（新课标）2020版高考数学总复习 第十章 第三节 几何概型练习 文 新人教A版.docx

第三节几何概型A组基础题组1.(2019湖南益阳、湘潭调研)若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于()A.132B.78C.38D.18答案D设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为正方形的周长为16,CM+CN=2,所以AE的长度大于5的概率为216=18,故选D.2.(2018湖南郴州第二次教学质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为()A.8B.16C.1-8D.1-16答案C正方形的面积为82=64,内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为42-22-412=8,所以黑色区域的面积为64-8,所以在正方形图案上随机取一点,该点取自黑色区域的概率P=64-864=1-8,故选C.3.从区间0,1内随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案C如图,数对(xi,yi)(i=1,2,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分,不包括弧AC)内,则由几何概型的概率公式可得mn=1412=4mn.故选C.4.(2019河南正阳模拟)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在-1,1上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A.12B.2-22C.3-33D.2-32答案C圆C:x2+y2=1的圆心C(0,0),半径r=1,圆心到直线l:y=k(x+2)的距离d=|0k-0+2k|k2+(-1)2=2|k|k2+1,直线l与圆C相离时dr,即2|k|k2+11,解得k33,故所求的概率P=21-331-(-1)=3-33.5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数y=3sin6x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示),其中小圆的半径均为1,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为.答案118解析函数y=3sin6x的图象与x轴相交于点(0,0),(6,0)和点(-6,0),则大圆的半径为6,面积为36,而小圆的半径为1,两个小圆的面积和为2,所以所求的概率是236=118.6.如图所示,OA=1,在以O为圆心,OA为半径的半圆弧上随机取一点B,则AOB的面积小于14的概率为.答案13解析OA=1,若AOB的面积小于14,则1211sinAOB14,sinAOB12,0AOB6或56AOB,AOB的面积小于14的概率为13.7.(2018河北唐山五校联考)向圆(x-2)2+(y-3)2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率为.答案16-34解析圆(x-2)2+(y-3)2=4与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),设A(1,0),B(3,0),圆心C(2,3),易得三角形ABC是边长为2的正三角形,所以圆(x-2)2+(y-3)2=4在x轴下方的面积为46-3=23-3,则该点落在x轴下方的概率P=23-34=16-34.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取一点M.(1)求四棱锥M-ABCD的体积小于16的概率;(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率.解析(1)设四棱锥M-ABCD的高为h,令13S四边形ABCDh=16,S四边形ABCD=1,h=12.若四棱锥M-ABCD的体积小于16,则h12,即点M在正方体的下半部分,P=12V正方体V正方体=12.(2)V三棱柱=12121=12,所求概率P1=V三棱柱V正方体=12.9.已知向量a=(2,1),b=(x,y).(1)若x-1,0,1,2,y-1,0,1,求向量ab的概率;(2)若x-1,2,y-1,1,求向量a,b的夹角是钝角的概率.解析(1)设“ab”为事件A,由ab,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A=(0,0),(2,1),包含2个基本事件.则P(A)=212=16,即向量ab的概率为16.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得ab0,即2x+y0,且x2y.基本事件为(x,y)-1x2-1y1所表示的区域,B=(x,y)-1x2-1y12x+y(a-b)2恒成立”发生的概率.解析(1)依题意得nn+2=12,所以n=2.(2)(i)记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12种,其中满足“a+b=2”的有4种:(s,k),(s,h),(k,s),(h,s).所以所求概率P(A)=412=13.(ii)记“x2+y2(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y24恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域=(x,y)|0x2,0y2,x,yR,而事件B构成的区域B=(x,y)|x2+y24,(x,y),所以所求的概率P(B)=22-142222=1-4.4.已知关于x的二次函数f(x)=b2x2-(a+1)x+1.(1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次向上一面出现的点数,求y=f(x)恰有一个零点的概率;(2)若a,b1,6,求y=f(x)有零点的概率.解析(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(6,5),(6,6),共36个.用A表示事件“y=f(x)恰有一个零点”,令=-(a+1)2-4b2=0,则a+1=2b,则A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个,所以P(A)=336=112.所以事件“y=f(x)恰有一个零点”发生的概率为