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8 2 6离散型随机变量的数学期望 高二数学组 1 1 什么叫n次独立重复试验 一 复习 一般地 由n次试验构成 且每次试验互相独立完成 每次试验的结果仅有两种对立的状态 即A与 每次试验中P A p 0 称这样的试验为n次独立重复试验 也称伯努利试验 2 什么叫二项分布 若X B n p 2 一般地 设离散型随机变量X可能取的值为x1 x2 xi X取每一个值xi i 1 2 的概率P X xi pi 则称下表 为随机变量X的概率分布 由概率的性质可知 任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 1 3 随机变量的概率分布 3 引例p69全年级有n 300个学生 其中有ni同学的身高是xicm 全年级同学身高总和为多少 平均身高u为多少 二 引例 从班中任选一位同学 用X代表身高 则 X 156 的概率分布有多少 4 5 数学期望的定义 若离散型随机变量X的分布列为 则称 EX x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 三 新课讲解 6 小练习 在篮球比赛中 如果某运动员罚球命中得1分的概率为0 7 那么他罚球一次得分设为X X的均值是多少 解 该随机变量X服从两点分布 P X 1 0 7 P X 0 0 3所以 EX 1 P X 1 0 P X 0 0 7 7 四 应用例题 8 例2 在只需回答 是 不是 的知识竞赛时 每个选手回答两个不同的问题 都回答失败 输1分 否则赢0 3分 用X表示甲的得分 如果甲随机猜测 是 不是 计算X的概率的分布和数学期望 解 X 1 的充分必要条件是两次猜错 所以p X 1 1 4 0 25 X 0 3 是 X 1 的对立事件 所以p X 0 3 3 4 0 75X只取 1和0 3 于是E X 1 p X 1 0 3 p X 0 3 1 0 25 0 3 0 75 0 025 9 2 如果随机变量X服从两点分布 那么EX p 3 若X B n p 则EX np 4 超几何分布 五 性质 1 若Y aX b a b常数 则E aX b aE X b 10 小练习 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者 若用随机变量x表示选出的志愿者中女生的人数 则x的数学期望是 结果用最简分数表示 11 变式 一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球 从中任取4个 求其中所含白球个数的期望 E X 2 12 例3 甲乙比赛时 甲每局赢的概率是P 0 51 乙每局赢的概率是q 0 49 甲乙一共进行了10次比赛 当各次比赛的结果是相互独立的 计算甲平均赢多少局 乙平均赢多少局 解 用X表示10局中甲赢的次数 则X服从二项分布B 10 0 51 E X 10 0 51 5 1所以甲平均赢5 1局用Y表示10局中乙赢的次数 则Y服从二项分布B 10 0 49 E Y 10 0 49 4 9所以乙平均赢4 9局 13 例4 袋中有3个红球 7个白球 从中无放回地任取5个 取到几个红球就得几分 问平均得几分 解 用X表示得分数 则X也是取到的红球数 X服从超几何分布H 10 3 5 于是EX n M N 5 3 10 1 5所以平均得到了1 5分 14 互动练习 第一层 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 E 7 5 则a b 2 4 0 4 7 2 若 2 1 则E 5 8 E 7 5 则a b 0 4 0 1 15 1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球1次的得分 的期望为 互动练习 第二层 0 7 变式 若该运动员在某次比赛中罚球n次 求他罚球的得分X的均值 16 数学期望小结 EX表示X所表示的随机变量的均值 EX x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X的均值或数学期望