福建省福州市高二数学下学期期中试卷 文（含解析）.doc

2016-2017学年福建省福州高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1在复平面内，复数（12i）2对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）y=cosx（xr）是三角函数；三角函数是周期函数；y=cosx（xr）是周期函数abcd3根据所给的算式猜测12345679+8等于（）19+2=11；129+3=111；1239+4=1 111；12349+5=11 111；a1 111 110b1 111 111c11 111 110d11 111 1114用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）a没有一个内角是钝角b有两个内角是钝角c有三个内角是钝角d至少有两个内角是钝角5给出下列命题：对任意xr，不等式x2+2x4x3均成立；若log2x+logx22，则x1；“若ab0且c0，则”的逆否命题其中真命题只有（）abcd6若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）a相交过圆心b相交而不过圆心c相切d相离7执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）a3b4c5d68已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）a0b1c2d4二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9（6分）在极坐标系中，定点a，点b在直线cos+sin=0上运动，当线段ab最短时，点b的极坐标是 10（6分）若关于实数x的不等式|x5|+|x+3|a无解，则实数a的取值范围是 11（6分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：x24568y2040607080根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为 12（6分）给出下列等式：=1；由以上等式推出一个一般结论：对于nn*， = 三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13（12分）已知命题p：lg（x22x2）0；命题q：0x4若p且q为假，p或q为真，求实数x的取值范围14（12分）已知a0，b0，c0，函数f（x）=|x+a|+|xb|+c的最小值为4（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值15（12分）已知某圆的极坐标方程为24cos（）+6=0，求：（1）圆的标准方程和参数方程；（2）在圆上所有的点（x，y）中xy的最大值和最小值四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16满足条件|zi|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）a一条直线b两条直线c圆d椭圆17用数学归纳法证明“42n1+3n+1（nn*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）a16（42k1+3k+1）133k+1b442k+93kc（42k1+3k+1）+1542k1+23k+1d3（42k1+3k+1）1342k118设f1和f2是双曲线为参数）的两个焦点，点p在双曲线上，且满足f1pf2=90，那么f1pf2的面积是（）a1bc2d519设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列（a1，a2，an均为正数），则+的最小值是（）a2nbcdn五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20（4分）圆=r与圆=2rsin（+）（r0）的公共弦所在直线的方程为 21（4分）已知关于x的不等式2x+7在x（a，+）上恒成立，则实数a的最小值为 六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22（12分）已知经过a（5，3）且倾斜角的余弦值是的直线，直线与圆x2+y2=25交于b、c两点（1）请写出该直线的参数方程以及bc中点坐标；（2）求过点a与圆相切的切线方程及切点坐标23（14分）（1）已知a，b，cr，且2a+2b+c=8，求（a1）2+（b+2）2+（c3）2的最小值（2）请用数学归纳法证明：（1）（1）（1）（1）=（n2，nn*）2016-2017学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1在复平面内，复数（12i）2对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案【解答】解：（12i）2 =124i+（2i）2=34i，复数（12i）2对应的点的坐标为（3，4），位于第三象限故选：c【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）y=cosx（xr）是三角函数；三角函数是周期函数；y=cosx（xr）是周期函数abcd【考点】f6：演绎推理的基本方法【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的次序【解答】解：根据“三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：y=cosx（xr ）是三角函数是“小前提”；三角函数是周期函数是“大前提”；y=cosx（xr ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为故选b【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论3根据所给的算式猜测12345679+8等于（）19+2=11；129+3=111；1239+4=1 111；12349+5=11 111；a1 111 110b1 111 111c11 111 110d11 111 111【考点】f1：归纳推理【分析】分析：19+2=11；129+3=111；1239+4=1 111；1 2349+5=11 111；不难发现规律，故可大胆猜测（12n）9+（n+1）=111（n个）【解答】解：分析19+2=11；129+3=111；1239+4=1 111；1 2349+5=11 111；12 3459+6=111 111，故可大胆猜测：（12n）9+（n+1）=111（n个）12345679+8=11111111，故选：d【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）4用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）a没有一个内角是钝角b有两个内角是钝角c有三个内角是钝角d至少有两个内角是钝角【考点】2j：命题的否定【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选d【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应5给出下列命题：对任意xr，不等式x2+2x4x3均成立；若log2x+logx22，则x1；“若ab0且c0，则”的逆否命题其中真命题只有（）abcd【考点】2k：命题的真假判断与应用【分析】利用配方法，可判断；根据对勾函数和对数函数的性质，可判断；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的命题真假性相同，可判断【解答】解：不等式x2+2x4x3可化为：（x1）2+20，显然恒成立，故正确；若log2x+logx22，则log2x0，即x1，故正确；“若ab0，则，又由c0，则”，即原命题为真命题，故他的逆否命题正确即正确；故选：c【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，难度中档6若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）a相交过圆心b相交而不过圆心c相切d相离【考点】j9：直线与圆的位置关系；qj：直线的参数方程；qk：圆的参数方程【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+（y3）2=4，圆心坐标为（1，3），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：y+1=3（x+1），即3xy+2=0，圆心到直线的距离d=r=2，又圆心（1，3）不在直线3xy+2=0上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心故选：b【点评】此题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）0dr，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；dr，直线与圆相离7执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）a3b4c5d6【考点】ef：程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果【解答】解：模拟执行程序，可得：k=1，s=1，第1次执行循环体，s=1，不满足条件s15，第2次执行循环体，k=2，s=2，不满足条件s15，第3次执行循环体，k=3，s=6，不满足条件s15，第4次执行循环体，k=4；s=15，不满足条件s15，第5次执行循环体，k=5；s=31，满足条件s31，退出循环，此时k=5故选：c【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题8已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）a0b1c2d4【考点】83：等差数列；7f：基本不等式；87：等比数列【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可【解答】解：x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，当且仅当x=y时取“=”，故选d【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9在极坐标系中，定点a，点b在直线cos+sin=0上运动，当线段ab最短时，点b的极坐标是【考点】it：点到直线的距离公式；qh：参数方程化成普通方程【分析】在极坐标系中，直线cos+sin=0，化为x+y=0，线段ab最短，就是过a与x+y=0垂直的直线，和它的交点再换成极坐标【解答】解：直线cos+sin=0，化为x+y=0，与x+y=0垂直过a的直线方程为：y1=x，这两条直线的交点是所以b的极坐标是故答案为：【点评】本题是极坐标和直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，容易出错10若关于实数x的不等式|x5|+|x+3|a无解，则实数a的取值范围是（，8【考点】r5：绝对值不等式的解法【分析】利用绝对值的意义求得|x5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围【解答】解：由于|x5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x5|+|x+3|a无解，可得a8，故答案为：（，8【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题11对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：x24568y2040607080根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为211.5【考点】bk：线性回归方程【分析】利用公式求出，即可得回归直线方程=10.5x+，当x=20时，求解y即可【解答】解：样本平均数=5， =54，回归直线方程为=10.5x+，=10.5，=5410.55=1.5则回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，y=10.520+1.5=211.5故答案为：211.5【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题12给出下列等式：=1；由以上等式推出一个一般结论：对于nn*， =1【考点】f1：归纳推理【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论【解答】解：由已知中的等式：=1；由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于nn*， =1故答案为： =1【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13（12分）（2017春台江区校级期中）已知命题p：lg（x22x2）0；命题q：0x4若p且q为假，p或q为真，求实数x的取值范围【考点】2e：复合命题的真假【分析】分别求出p，p以及q的范围，根据p，q的真假，得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由lg（x22x2）0，得x22x21，x3，或x1即p：x3，或x1，非p：1x3又q：0x4，非q：x4，或x0，由p且q为假，p或q为真知p、q一真一假当p真q假时，由，得x4，或x1当p假q真时，由，得0x3综上知，实数x的取值范围是x|x1，或0x3，或x4【点评】本题考查了对数函数以及复合命题的真假，考查分类讨论思想，是一道基础题14（12分）（2015福建）已知a0，b0，c0，函数f（x）=|x+a|+|xb|+c的最小值为4（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值【考点】rb：一般形式的柯西不等式【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|xb|+c|（x+a）（xb）|+c=|a+b|+c，当且仅当axb时，等号成立，又a0，b0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）（2+3+c1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2当且仅当=，即a=，b=，c=时，等号成立所以a2+b2+c2的最小值为【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题15（12分）（2017春吉林期中）已知某圆的极坐标方程为24cos（）+6=0，求：（1）圆的标准方程和参数方程；（2）在圆上所有的点（x，y）中xy的最大值和最小值【考点】q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）24cos（）+6=0，即24（cos+sin）+6=0，利用互化公式可得直角坐标方程，再利用平方关系即可得出参数方程（2）设圆上的点，则xy=4+2sin+2cos+2sincos，令sin+cos=sin=t，可得xy=4+2t+t21，即可得出【解答】解：（1）24cos（）+6=0，即24（cos+sin）+6=0，可得x2+y24x4y+6=0，配方为：（x2）2+（y2）2=2可得参数方程：（为参数）（2）设圆上的点，则xy=4+2sin+2cos+2sincos，令sin+cos=sin=t，则t2=1+2sincos，可得sincos=则xy=4+2t+t21=+11，9xy的最大值最小值分别为1，9【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16满足条件|zi|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）a一条直线b两条直线c圆d椭圆【考点】j3：轨迹方程；a3：复数相等的充要条件【分析】据得数的几何意义可直接得出|zi|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆【解答】解：|3+4i|=5满足条件|zi|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆故应选c【点评】考查复数的几何意义及复数求模的公式 题型很基本较全面考查了复数的运算与几何意义17用数学归纳法证明“42n1+3n+1（nn*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）a16（42k1+3k+1）133k+1b442k+93kc（42k1+3k+1）+1542k1+23k+1d3（42k1+3k+1）1342k1【考点】rg：数学归纳法【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证，在分解的过程中一定要分析出含42k1+3k+1的情况【解答】解：假设n=k时命题成立即：42k1+3k+1被13整除当n=k+1时，42k+1+3k+2=1642k1+33k+1=16（42k1+3k+1）133k+1故选：a【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n相关的性质，其步骤为：设p（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） p（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在p（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立18设f1和f2是双曲线为参数）的两个焦点，点p在双曲线上，且满足f1pf2=90，那么f1pf2的面积是（）a1bc2d5【考点】qh：参数方程化成普通方程【分析】由双曲线为参数），消去参数可得：y2=1利用双曲线的定义与勾股定理即可得出【解答】解：由双曲线为参数），消去参数可得：y2=1可得a=2，b=1， =设|pf1|=m，|pf2|=n，mn，则，可得mn=2f1pf2的面积s=1故选：a【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的定义、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列（a1，a2，an均为正数），则+的最小值是（）a2nbcdn【考点】85：等差数列的前n项和【分析】利用均值不等式即可得出【解答】解：c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列（a1，a2，an均为正数），则+n=n，当且仅当=时取等号故选：d【点评】本题考查了均值不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20圆=r与圆=2rsin（+）（r0）的公共弦所在直线的方程为（sin+cos）=r【考点】q4：简单曲线的极坐标方程【分析】圆=r，可得直角坐标方程：x2+y2=r2圆=2rsin（+）（r0），即2=2rsin（+），可得直角坐标方程：x2+y2=rxry相减可得公共弦所在直线的方程【解答】解：圆=r，可得直角坐标方程：x2+y2=r2圆=2rsin（+）（r0），即2=2rsin（+），可得直角坐标方程：x2+y2=rxry相减可得公共弦所在直线的方程： x+y+r=0即（sin +cos ）=r故答案为：（sin +cos ）=r【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、两圆的公共弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知关于x的不等式2x+7在x（a，+）上恒成立，则实数a的最小值为2【考点】6b：利用导数研究函数的单调性；6d：利用导数研究函数的极值【分析】关于x的不等式2x+7在x（a，+）上恒成立，令f（x）=2x+，可得：f（x）min=7，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：关于x的不等式2x+7在x（a，+）上恒成立，令f（x）=2x+，可得：f（x）min=7，则f（x）=2=，当且仅当x=a+1时，f（x）取得最小值，f（a+1）=2a+3=7，解得a=2实数a的最小值为2故答案为：2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22（12分）（2017春台江区校级期中）已知经过a（5，3）且倾斜角的余弦值是的直线，直线与圆x2+y2=25交于b、c两点（1）请写出该直线的参数方程以及bc中点坐标；（2）求过点a与圆相切的切线方程及切点坐标【考点】qh：参数方程