福建省莆田二十五中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（下）期中数学试卷（理科）一、单项选择题（5分*12=60分）1为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）a50b45c40d202若复数z满足（1i）z=|34i|，则z的实部为（）abc d3（x21）dx=（）a b2c1d4a，b，c，d，e五人并排站成一排，如果b不排两端，则不同的排法共有（）种a36b48c60d725如果复数（ar）为纯虚数，则a=（）a2b0c1d26下列说法中正确的是（）a数据5，4，4，3，5，2的众数是4b一组数据的标准差是这组数据的方差的平方c数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半d频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数7执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的m=（）a b c d8若x1，x2，x3，xn的平均数为，标准差为s，则x1+a，x2+a，xn+a的平均数和标准差分别为（）a +a，sba，s2ca2，s2+ad +a2，s+a29若如图所示的程序框图输出的s是126，则条件可以为（）an5bn6cn7dn810设函数f（x）是奇函数f（x）（xr）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）a（，1）（0，1）b（1，0）（1，+）c（，1）（1，0）d（0，1）（1，+）114位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动选数为（）a16b14c12d1012已知函数f（x）=x33ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围为（）a（，3）b（，1）c（1，+）d（3，+）二、填空题（5分*4=20分）13将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是14（xy）（x+y）8的展开式中x7y2的系数为（用数字填写答案）15不重合的两个平面和在内取5个点，在内取4个点，利用这9个点最多可以确定三棱锥的个数为个16已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是三、解答题（12分*5+10分=70分）17已知a，b为实数，i为虚数单位，且满足a+bi=（1+2i）（3i）+（1）求实数a，b的值；（2）若复数z=（ma）+（mb）i在复平面所对应的点在直线y=2x上，求实数m的值18某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中80，90）间的矩形的高；（3）结合茎叶图和频率分布直方图，估计全班女生的数学平均分19某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =20已知a为实数，f（x）=（x24）（xa）（1）求导数f（x）；（2）若f（1）=0，求f（x）在2，2上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（，2）和（2，+）上都是递增的，求a的取值范围21已知（）n（nn*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1（1）求n的值和展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项和展开式中各项系数的和22已知函数f（x）=lnx+1，ar（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值（2）证明：ex+（lnx1）sinx02015-2016学年福建省莆田二十五中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题（5分*12=60分）1为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）a50b45c40d20【考点】分层抽样方法【分析】利用分层抽样性质求解【解答】解：高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，由分层抽样性质，得：，解得n=45故选：b2若复数z满足（1i）z=|34i|，则z的实部为（）abc d【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求【解答】解：由（1i）z=|34i|，得z的实部为故选：d3（x21）dx=（）a b2c1d【考点】定积分【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（x21）dx=（x3x）|=1=，故选：d4a，b，c，d，e五人并排站成一排，如果b不排两端，则不同的排法共有（）种a36b48c60d72【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】利用间接法，求出a，b，c，d，e五人并排站成一排及b排两端的方法数，即可求得结论【解答】解：a，b，c，d，e五人并排站成一排，共有=120种，其中b排两端，有2=48种a，b，c，d，e五人并排站成一排，b不排两端，不同的排法共有12048=72种故选d5如果复数（ar）为纯虚数，则a=（）a2b0c1d2【考点】复数的基本概念【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值【解答】解：由题意知， =，（ar）为纯虚数，2a=0，解得a=2故选d6下列说法中正确的是（）a数据5，4，4，3，5，2的众数是4b一组数据的标准差是这组数据的方差的平方c数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半d频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【考点】众数、中位数、平均数【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，a中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，c可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率【解答】解：a中众数有两个4和5，a是错误的，b中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，c可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，正确，d频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故选c7执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的m=（）a b c d【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当m=时满足条件nk，退出循环，输出m的值【解答】解：n=1时，m=1+=，n=2时，m=2+=，n=3时，m=+=，故选：d8若x1，x2，x3，xn的平均数为，标准差为s，则x1+a，x2+a，xn+a的平均数和标准差分别为（）a +a，sba，s2ca2，s2+ad +a2，s+a2【考点】极差、方差与标准差【分析】由已知条件，利用平均数和标准差的计算公式直接求解即可【解答】解：x1，x2，xn的平均数为，标准差为s，x1+a，x2+a，xn+a的平均数为=xi+a=+a，x1+a，x2+a，xn+a的标准差为：s=s，故选：a9若如图所示的程序框图输出的s是126，则条件可以为（）an5bn6cn7dn8【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s=2+22+2n的值，结合输出的s是126，即可得到退出循环的条件【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s=2+22+2n的值，由于s=2+22+26=126，故中应填n6故选：b10设函数f（x）是奇函数f（x）（xr）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）a（，1）（0，1）b（1，0）（1，+）c（，1）（1，0）d（0，1）（1，+）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在r上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：a114位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动选数为（）a16b14c12d10【考点】计数原理的应用【分析】把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，问题得以解决【解答】解：把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，故有（c41+）a22=14种，故选：b12已知函数f（x）=x33ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围为（）a（，3）b（，1）c（1，+）d（3，+）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求参数的范围【分析】求导f（x）=3x26ax=3x（x2a），从而分类讨论以确定函数的单调性及极值，再结合函数零点的判定定理求解即可【解答】解：f（x）=x33ax2+4，f（x）=3x26ax=3x（x2a），当a0时，f（x）在（，0）上是增函数，在（0，2a）上是减函数，在（2a，+）上是增函数；又f（0）=40，故只需要f（2a）=8a312a3+40，解得0a1；当a=0时，f（x）=x3+4在（，+）上是增函数，且f（0）=40；故f（x）存在唯一的零点x0，且x00；当a0时，f（x）在（，2a）上是增函数，在（2a，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数，且f（0）=40，故f（x）满足存在唯一的零点x0，且x00；综上所述，实数a的取值范围为（，1），故选b二、填空题（5分*4=20分）13将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是15【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可【解答】解：样本间距为364=9，则另外一个编号为6+9=15，故答案为：1514（xy）（x+y）8的展开式中x7y2的系数为20（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用【分析】把（x+y）8按照二项式定理展开，即可得到（xy）（x+y）8的展开式中x7y2的系数【解答】解：（xy）（x+y）8 =（xy）（x8+x7y+x6y2+xy7+y8），故（xy）（x+y）8的展开式中x7y2的系数为=20，故答案为：2015不重合的两个平面和在内取5个点，在内取4个点，利用这9个点最多可以确定三棱锥的个数为120个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由题意，不共面的四点确定一个三棱锥，则可分类讨论：内分别取3、2、1个点，在内取1、2、3个点，由此可得结论【解答】解：由题意，不共面的四点确定一个三棱锥，则最多可以确定三棱锥的个数为=40+60+20=120故答案为：12016已知函数f（x）=有两个零点，则实数a的取值范围是1，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】令ln（1x）=0解得x=0，即f（x）在（，1）上有1个零点，所以f（x）在1，+）上有1个零点，即a=0在1，+）上有一解，即a的范围为的值域【解答】解：当x1时，令ln（1x）=0解得x=0，故f（x）在（，1）上有1个零点，f（x）在1，+）上有1个零点当x1时，令=0得a=1实数a的取值范围是1，+）故答案为1，+）三、解答题（12分*5+10分=70分）17已知a，b为实数，i为虚数单位，且满足a+bi=（1+2i）（3i）+（1）求实数a，b的值；（2）若复数z=（ma）+（mb）i在复平面所对应的点在直线y=2x上，求实数m的值【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数相等的条件得答案；（2）求出z的坐标，代入已知直线求得m值【解答】解：（1）a+bi=（1+2i）（3i）+=3i+6i+2+=5+6i，a=5，b=6；（2）z=（ma）+（mb）i=（m5）+（m6）i对应的点（m5，m6）在直线y=2x上，m6=2（m5），解得m=418某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中80，90）间的矩形的高；（3）结合茎叶图和频率分布直方图，估计全班女生的数学平均分【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图；茎叶图【分析】（1）由50，60）的直方图和茎叶图能求出高三（1）班全体女生的人数（2）先求出80，90）的人数，由此能求出频率分布直方图中80，90）间的矩形的高（3）先求出第一组频率，第二组频率，第三组频率，第四组频率，第五组频率，由此能估计全班女生的数学平均分【解答】解：（1）由50，60）的直方图和茎叶图，得：=0.08，解得n=25高三（1）班全体女生的人数为25（2）80，90）的人数为25（2+7+10+2）=4，频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为：=0.016（3）第一组频率为：0.08，第二组频率为0.28，第三组频率为0.4，第四组频率为0.16，第五组频率为0.008，估计全班女生的数学平均分为：=0.0855+0.2865+0.475+0.1685+0.0895=73.819某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =【考点】线性回归方程【分析】（）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程（）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值【解答】解：（）由题意， =（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，=0.5，=4.30.54=2.3y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（）由（）知，b=0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.59+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元20已知a为实数，f（x）=（x24）（xa）（1）求导数f（x）；（2）若f（1）=0，求f（x）在2，2上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（，2）和（2，+）上都是递增的，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）按导数的求导法则求解（2）由f（1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f（2）0，f（2）0联立可得a的范围 （法二）求出f（x），再求单调区增间（，x1）和x2，+），依题意有（，2）（，x1）2，+x2，+）【解答】解：（1）由原式得f（x）=x3ax24x+4a，f（x）=3x22ax4（2）由f（1）=0得，此时有由f（x）=0得或x=1，又，所以f（x）在2，2上的最大值为，最小值为（3）解法一：f（x）=3x22ax4的图象为开口向上且过点（0，4）的抛物线，由条件得f（2）0，