（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题二 大题考法课 立体几何课时跟踪检测.doc

立体几何1.如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC，垂足为M.EA平面ABC，CFAE，AE3，AC4，CF1.(1)证明：BFEM；(2)求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：EA平面ABC，BMEA，又BMAC，ACEAA，BM平面ACFE，BMEM.在RtABC中，AC4，BAC30，AB2，BC2，又BMAC，则AM3，BM，CM1.FM，EM3，EF2，FM2EM2EF2，EMFM.又FMBMM，由得EM平面BMF，EMBF.(2)如图，以A为坐标原点，过点A垂直于AC的直线为x轴，AC，AE所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系由已知条件得A(0,0,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，(，3,3)，(，1,1)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，由得令x，得y1，z2，平面BEF的一个法向量为n(，1,2)EA平面ABC，取平面ABC的一个法向量为(0,0,3)设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则cos |cosn，|.故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.2.(2019台州期末)如图，四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABAD，ABCD，PDAB2AD2CD2，E为PB的中点(1)证明：平面EAC平面PBC；(2)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值解：(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCAC.又AB2，ADCD1，ADAB，所以ACBC.故AC2BC2AB2，即ACBC.又BCPCC，所以AC平面PBC，因为AC平面ACE，所以平面ACE平面PBC.(2)法一：因为PC平面ABCD，所以PCCD.又PD2，CD1，所以PC.在平面PCB内，过点P作PHCE，垂足为H.由(1)知平面ACE平面PBC，所以PH平面ACE，又点E为PB的中点，CEPB.由等面积法得CEPHPCBC，所以PH.又点E为PB的中点，所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等连接BD交AC于点G，则GB2DG.所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半，即PH.所以直线PD与平面AEC所成角的正弦值为.法二：如图，取AB的中点F，建立如图所示的空间直角坐标系因为PD2，所以CP.所以C(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，E.(0,1，)，(1,1,0)，.设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，得y1，z，即n.设直线PD与平面AEC所成角为，则sin |cosn，|，所以直线PD与平面AEC所成角的正弦值为.3如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值解：(1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)设S(x，y，z)，显然x0，y0，z0，则(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)由|，得 ，解得x1.由|1，得y2z21.由|2，得y2z24y10.由，解得y，z.S，1，0，0，DSAS，DSBS，又ASBSS，SD平面SAB.(2)设平面SBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则n，n，n0，n0.又，(0,2,0)，取z12，得n(，0,2)(2,0,0)，cos，n.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.4.如图，等腰直角三角形ABC中，B是直角，平面ABEF平面ABC,2AFABBE，FAB60，AFBE.(1)求证：BCBF；(2)求直线BF与平面CEF所成角的正弦值解：(1)证明：在RtABC中，B是直角，即BCAB，平面ABC平面ABEF，平面ABC平面ABEFAB，BC平面ABC，BC平面ABEF，又BF平面ABEF，BCBF.(2)法一：作BGEF于点G，连接CG.由(1)知BC平面ABEF，BCEF.又BGEF，BCBGB，EF平面BCG.又EF平面CEF，平面BCG平面CEF.作BHCG于点H，连接FH，易得BH平面CEF，则BFH即为所求线面角的平面角设AF1，由已知得ABBE2，BF，在BEF中，由勾股定理得EF，再由三角形等面积法得BG，BH，sinBFH.直线BF与平面CEF所成角的正弦值为.法二：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AF1.由已知得B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(1,0，)，则，(1,2，)，设平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则即令x，则z5，y2.即n(，2，5)设直线BF与平面CEF所成角为，则sin |cosn，|.故直线BF与平面CEF所成角的正弦值为.法三：(等体积法)设2AFABBE2，ABC为等腰三角形，有ABBC2，FAB60，2AFAB，AFB90，又AFBE，EBBF.由(1)知，BC平面ABEF，EB平面ABEF，EBBC，又BCBFB，BF平面BCF，BC平面BCF，EB平面BCF，又BCBF，则有BF，CF，EF，CE2.令点B到平面CEF距离为d，有d22d，故直线BF与平面CEF所成角的正弦值为.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABBC2，ACB30，C1CB60，BC1A1C，E为AC的中点，CC12.(1)求证：A1C平面C1EB；(2)求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值解：(1)证明：因为ABBC2，E为AC的中点，所以ACBE.又因为平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，所以BE平面A1ACC1，所以BEA1C.又因为BC1A1C，BC1BEB，BC1平面C1EB，BE平面C1EB，所以A1C平面C1EB.(2)法一：因为平面A1ACC1平面ABC，所以直线CC1与平面ABC所成角为C1CA.因为ACB30，ABBC2，E为AC的中点，所以EC，EB1.因为CC1BC2，C1CB60，所以BC12，因为BE平面A1ACC1，所以BEEC1，所以EC1.在CC1E中，根据余弦定理可知，cosC1CE.所以直线CC1与平面ABC所成角的余弦值为.法二：以E为坐标原点，EC为x轴，EB为y轴建立如图所示的空间直角坐标系因为ACB30，ABBC2，E为AC的中点，所以EC，EB1.因为CC1CB2，C1CB60，所以BC12，因为BE平面AA1CC1，所以BEEC1，所以EC1.所以|2，|，设C1(x,0，y)，又C(，0,0)，所以解得所以C1，则，易知平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，设直线CC1与平面ABC所成的角为，则sin |cos，n|，所以cos .即直线CC1与平面ABC所成角的余弦值为.6.(2019杭州二中高考仿真)如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，ABCD，ABCADB90，CD1，BC2.(1)求证：BE平面DCF；(2)当AE的长为何值时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45.解：(1)证明：法一：因为四边形ADFE是矩形，所以AEDF.又ABCD，且ABAEA，CDDFD，AB，AE在平面ABE上，CD，DF在平面DCF上，所以平面ABE平面DCF.又BE在平面ABE上，且BE不在平面CDF上，所以BE平面CDF.法二：如图，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，DF所在直线为z轴建立空间直角坐标系因为ABCD，ABCADB90，DCB90.易得DCBBDA，又CD1，BC2，DB，所以，所以AD2，AB5，设AEh，所以D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0，0)，C，E(2，0，h)，F(0,0，h)，(0,0，