等比数列及其前n项和(一轮复习).ppt

备考方向要明了 1 理解等比数列的概念 2 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中 识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等比数列与指数函数的关系 考什么 1 以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算 如2012年新课标全国T5 浙江T13等 2 以解答题的形式考查等比数列的定义 通项公式 前n项和公式及性质的综合应用 如2012年湖北T18等 怎么考 归纳 知识整合 1 等比数列的相关概念 a1qn 1 na1 探究 1 b2 ac是a b c成等比数列的什么条件 提示 b2 ac是a b c成等比数列的必要不充分条件 因为当b 0时 a c至少有一个为零时 b2 ac成立 但a b c不成等比数列 若a b c成等比数列 则必有b2 ac 2 如何理解等比数列 an 与指数函数的关系 2 等比数列的性质 1 对任意的正整数m n p q 若m n p q则 特别地 若m n 2p 则 2 若等比数列前n项和为Sn则Sm S2m Sm S3m S2m仍成等比数列 即 S2m Sm 2 m N 公比q 1 3 数列 an 是等比数列 则数列 pan p 0 p是常数 也是等比数列 4 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk am an am an a Sm S3m S2m ap aq 2p 自测 牛刀小试 答案 D 1 在等比数列 an 中 如果公比q0 0 q 1 数列 an 为递减数列 当q 0 数列 an 为摆动数列 2 教材习题改编 等比数列 an 的各项均为正数 且a5a6 a4a7 18 则log3a1 log3a2 log3a10 A 12B 10C 8D 2 log35解析 数列 an 为等比数列 a5a6 a4a7 9 log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1 a2 a10 log3 a5a6 5 5log3a5a6 5log39 10 答案 B 答案 4或 4 4 在等比数列 an 中 an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 则a3 a5的值为 解析 由等比数列性质 已知转化为a 2a3a5 a 25 即 a3 a5 2 25 又an 0 故a3 a5 5 答案 5 5 在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列 则这三个数分别是 等比数列的基本运算 例1 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 A 7B 5C 5D 7 2 2012 辽宁高考 已知等比数列 an 为递增数列 且a a10 2 an an 2 5an 1 则数列 an 的通项公式an 3 2012 浙江高考 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3a2 2 S4 3a4 2 则q 25 答案 1 B 2 B 等比数列的判定与证明 例2 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明数列 bn 是等比数列 自主解答 1 证明 由a1 1 及Sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由Sn 1 4an 2 知当n 2时 有Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 又 bn an 1 2an bn 2bn 1 bn 是首项b1 3 公比q 2的等比数列 等比数列的判定方法 2 等比中项公式法 若数列 an 中 an 0且a an an 2 n N 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n N 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和Sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 注意 前两种方法常用于解答题中 而后两种方法常用于填空题中的判定 2 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 解 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 等比数列的性质及应用 例3 1 在等比数列 an 中 若a1 a2 a3 a4 1 a13 a14 a15 a16 8 则a41 a42 a43 a44 2 已知数列 an 为等比数列 Sn为其前n项和 n N 若a1 a2 a3 3 a4 a5 a6 6 则S12 答案 1 1024 2 45 等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类 通项公式的变形 等比中项的变形 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 3 已知等比数列前n项的和为2 其后2n项的和为12 求再后面3n项的和 解 Sn 2 其后2n项为S3n Sn S3n 2 12 S3n 14 由等比数列的性质知Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列 即 S2n 2 2 2 14 S2n 解得S2n 4 或S2n 6 当S2n 4时 Sn S2n Sn S3n S2n 是首项为2 公比为 3的等比数列 则S6n Sn S2n Sn S6n S5n 364 再后3n项的和为S6n S3n 364 14 378 当S2n 6时 同理可得再后3n项的和为S6n S3n 126 14 112 故所求的和为 378或112 1 注意q 1时 Sn na 这一特殊情况 2 由an 1 qan q 0 并不能断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 3 在应用等比数列的前n项和公式时 必须注意对q 1和q 1分类讨论 防止因忽略q 1这一特殊情况而导致错误 1 方程的思想 等比数列的通项公式 前n项和的公式中联系着五个量 a1 q n an Sn 已知其中三个量 可以通过解方程 组 求出另外两个量 其中基本量是a1与q 在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组 是解题的关键 创新交汇 以等比数列为背景的新定义问题1 在新情境下先定义一个新数列 然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题 同时 数列也常与函数 不等式等形成交汇命题 2 对于此类新定义问题 只要弄清其本质 然后根据所学的数列的性质即可快速解决 典例 2012 湖北高考 定义在 0 0 上的函数f x 如果对于任意给定的等比数列 an f an 仍是等比数列 则称f x 为 保等比数列函数 现有定义在 0 0 上的如下函数 则其中是 保等比数列函数 的f x 的序号为 A B C D 答案 C 1 本题具有以下创新点 1 命题背景新颖 本题是以 保等比数列函数 为新定义背景 考查等比数列的有关性质 2 考查内容创新 本题没有直接指明判断等比数列的有关性质 而是通过新定义将指数函数 对数函数及幂函数 二次函数与数列有机结合 对学生灵活处理问题的能力有较高要求 2 解决本题的关键有以下两点 2 灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键 答案 B 答案 D 演练知能检测 见 限时集训 三十二 1 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6 答案 A 2 设等比数列 an