444 等等 在数学上可以证明 无论是整数 有限小数还是无限循环小数都可以用一个分数表示 分母允许取1 即有理数都可以表示成的形式 且可以使m n没有大于1的公约数 无理数不能用此形式来表示 不是有理数的实数为无理数 无理数的发现 希腊文明是人类文化史上最光辉的一页 大约在公元前1200年至公元前1000年间 希腊部落爱奥尼亚人迁徙到包括爱琴海东部诸岛屿在内的小亚细亚西部地方 由于海上交通的方便 使得它容易接受巴比伦 埃及等古代的先进文化 最终形成了后来影响欧洲乃至整个世界的灿烂文化 希腊文明最为突出的是其具有高度的理性化与抽象化 在希腊学术传统中 哲学 几何学 艺术和逻辑学的成就最高 毕达哥拉斯 约前560年 约前480年 学派是继以泰勒斯为代表的爱奥尼亚学派之后 希腊第二个重要学派 它延续了两个世纪 在希腊有很大的影响 它有着带有浓厚宗教色彩的严密组织 属于唯心主义学派 他们相信依靠数学可使灵魂升华 与上帝融为一体 从而数学是其教义的一部分 他们在数学上最大的贡献是证明了直角三角形三边关系的勾股定理 故西方称之为毕达哥拉斯定理 毕达哥拉斯学派的信条是 世界万物都是可以用数来表示的 他们所称的数就是自然数和分数 实际上分数也是自然数的结果 他们将这种数的理论应用于几何 认为 对于任何两条线段 总可找到一条同时量尽它们的单位线段 并称此两线段为可公度的 这种可公度性等价于 任何两条线段之比为有理数 他们在几何推理中总是使用这条可公度性假定 公元前4世纪 毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不可公度的 例如正方形的边长与其对角线之间就是不可公度 根据毕达哥拉斯定理容易发现 它们之比并非是自然数之比 据说 由于希帕索斯的这一发现 触犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端 为此他被其同伴抛进大海 因为他竟然在宇宙间搞出这样一个东西 否定了毕氏学派的信念 他们要把发现的秘密和他们的困惑一起抛入大海 永不泄露 虽然毕达哥拉斯学派发现了无理数 但他们却严禁泄露这一重要的发现 原因是这一发现彻底摧毁了学派赖以安身立命的根本信念 万物皆数 他们认为 人们所知道的一切事物都包含数 因此 没有数既不可能表达 也不可能理解任何事物 但要注意 毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数 而分数是被看作两个整数之比 但是很不幸 是他们自己发现了正方形的对角线与边的长度之比不能用整数或整数之比 即现在所说的有理数 表示 也就是找不到一个数 指整数或整数之比 即有理数 使它平方后等于2 这就动摇了他们 万物皆数 的根本信念 他们无法解释到底世界发生了什么事情 学派内部引起了极大的思想混乱 然而真理是不会被淹没的 人们很快发现不可公度并非罕见 面积等于3 5 6 17的正方形的边与单位正方形的边也不可公度 新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数论 数学发展出现了 第一次危机 这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解 它对古希腊的数学观点有着极大的冲击 整数的尊崇地位受到挑战 于是几何开始在希腊数学中占有特殊地位 同时 人们开始不得不怀疑直觉和经验的可靠性 从此希腊几何开始走向公理化的演绎形式 随着对于数的认识的发展 无理数终于在人们心目中取得合法地位 并逐渐发展了实数的严格理论 关于实数理论现在已广泛应用于科学技术和日常生活之中 中国传统数学中的无理数产生于开方不尽和圆周率的计算 不过由于中国古算与古希腊数学有着不同的传统 希腊人总是将数与形截然分开 对涉及无限的问题总是持有恐惧的态度 中国算学中数与形是有机统一的 中国人自始至终对关于无限的问题总是泰然处之 能够正视无理数 奇妙的自然数 1 2 3 4 5 这些简简单单的自然数 是我们从呀呀学语开始就认识的 它们是那样自自然然 因而显得平淡无奇 但我们如果认真研究一下这些数字 就会发现其中妙趣横生 聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和 这正是由于他对自然数有深刻的了解 高斯小时候在德国的一所农村小学读书 数学老师是位从城里来的先生 他瞧不起穷人的孩子 从不认真教他们 甚至还打骂学生 有一天 他情绪很坏 一上课就命令学生做加法 从1一直加到100 谁算不到就不准回家 所有的孩子都急急忙忙地算起来 老师却在一边看小说 不一会儿 小高斯就算出了结果是5050 老师大吃一惊 奇怪他怎么算得这么快 原来 高斯并不是按1 2 3 4 的顺序计算的 而是把1到100一串数 从两头向中间 一头一尾两两相加 每两个数的和都是101 例如 1 100 2 99 3 98 直到50 51 和都是101 这样 100个数正好是50对 因此 101 50就得出5050的总和了 从此 老师再也不敢轻视穷孩子们了 他还从城里买来书 送给高斯 热心帮助他学数学 高斯进步得更快了 小高斯所用的方法 正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法 这个故事人人皆知 它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要 现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质 自然数中有一类数被称为 自守数 所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数 尾数不变 在自然数中凡末尾数是1 5和6的数 不论自乘多少次 尾数仍然是1 5 6 例如 21 21 42121 21 21 9261325 325 1056256 6 6 6 1296这样的结论是不是完全正确呢 我们可以用代数方法加以证明 让我们以末尾是6的数为例 这样的数可以表成10a 6 这里a为任意自然数 那么 由于a是自然数 得到的结果也必定是自然数 可见它的个位必定是6 高次方情况下也如此 证明从略 用同样方法可以证明1 5结尾的数也是自守数 如果把尾数取到两位 还有没有自守的性质呢 有 比如末尾是25和76的数就是自守数 如果尾数取到三位 四位或更高位数 还能找到自守数吗 经过数学家的计算寻觅 发现尾数为376 9376 09376 109376 7109376 以及末尾是625 0625 90625 890625 2890625 的数都是自守数 让我们再来看看自然数中的奇数和偶数 奇数数列是1 3 5 7 n n为项数 偶数数列是2 4 6 8 2n n为项数 人们研究奇数 发现如下的性质 自然数中偶数数列则有如下的性质 2 1 22 4 6 2 32 4 6 12 3 42 4 6 8 20 4 5 2 4 6 8 2n n n 1 用数学归纳法能证明这个结论 此外 对所有的自然数 下面的规律也成立并且十分有趣 自然数中还有一类数被称为回文数 回文数就是一个数的两边对称 如11 121 1221 9339 30203等等 回文数本身倒也没有什么奇特 不过人们发现大多数的自然数 如果把它各位数字的顺序倒置 再与原数相加 将得数再按上述步骤进行 经过有限的步骤后必能得到一个回文数 如 95 59 154又如 198 891 1089154 451 6051089 9801 10890605 506 111110890 09801 206911111就是一个回文数 20691 19602 4029340293 39204 7949779497又是一个回文数 是不是所有的自然数都有这个性质呢 不是 例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数 有人用计算机对196用上述办法重复十万次 仍然没有得到回文数 但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论 所有 196问题 也成了世界性数学难题之一 经过计算 在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数 最后再让我们看两组有趣的数 第一组为 1 6 7 23 24 30 38 47 54 55第二组为 2 3 10 19 27 33 34 50 51 56这两组数有什么奇特之处呢 首先 这两组数都没有公因数 而且两组数各自的和都是285 不过这算不上奇怪 拼拼凑凑 谁也弄得出来 不要着急 我们再往下看 如果计算一下它们的方幂之和 你就会大为惊奇 因为数字太多 我们不能一一列下去 让我们把结果列出来 方幂次数每组数方幂和010128521168535360854260438135130975312566734006805735122615477658185039471773893从0次幂到8次幂 两组数的方幂和都相等 谁能不感到惊奇呢 不过算到9次方幂 两组数的方幂和就不相等了 这又是为什么呢 这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究 专门研究整数性质的数学分支叫作数论 数论中有许多看似简单实则相当困难 甚至近乎神秘的问题等待人们去解决 轻松课堂数字游戏问题 数字游戏问题是数学游戏中的一类 他要求从数字以及数字间的运算中发现规律 然后按照这个规律去填数或填写运算符号 解决这一类问题的关键是寻找规律 发现规律 在里填上适当的数 答案 19283746 分析 题中共有八个数 前7个已经知道最后一个需要填写 8个数中1 9 10 2 8 10 3 7 10 所以最后两个数是4 10 这样 里应该填6 1928374 在中填入适当的数1514121198 答案 题中的数按照从大到小的规律排列的 每个数为一组 每两组之间又去掉一个相邻的数 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5所以应填6 5 这道题还可以这样分析 15 1 14 14 2 12 12 1 11 11 2 9 9 1 8 8 2 6 6 1 5 在 里填数2 0 2 2 4 6 10 答案 观察发现2 0 2 0 2 2 2 2 4 2 4 6 4 6 10 即前两个数相加的和是后面的数 这样最后一个数应是6 10 16 里应填16 在空格中填入合适的数 答案 表格中的数分上下两排 每一排的数各有自己的规律 上排的数是从4开始依次加2 3 4得到 下排的数是从5开始依次加4 6 8得到 在空格里填入合适的数 答案 数字分成三组 前二组中的三个数字的和是20 7 12 1 20 8 9 3 20 所以第三组应是 2 5 20 空格中的数字是13 在空格中填入合适的数 分析1 九个数分成三组 第一组中有8 18 2 13 即第一个数与第三个数的和是中间那个数的二倍 同样第三组中16 30 2 23 所以中间一组2 12 24 分析 将这九个数横的作一排 第一排中有8 4 12 12 4 16 即面的数比前面的数大4 第三排中有18 16 24 24 6 30 后面的数比前面的数大6 再看第二排应是13 5 18 18 5 23 所以空格中应填18 在空格处填入合适的数 答案 每个图中都有三个圈 每个圈中填有数字 这三个数字之间有某种关系分析第一个图发现6 5 1 1 2 2 分析第二个图同样有7 4 3 3 2 6 所以第三个图应该是8 3 5 5 2 10 第三个空白处应填10 四大文明古国 中国 公元前二十七世纪黄帝时代就开始了数学研究数学发达至少有4000年成就 分数 正负数 勾股定理 圆周率 剩余定理 杨辉三角等等由于中国文字的限制 数学理论的表叙以及推导都极为困难 导致数学理论在中国发展受到制约中国长期重文轻理导致数学以及科学的落后政治原因 农业大国 四大文明古国 印度 印度有3500至4000年最大成就是印度数码 十进制五世纪后 零 的符号在印度出现与占星术 宗教 农业关系密切方法与结果用树皮树叶记载 大多失散用晦涩的诗歌表述 难于理解知道勾股定理 三角学并计算出 四大文明古国 埃及 光辉灿烂的文明影响较大的 金字塔 纸草书 古文字尼罗河贯穿全景治理尼罗河河水泛滥 他们研究天文发现 河水上涨与清晨天狼星升起的日子一样 间隔365天 确立现代公历的基础重新测定河岸的土地 几何特别发达没有上升为理论 直到公元前4世纪后 希腊人入侵为止 四大文明古国 巴比伦 数学泥板的发现上面有 帐单 收据 票据 大量数学用表 达到古代数学的最高的理论水平1847年开始解读数学泥板 1920年才有详尽的注解 巴比伦文明被世人了解60位进制 面积体积的计算 方程组的求解 级数求和 勾股数 二次方程 四大文明古国与河流 中国 黄河 长江埃及 尼罗河巴比伦 底格里斯河 幼发拉底河印度 恒河 印度河 其他发达古国 希腊从公元前6世纪至公元4世纪 达1000年阿拉伯数学发达仅限于8至13世纪 有500年欧洲国家数学发达是在10世纪以后的事日本则迟至17世纪以后 无理数的出现与第一次数学危机 无理数就像岔路口的路标 沿不同方向均可发现它的存在 中国沿一个方向来到它的面前竟然视而不见古希腊沿另外一个方向来到它的面前却有意躲避 中国与无理数 九章算术 第四章说 若开之不尽者 为不可开 当以面命之 我们不知 当以面命之 所云为何 但可以确定 那时中国人一来到这个路标下了 刘徽在计算平方根的近似值时离无限不循环已近在咫尺 但他说 不足言之 竟然放弃了 重算法轻算理 是中国古代的风气使中国与无理数失之交臂 令人惋惜 古希腊与无理数 学派众多 最有名的是毕达哥拉斯学派 元前580 元前500 柏拉图学派 元前430 元前349 毕达哥拉斯学派是兼有政治 宗教 哲学的团体 万物皆数 读三声 为其哲学基础和理论出发点 毕氏提出了著名的毕达哥拉斯定理 伟大的毕达哥拉斯 毕达哥拉斯 古希腊数学家 公元前580至公元前497 青年的他游历许多地方 并到埃及印度留学 他深入民间收集点点滴滴的数学知识 最后学有所成并形成一个学派 史称毕达哥拉斯学派 对数学 天文学有巨大贡献 毕达哥拉斯学派认为任何数都可以表达成二个整数的商 即任意数都是可以度量的 万物皆数 他们把线段的长度看作是线段锁包含的原子数目 因而任意两条线段长度之比就是它们各自原子数之比 由此观点出发 毕氏研究了音乐美术天文地理 应用在数学上 从埃及的黄金三角形 各边之比为3 4 5 发现5 12 13 8 15 17 这就是中国说的 勾股定理 它们只相信直角三角形的三边之比都应该是整数比 毕氏的学生 学者希帕索斯发现直角三角形直角边都取1 则斜边就不可度量 与毕氏理论产生矛盾毕氏也发现不可通约量的存在学派进入两难境地 学派内部所有成员立誓保密 因而无理数有个诨号 不可说 Alogon 希帕索斯说了 学派就此开始瓦解 学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进大海 希帕索斯的发现引发了第一次数学危机 大约公元前 世纪 不可通约量的发现 毕达哥拉斯悖论 无理数 古代数学家前进的方向 欧道克斯 希腊 元前408 前355 数与量的分离 连续与离散 存在与否困扰科学家哲学家在迷雾中度过漫长而黑暗的中世纪 迎来 文艺复兴 的繁荣时期 公元1400 1600 无理数终于被人们慢慢接受疑惑仍然存在 即乐意又心存疑虑 直到19世纪实数理论的建立才完全消除 谁推开了虚数的 大门 12世纪 印度数学家婆什伽罗说 正数的平方是正数 负数的平方是正数 因此一个正数的平方根是两个 一个正数 一个负数 负数没有平方根 他太肯定了 负数没有平方根 遏制了后人的探索欲望 400年来 数学家都采取了回避态度 1545年卡丹的让人莫名其妙 后面专门谈他 大师的困惑与无知 卡丹 意大利数学家 医生 算命先生1501 1576 到达大门 不敢敲门 欧拉彻底否认 他说 一切形如的数学式都是不可能有的 这类数纯属虚构 伟大的笛卡儿 法国数学家 1596 1650 创立直角坐标系 给出理论武器 200年后即18世纪 挪威的测绘员威赛尔 巴黎的会计师阿尔干完美解释 从一维到二维 600年的艰辛众多杰出数学家束手无策 历史罕见思维定势所限 现实中没有 传统数学中它不合理条件所限 不能从一维跳到二维 笛卡儿还未出生 平面坐标不知为何物 费尔玛无人认识 点的坐标 有序对是天方夜谈 解析几何还在数学的摇篮中睡觉 第二章 几何学代数学的发展 先有几何还是先有代数 一个领域的繁荣昌盛不外乎下列几个原因 1有重大理论问题出现 2有现实问题急需解决 3出现伟大人物 代数与几何都有非常辉煌的时光 代数必讲数论及方程 几何必讲欧几里德德 原本 几何狂飚 突破欧几里德几何 非欧几何 数论与方程 第二次抽象 数的崇拜与禁忌 1生2 2生3 3生万物 所以1最神圣 7 8为吉祥数 4 13为一些民族的禁忌中国人崇拜 9 故宫大门纵横九颗铜星 皇帝九龙袍 九龙壁 九九归一 侄极而返 60 是古巴比伦人与毕达哥拉斯心中的神数的文化 奇为女 偶为男 一帆风顺 双喜临门 三阳开泰 四通八达 五彩缤纷 六根清洁 八面玲珑 九霄云外 十全十美 一波三折 两败俱伤 三长两短 四面楚歌 五内俱焚 六神无主 七上八下 九死一生 十恶不赦 数论与方程 第二次抽象 整除理论 最古老的问题 中国剩余定理地道的业余数学家费尔玛 从地方官员到数学家 30岁学习数学 既是解析几何的发明者 与笛卡儿同享 又是概率论的开创者 与帕斯卡同享 不同寻常的经历 不可思议 令人感慨万千费马玛 法国数学家 1601 1665 与数论 看起来简单 作起来难之又难 是数论的魅力所在 使人 衣带渐宽终不悔 为伊消得人憔悴 始作俑者费尔玛 现代数论的先驱 创始人 费尔玛猜想 丢番图 古希腊公元246 330 名著 算术 代数学之母 算术 是费尔玛的枕边之物从17世纪到20世纪 历时300多年 直到1994 41岁得英国数学家怀尔斯解决 高斯 德国数学家 1777 1855 与数论 现代数论统一理论的创建者20岁决定献身数学 最终成为最伟大的数学家之一1801年结束费尔玛数论 开创纯理论数论研究追随者 戴德金 狄利克雷 刘维尔 闵可夫斯基 创建 代数数论 解析数论 超越数论 几何数论 哥德巴赫猜想与陈景润 1742年 德国哥德巴赫老师发现 大于2的偶数 可以表示为两个素数之和 求教欧拉 欧拉说 虽然我不能证明它 但我确信它完全正确 1900年希尔伯特 德国数学家 1862 1943 把它列为23个世纪难题 称为 皇冠上的明珠 1966年中国人陈景润 1933 1996 证明 1 2 1973年发表 离摘取明珠咫尺之遥陈氏定理被誉为 光辉顶点 方程的历史 方程的产生 在中国 在日本 在印度花拉子模 阿拉伯人 公元780 850 第一次给出未知量 但他称其为 硬币 东西 根 代数 Algebra 源于花氏的书中 还原 一词古希腊的不定方程 丢番图 费尔玛与不定方程印度的不定方程 追求全部整数解 他们的阿耶波多 婆罗摩岌多 婆什伽罗都有著述 方程的发展 符号化 从丢番图开始到1589年的韦达从一元到二元 古希腊数学家海伦的著作 中国 九章算术 均有记述海伦 有一正方形知其面积与周长之和为896尺 求其一边 九章算术 今有邑城方不知大小 各开中门 出北门20步有木 出南门14步折而西行1775见木 问邑方几何 符号化的形式 一元二次方程的解法 花拉子模的几何解法中国的 开带从平方法 古希腊的配方法 公元100年海伦 200年丢番图完成佛兰西斯韦达 法国数学家 法学家 外交家 国王参谋长 1540 1603 根与系数的关系 一元三次方程的公式解 人们寻找象一元二次方程那样的公式解当时认为它比圆化方还难16世纪 意大利的波罗拉学派的弗罗 1465 1562 得出的解 但是未公布30岁的尼科拉方丹纳 意大利布雷西亚青年 1500 1557 绰号 塔塔利亚 结巴 给出一元三次方程的公式解 数学史上第一次数学竞赛 塔塔利亚解决的问题 他未公布答案 引来波罗拉学派的愤怒塔塔利亚与波罗拉决定举行竞赛 塔塔利亚胜出 这是有史记载的第一次数学竞赛 塔塔利亚 卡丹 费拉里的恩恩怨怨 卡丹 雄辩家 博物学家 几何家 代数家 天文学家 星象学家 医学家 外科专家 道学家 语言学家 拜倒在塔塔利亚面前1539年求教与塔氏 并同意保密 得到手稿卡丹的仆人费拉里的成就 一元四次方程的解法1545年卡丹发表 大衍术 ArsMagna 公开塔氏费氏成果 引发数学史的第一次公案事情远未结束 五次以及五次以上的方程呢 初等几何 起源 无意识的几何阶段 埃及金字塔 元前2900 尼罗河岸边的土地界限丈量几何的发展 经验几何的产生 中国埃及巴比伦印度论证几何的哲学基础的出现 公理及严谨的逻辑推理 古希腊哲学的发展让严谨深深扎根于心灵深处 数学圣经 几何原本 Elements 欧几里德 希腊数学家 元前330 前275 的几何原本堪称集合论证的光辉典范 影响曾经可比圣经1607年明朝翻译到中国在全世界使用至今 原本 共13篇 包罗初等几何 初等数论 几何代数所有初等几何的书都是抄录 原本 或者是抄录那些抄录 原本 的书的书 几何度量 面积体积 欧道克斯的变量 绕开无理数使丈量得以进行多边形的面积 毕氏的直接因数法 欧几里德 转化 法 比如 等底等高的两个三角形面积相同阿基米德 希腊数学家 元前287 前212 对曲边形面积的研究 离微积分咫尺之遥祖冲之 南北朝政府官员 公元429 500 曾经的世界第一 保持1000多年 圆周率的计算思想比圆周率本身还重要 他也靠近了微积分 是中国古代最具现代数学思想的人 伟大的阿基米德 意大利西西里岛的叙古拉 当时受希腊统治 是他的故乡 他是当时最伟大的天文学家 力学家 数学家 是人类科学的第一坐高峰 超过高斯牛顿杠杆与重心理论 流体力学73岁在叙古拉参加抵御罗马入侵 担任最高军事顾问 研究出大量的武器元前212被罗马士兵所杀 就此完成初等数学内容的创立 17世纪前 数学已是掺天大树研究不变的量 几何代数是其中心内容三角 对数 数列已经建立理论构成现在小学中学学习的数学知识这时的数学仍有许多困境与迷惑数学等待更伟大的理论与更伟大的人物 第三章 变量数学 数学发展的第三个时期最具代表性的人物是法国人笛卡儿笛卡儿是一座高高的山峰 屹立在初等数学的尽头 高等数学的开头 他是分水岭标志性的概念是变量 它成为数学的中心内容标志性的工作是微积分的诞生与成熟 建议大家阅读的图书 数学哲学 张景中著 古今数学思想 克莱因著 现代西方哲学之父 笛卡儿 数学思想发展简史 袁小明等著 数学的天空中群星闪耀 从公元1600年 公元1820年数学发展的黄金时代数学研究变数以及变数之间的关系运动进入数学 辩证法进入数学笛卡儿与费尔玛用代数方法解决几何问题 创立解析几何莱布尼兹 德国数学家 哲学家 物理学家1646 1716 提出函数的一般概念 数学的星空群星闪耀 牛顿 英国物理学家 数学家1642 1727 与莱布尼兹共同创立微积分的原理他们及其学生们发展了数学分析为物理学天文学光学提供强有力的工具成功预言1759年哈雷慧星回归发展了偏微分方程 概率统计 变分学 解析几何 17世纪最重要的成就之一标志变量时代的开始可追溯到埃及罗马人的活动 他们在测绘地形时 借助坐标确定位置希腊人阿波罗尼斯从圆锥曲线导出它的丰富的圆锥曲线几何学 与笛卡儿的非常相似 背景 16世纪欧洲文艺复兴带来的科学 经济的全面发展天文学力学航海的迫切需要初等数学已经成熟 伟大人物已经出现 笛卡儿 费尔玛 开普勒 伽利略等等试验数学的方法 运动的观点要求必须有新的理论方法来研究几何东方的数学书籍传入西方 引发用代数解决几何问题 改变了西方用几何解决代数问题的观念 几何代数融合为一体 1591年韦达的 分析学引论 确立符号代数 成为变量数学产生的前提坐标系的发明对几何与代数之间一一对应关系的认识函数y f x 的坐标图示法笛卡儿与费尔玛用代数法研究几何 把代数方程与曲线曲面等联系起来 变量进入数学 改变了数学的性质 具有伟大的意义 费尔玛与解析几何费尔玛生平 法学家 官员 语言学家 数学家笛卡儿与解析几何笛卡儿生平 哲学家 物理学家 心理学家 数学家 旅游家 军人 微积分 名称的由来 牛顿莱布尼兹约翰贝努里差的计算 calculusdifferentialis 和的计算 calculussummatorius 演化为 differetialcalculus 微分学 integralcalculus 积分学 河称 微积分 英文为 calculus 洛必达1696年的 无穷小分析 是第一本微积分著作使微积分又叫 分析 1859年 清咸丰9年 微积分传入中国 当时的数学家李善兰把它翻译为微积分 可能取于 不辨积微之为量 讵晓百亿于大千 人类历史上的最伟大创举 变量数学时期 17世纪后期由牛顿莱布尼兹创立的微积分是最主要的成就微积分的诞生是全部数学史上 也是人类历史上最伟大最有影响的创举微积分导致后来一切科学和技术领域的革命离开微积分 人类将停顿前进的步伐 微积分产生的背景 从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始 人们就在寻求一种计算不规则图形面积的方法众多科学家意识到其中有个 幽灵 说不清道不明 其代表人物 阿基米德 芝诺 欧道克斯 庄子 刘徽许多迫切待解决的问题摆在数学家面前 描述处理运动 曲线的切线 曲线的长度 曲面的面积 曲面围成的多面体的体积 极大极小问题 等等 无穷小分割是主要方法 无穷小分割求和 关于切线 笛卡儿与费尔玛认为是两个交点重合时的割线 罗伯瓦等认为是描绘曲线的运动在这点的方向众多数学家加入到这场争论中 拉开流数术和微分法的序幕费尔玛是出去牛顿莱布尼兹外做得最多的人 他走到大门口 但没有进入 主要是他没有它的理论与求积的关系 牛顿与莱布尼兹各自独立发明微积分 牛顿与微积分莱布尼兹与微积分英德之间的历史公案 无穷小是零吗 第二次数学危机 研究下列问题 1734年 英国哲学家 大主教贝克莱发表 分析学家或者向一个不信正教数学家的进言 矛头指向微积分的基础 无穷小的问题 提出了贝克莱悖论 引发第二次数学危机 dx为逝去量的 灵魂 他指出 牛顿在求xn的导数时 采取了先给x以增量 应用二项式 x 0 n 从中减去xn以求得增量 并除以 以求出xn的增量与x的增量之比 然后又让 消逝 这样得出增量的最终比 幽灵 即为极限的概念 这里牛顿做了违反矛盾律的手续 先设x有增量 又令增量为零 也即假设x没有增量 他认为无穷小dx既等于零又不等于零 召之即来 挥之即去 这是荒谬 dx为逝去量的灵魂 无穷小量究竟是不是零 无穷小及其分析是否合理 幽灵 即为极限的概念 由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论 直到19世纪20年代 一些数学家才比较关注于微积分的严格基础 波尔查诺 阿贝尔 柯西 狄里赫利等人的工作开始 到威尔斯特拉斯 戴德金和康托的工作结束 中间经历了半个多世纪 基本上解决了矛盾 为数学分析奠定了严格的基础 极限理论 代数学进一步发展 三百多年弄不清楚的问题 五次五次以上的方程的公式解法国数学家拉各朗日称这一问题是在 向人类的智慧挑战 1770年拉格朗日分析了二次 三次 四次方程根式解的结构之后 提出了方程的预解式概念 并且还看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关 这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在 不幸的挪威数学家阿贝尔 此后 挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论 给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明 阿贝尔简介 阿贝尔 Abel 1802 8 1829 5 任何一部数学家词典中的第一人 是十九世纪最伟大的数学家之一 是挪威空前绝后的最伟大的学者 后人整理他的遗著花了150年 27岁他离开人世 阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题 可是 由于阿贝尔生前只是个默默无闻的 小人物 他的发明创造竞没有引起数学界的重视 在失望 劳累 贫困的打击下 阿贝尔不满27岁就离开了人间 使他未能彻底解决这个难题 比如说 为什么有的特殊高次方程能用根式解呢 如何精确地判断这些方程呢 他死后第二天 伦敦大学校长的特使 手持校长的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔 殒落的新星 1832年5月30日清晨 法国巴黎郊外进行了 场决斗 枪声响后 一个青年摇摇晃晃地倒下了 第二天一早 他就匆匆离开了人间 死时还不到21岁 死前这个青年沉痛地说 请原谅我不是为国牺牲 我是为一些微不足道的事而死的 这个因决斗而死去的青年 就是近代数学的奠基人之一 历史上最华轻的著名数学家伽罗华 1811年10月25日 伽罗华出生在法国巴黎附近的一个小镇上 更加不幸的法国数学家伽罗华 伽罗华 1811 10 25 1832 5 30 浪漫的法国人一直为他们早逝的划时代的 人类有史以来最聪明的 思想最深刻的 最倒霉的数学家感到自责 他留下了100页数学文稿 被发展成一门艰深 应用广泛的学科 抽象代数或称群论 经常被老师斥为笨蛋 小时候 伽罗华并末表现出特殊的数学才能 相反 他12岁进入巴黎的一所公文中学后 还经常被老师斥为笨蛋 伽罗华当然不是笨蛋 他性格偏执 对学校死板的教育方式很不适应 渐渐地 他对很多课程都失去了兴趣 学习成绩一直很一般 伽罗华遇到了数学教师里沙 在中学的第三年 伽罗华遇到了数学教师里沙 里沙老师非常善于启发学生思维 他把全副精力都倾注在学生身上 还常常利用业余时间去大学听课 向学生传授新知识 很快 伽罗华就对数学产生了极大的兴趣 他在里沙老师的指导下 迅速学完了学校的数学课程 自学了许名数学大师的著作 他盯上了著名的世界数学难题 不久 伽罗华的眼睛盯上了 高次方程的求根公式问题 16世纪时 意大利数学家塔塔利亚和卡当等人 发现了三次方程的求根公式 这个公式公布后没两年 卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式 当时 数学家们非常乐观 以为马上就可以写出五次方程 六次方程 甚至更高次方程的求根公式了 然而 时光流逝了几百年 谁也找不出一个这样的求根公式 站在巨人阿贝尔的肩膀上面 这样的求根公式究竟有没有呢 在伽罗华刚上中学不久 年轻的挪威数学家阿贝尔已经作出了回答 没有 阿贝尔从理论上予以证明 无论怎样用加 减 乘 除以及开方运算 无论将方程的系数怎样排列 它都决不可能是一般五次方程的求根公式 伽罗华向世纪难题发起了挑战 1828年 也就是阿贝尔去世的前一年 伽罗华也向这个数学难题发起了挑战 他自信找到了彻底解决的方法 便将自己的观点写成论文 寄给法国巴黎科学院 负责审查伽罗华论文的是柯西和泊松 他们都是当时世界上第一流的数学家 柯西不相信一个中学生能够解决这样著名的难题 顺手把论文扔在一边 不久就丢失了 两年后 伽罗华再次将论文送交巴黎科学院 这次 负责审查伽罗华论文的是傅立叶 不巧 也就是在这一年 这位年迈的著名数学家去世了 伽罗华的论文再一次给丢失了 他考进了巴黎高等师范学校 伽罗华的论文一再被丢失的情况 使他很气愤 这时 他已考进了巴黎高等师范学校 并得知了阿贝尔去世的消息 同时又发现 阿贝尔的许多结论 他已经在被丢失的论文中提出过 在1831年 伽罗华向巴黎科学院送交了第三篇论文 题目是 关于用根式解方程的可解性条件 这一次 著名数学家泊松仔细审查了伽罗华的论文 年迈的泊松感到难于理解 由于论文中出现了 代换群 等崭新的数学概念和方法 泊松感到难于理解 几个月后 他将论文退还给伽罗华 嘱咐写一份详尽的阐述送来 可是 伽罗华已经没有时间了 在大学里 伽罗华由于积极参加资产阶级革命活动 被学校开除了 伽罗华预感到死亡即将来临 1831年5月和7月 他又因参加游行示威活动两次被捕入狱 遭受路易 菲利浦王朝的迫害 直到1832年4月29日 由于监狱里流行传染病 伽罗华才得以出狱 枷罗华恢复自由不到一个月 爱上一个女人 并因此被迫与一个军官决斗 决斗前夕 伽罗华预感到死亡即将来临 他匆忙将数学研究心得扼要地写在一张字条上 并附以自己的论文手稿 请他的朋友交给当时的大数学家们 他坚信自己的理论正确 伽罗华自豪地写道 你可以公开请求雅可比或者高斯 不是对这些东西的正确性 而是对它的重要性表示意见 我希望 今后能有人认识这些东西的奥妙 并作出恰当的解释 1846年法国数学家刘维尔首先 认识到这些东西的奥妙 将它们发表在自已主办的刊物上 并撰写序言热情向数学界推荐 高斯关于正多边形作图的定理变成了明显的推论或者简单的习题 1870年 法国数学家约劳当根据伽罗华根据伽罗华的思想 写出了一部重要的数学著作 抽象代数学 人们这才认识到伽罗华的伟大 应用伽罗华理论 不仅高次方程求根公式问题得到了彻底的解决 而且阿贝尔定理 古希腊三大几何作图难题 高斯关于正多边形作图的定理等著名的数学难题 都变成了明显的推论或者简单的练习题 数学真理显示了强大的威力 数学真理显示了强大的威力 更重要的是 伽罗华理论的出现 改变了代数学的面貌 从这时起 方程论已经不是代数学的全部内容了 它渐渐转向了研究代数结构本身 并不断地向各个数学领域渗透 到19世纪末期 伽罗华开创的数学研究 形成了一门重要的数学分支 近世代数学 这时 伽罗华已经去世多年了 他生前没有享受到他应当享有的巨大荣誉 假如伽罗华长寿 我们畅想 假如伽罗华没有遇见那个姑娘假如他能够长寿 数学的今天也许没有这样复杂如果他能够活到高斯那样的岁数 它与高斯谁更伟大也许 伽罗华会成为最伟大的科学家 并与阿基米德 牛顿 爱因斯坦齐名 数学王子高斯 最聪明 最多才 最长寿的数学家 近代数学的重要的奠基者 也是历史上最伟大的数学家之一1777年4月30日 高斯生于德国的布伦兹维克城 这位罕见的数学奇才 用他辉煌的数学成就和异常敏捷的数学思维能力 给后世留下了许许多多近乎神话的传说 高斯的祖父是农民 父亲是个泥瓦匠 由于生活很贫困 压根儿就没打算送高斯去上学 天分改变人生 惊人的数学天赋 使父亲改变了主意10岁让他的老师惊讶得说不出话来数学老师激动地向学校报告了这件事 还买了最好一本数学书送给高斯 公爵夫人感到不可思议 公爵认为这个天才少年是布伦兹克城的骄傲 决定资助他上大学深造1795年18岁的高斯进入著名的哥廷根大学哥廷根大学因为高斯而享誉世界 高斯的成就 1796年3月20日 他用直尺圆规作出正17边形 古希腊人提出2000年而未能解决的著名难题 就在这一天 高斯决定毕生致力于数学研究 这时高斯已是轰动欧洲的新闻人物了同年 高斯告诉人们什么样的正多边形能用直尺和圆规作出 什么样的正多边形不能用直尺与圆规作出 比如正7 正11边形就作不出 正257 正65537边形就能用直尺与圆规作出 高斯的成就 同年 高斯发现了椭圆函数的双周期性 有使他获得巨大的荣誉1799年 高斯证明代数基本定理 一个牛顿 拉格朗日等大批数学家没有证明的数学结论 这也是高斯的博士论文 22岁 高斯成为一代数学宗师 年轻的高斯风靡了整个国际数学界 被认为是一个 能从九霄云外的高度掌握星空和深奥数学的天才 被荣为 数学王子 高斯的成就 1816年高斯就知道欧