二次函数教学中如何提高学生的归纳问题及解题能力[文档资料]

二次函数教学中如何提高学生的归纳问题及解题能力 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 一、生成二次函数的几种方法 在高考中单独考查二次函数的题目不多见，但与高中知识相结合的题目却很多，这可能和二次函数的轴对称性与存在最值而受到命题者的青睐 . 生成二次函数的方法一般有以下几种方法 （ 1）三次函数求导生成二次函数 这是最基本的方法，也是文科数学中经常考到的方法 . （ 2）反比例函数求导可得二次函数 (kx)= -kx2(k0) ，通常要与其他函数相结合 .由于需要考虑导函数的正负，二次函数在分子中生成，而分母大于零，因而只需考虑分子的二次函数即可 . （ 3）对数函数的导函数与其他函数结合可得二次函数 (lnx)=1x ，与一次函数或者与另外一个对数的导函数结合可以生成二次函数 .由于对数函数的定义域限定，导函数的分母为正，二次函数在分子中生成 . （ 4）由指数函数生成二次函数 通常如 f(x)=x2ex 的导函数可以生成二次函数 . 通过把以上方法组合，可以得 到更多生成二次函数的方法 . 二、经常讨论二次函数的知识点 1.对称轴含有参数，通过讨论二次函数的正负讨论单调性、最值与参数取值； 2.区间含参数，通过讨论二次函数的正负讨论单调性、最值与参数取值； 3.讨论二次函数的零点与区间端点的关系，来研究原函数的单调性、最值与参数的取值； 4.通过讨论判别式来研究原函数的单调性、最值与参数的取值范围； 5.与二次不等式有关的分类讨论 . 三、例题解析 例 1 已知函数 f(x)=ax3-1.5x2+1 (xR), 其中 a0,若在区间 -0.5,0.5上， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围 . 解析本题可以转化为函数 f(x)在区间 -0.5,0.5的最小值大于零，是二次函数中区间不变，零点变化而导致的最值变化的一类题 . 解 f (x)=3ax -3x=3x(ax-1). 由 f (x)0 有 x1a 或 x0； 由 f (x)0 有 0x0，即 a0, f(1a)0, 得 220）， （ 1）求 f(x)的单调性； （ 2）设 a=3，求 f(x)在区间 1,e2的 值域 . 解 ，设 f (x)=1+2x2 -ax=x2-ax+2x2,设 h(x)=x2-ax+2. 对于 h(x)来讲，当 =a2 -80 ，即 0 =a2 -80，即 a22， 当 xa+a2-82或 0x0； 当 a+a2-8222 时， f(x)在区间 (0,a-a2-82)， (a+a2-82,+)单调递增； 在 (a-a2-82， a+a2-82)单调递减 . 例 3 已知函数 f(x)=x2eax， （ 1）讨论 f(x)的单调性； （ 2）求函数 f(x)在区间 0,1上的最大值 . 解（ 1） f (x)=x(ax+2)eax. 当 a=0 时， f (x)=2x ，所以 f (x) 在 (-,0) 单调递减，在 (0,+) 上单调递增 . 当 a0 时，令 h(x)=x(ax+2)，因为 h(x)=0 的两根为 0和 -2a0,此时f (x)0 ，所以 f(x)单调递增； 当 a( -2a,0),h(x)0，此时 f (x)0 ，所以 f(x)单调递减； 当 a0 时，当 x( -,0) 或 x(2a,+),f(x) 单调递减； 当 x(0, -2a)， f(x)单调递增 . （ 2）由（ 1）可知， 当 a0 ， f(x)在 0,1单调递增，所以f(x)max=f(1)=ea. 当 a0 时， 当 -2a1 ，即 -2a0 时， f(x)在 0,1单调递增， f(x)max=f(1)=ea. 当 -2a1，即 a-2 时， f(x)在 (0,-2a)单调递增， f(x)在 (-2a,1)单调递减， f(x)max=f(-2a)=4a2e2. 综上，当 a -2 时， f(x)max=ea； 当 a0, （ 1）当 a=1 时，求 f(x)的单调区间； （ 2）若 f(x)在 (0,1上的最大值为 0.5，求 a 的值 . 分析本题（ 1）体现了上面提及到的方法，f (x)=x2 -2x(x-2)，其中分母小于零，只需考虑分子 .（ 2）主要通过定义域确定导函数的正负 . 3.已知函数 f(x)=(x-k)2exk. （ 1）求函数 f(x)的单调区间 ； (2)若对于任意的 x(0,+) ，都有 f(x)1e, 求 k 的取值范围 . 分析 f (x)=x2 -k2kexk，所以只需考虑 x2-k2k 的正负即可，需要对 k 的正负进行讨论；第（ 2）只需由（ 1）的单调性求出最大值，最大值小于等于 1e即可求出 k 的取值范围 . 4.已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在 x=0 处取得极值， （ 1）求 a 的值； （ 2）讨论方程 f(x)=b-52x 在区间 0,2上实根的个数 . 分析（ 1）用函数取极值的必要 不充分条件即可，（ 2） b=f(x)+52x，令 h(x)=f(x)+52x， h(x)= -(4x+5)(x-1)2(x+1),而（ x+1） 0是由对数的定义域决定的，因此主要考察分子的二次函数，求出 h(x)的值域即可，注意数形结合 . 5.定义在定义域 D 内的函数 y=f(x)，若对于任意x1,x2D 都有 |f(x1)-f(x2)|1，则称 y=f(x)为 “ 妈祖函数 ” ，否则为 “ 非妈祖函数 ”. 试问函数 f(x)=x3-x+a，其中x -1,1，