补充讲义1

中级微观经济学补充讲义之一圣 . 彼得堡悖论平新乔 2006.10.22.圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次，到第n次，如结果是头面朝上，彼得付保尔个盾。这个博局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。如何解释这个悖论？大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。1728年，数学家克莱姆（Cramer）致信于尼古拉斯.伯努利，对上述悖论提出了下述解：克莱姆认为，任何一个有理智的人，对超过盾数量的货币都不认为会带来比盾货币更多的价值，从而，保尔在上述赌局中价值的评估应为：这个结果比较接近于实际生活中上述赌局门票不超过20盾的事实。克莱姆还对保尔在每一次可能的“头面朝上”事件所获的收入w取了函数，从而，保尔在该赌局中的价值期望值应该为但克莱姆认为这个结果比实际观察到的赌局门票要低。为了解决这一问题，克莱姆主张对取平方，成为。1732年，尼古拉斯.伯努利的表弟，丹尼尔.伯努利写出了一篇划时代的论文，题为关于风险测度新理论的阐述（”Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”）。在这篇论文中，丹尼尔.伯努利提出，人们在面临风险时，对赢亏对称（即赢率等于亏率，且赢额等于赔额）的公平赌局，往往是不会参与的，原因是效用函数U(w)是凹的，赢额对当事人的效用增量抵偿不了同样数额的赔额对当事人带来的效用损失。丹尼尔.伯努利对圣.彼得堡悖论的原始解式是这样的：设掷硬币时出现“头面朝上”时保尔所获为，其发生的概率为，则保尔的效用值为：这里，丹尼尔.伯努利用了的形式，而把每一次事件发生概率写成了指数形式，由于1，从而，伯努力效用函数形式实质上也是最早形式的”Cobb-Douglass”效用函数形式。这也从另一个方面揭示了，Cobb-Douglass效用函数形式含有风险规避的意思。只要将丹尼尔.伯努利的效用函数形式取对数，就不难得出，保尔在前述博局中的期望效用值为：这个的形式，便是稍加变换的丹尼尔.伯努利期望效用函数形式，也是现代经济学教科书里常用的关于圣.彼得堡解式的表达式。“圣.彼得堡悖论”与丹尼尔.伯努利的解是现代经济学关于风险与不确定下选择理论的基础。参考文献：Daniel Bernoulli: “Exposition of a New Theory on th