4东南大学自动化934复试资料 3重点习题 自控课本 自控课件经典部分 2013AC_chap2sall_p

1 Course 自动控制原理 I Instructor 李世华 School of Automation Southeast university Any comments please feel free to contact me 中心楼608 E mail lsh Tel 83793785 o Chap 2 控制系统的数学描述 2 1 引言 从系统学的角度看 自动控制系统是信号传递和转 换的过程 数学模型 Mathematical Model 用来描述系统中各 种信号 或变量 的传递和转换关系的数学表达式 1 建立数学模型的意义 1 使我们得以暂时离开系统的物理特性 在一般意 义下研究控制系统的普遍规律 2 从定性的认识上升 数学定量的精确认识 严谨的 分析 离心调节器 2 1 引言 2 数学模型分类 1 按系统运动特性分为 动态数学模型 描述系统动态过程 未 至平衡状态前 规律的数学模型 调压温控例子 静态数学模型 描述系统稳态过程 平 衡状态 规律的数学模型 调压温控例子 2 数学模型分类 统计建模 统计模型 黑箱或灰箱建模 根据系统的输入 输出 Input Output I O 的实验测试数据 利用统计学的方 法建立的数学模型 优点 避免机理建模的困难 能以一定的精确度描述原系 统的变化情况 适合于系统控制与预测 通用性好 缺点 模型中的参数没有明确的物理意义 机理建模 机理模型 白箱建模 根据系统本身的运动规 律 物理 化学等 来建模 优点 方程式中每个系数都具有其明确的物理意义 缺点 一般系统的运动规律很复杂 常常是非线性的 简 化会导致模型精度降低 参数物理意义变含糊 通用性差 2 按照建立数学模型的方法分为 2 数学模型分类 3 按照描述数学模型的工具分为 时域 Time Domain TD 模型 微分方程或 差分方程描述的数学模型 优点 有效的数学分析工具多 性质 TD model FD model 复域 频域 Frequency Domain FD 模型 利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换后 得到的模型 优点 可从工程上测试得到 2 数学模型分类 4 按照描述变量的不同分为 输入输出I O模型 描述系统输入量和输出量之间关系的 数学模型 优点 模型简单 易于分析 缺点 系统内部其它变量之间的关系和运动规律没有建模 状态空间 State Space SS 模型 描述系统输入 量 输出量和状态量之间关系的数学模型 优点 描述系统所有变化规律 缺点 较复杂 矩阵分析理论等 性质 I O model 一定条件下 SS model 平面刚体运动方程 2 2 1 引言 3 建立数学模型的原则 兼顾模型的精确度 模型分析和设计的复杂度 和控制系统 精度 与模型精确度密切相关 两者之间的折中 在此基础上考虑模型的种类 即建立何种模型 常用手段 一定范围和前提条件下进行理想化的假设 例如电子放大器可看成理想的线性放大环节 忽略掉它的 非线性成份 电子放大器的工作范围不不超出其线性区 通信卫星 轨道控制 可以看成一个质点来建模 而不考虑其 形状和质量分布 在卫星的姿态控制中则不行 不行 要考虑其 天线和太阳能帆板的柔性体特性 非线性 时变 分布参数 线性 定常 集中参数 2 1 引言 4 时域模型的数学建模的通常步骤 1 建立物理模型 要作一些理想化的假设 2 列写原始方程 物理定律 牛顿定律 基尔霍夫电流和电压定律 能量守恒定律等 3 选定系统的输入量 输出量以及状态变量 仅 在建立SS模型时要求 消去中间变量 建立适 当的I O模型或SS模型 注 不同输入输出量模型不同 注 不同输入输出量模型不同 2 2 列写输入 输出 I O 运动方程 Chap 2 控制系统的数学描述 2 2 1 机械系统 三种理想化的要素 质量 弹簧 阻尼器 质量 弹簧 阻尼器 阻尼器阻尼器 机械表面在滑动接触中运转 则物理系统存在摩擦 2 2 1 机械系统 1 静摩擦力 两个接触表面之间开始运动所需摩擦力 a F v b F v c c F v f 2 库仑摩擦力 干表面之间的摩擦力 基本恒定 3 粘性摩擦力粘性摩擦力 物体在润滑介质 空气 水 油等 中运动时的粘滞阻尼 液压阻尼器 液压传动系统元件 阻尼器的作用 好 坏 有时为改善系统动态响应 人为引入 抗地震 质量与惯量要素 力与加速度力矩与角加速度 线性 弹性要素 注 弹性要素力的作用点注 弹性要素力的作用点 3 阻尼 要素 弹性 力 力矩 与位移差正比 阻尼 力 力矩 与速度差正比 2 2 1 机械系统 k F t M 图2 1 带阻尼的质量弹簧系统 tx f 例2 1 带阻尼的质量弹簧系统 F 弹簧形变力 质点运动力 阻尼力 2 2 0 0 d xdx F tk xMf dtdt 1945 Bode 优点 1 通过 优点 1 通过开环频率特性曲线开环频率特性曲线图形 直接在频域 对系 统进行稳定性分析和设计 形象直观 计算量少的 特点 2 频率特性具有明确的 图形 直接在频域 对系 统进行稳定性分析和设计 形象直观 计算量少的 特点 2 频率特性具有明确的物理意义 物理意义 3 系统的频率特性可通过 3 系统的频率特性可通过实验方法实验方法直接测出 不 必通过时域建模 直接测出 不 必通过时域建模 适用范围更广适用范围更广 机理建模和难以 机理建模系统 机理建模和难以 机理建模系统 2 5 频率特性函数2 5 频率特性函数 2 5 1 频率特性函数的定义 n阶LTI linear time invariant 系统 2 5 频率特性函数2 5 频率特性函数 0101 tub dt tdu b dt tud btya dt tdy a dt tyd a m m m n n n LL Y s G s U s 01 01 asasa bsbsb n n m m L L sin tAtu 22 s A su 22 1 1 1 1 1 10 s A asasas bsbsbsb sUsGsY nn nn mm mm L L sin cossin tBtCtCty ba 稳定 n i tp iba i eCtCtCty 1 cossin 频率响应频率响应 2 5 1 频率特性函数的定义 10 10 m m nsj n bjb jb G jG s aja ja L L 输出稳态解Y 输入信号U 01 01 asasa bsbsb sG n n m m L L 性质 1 与输入正弦信号的幅值及相角均无关的复变函数 2 输出幅值与角频率有关 输出相角与角频率有关 定义 定义 U Y jGF UYjGjG argarg arg 幅频特性函数 相频特性函数 可由实验 测试得到 13 2 5 1 频率特性函数的定义 三种模型之间的等价关系 三种模型之间的等价关系 系统 频率特性函数传递函数 微分方程 dt d s js j dt d 2 5 1 频率特性函数的定义 例2 13 RC网络的频率特性 P 43 例2 13 RC网络的频率特性 P 43 R C tu ty sin tAtu 1 1 1 jRC A cj R cj UY sin tBtys arctgRC RC A B 1 2 1 1 jRCU Y jG arctgRCjG RC jG 1 1 2 2 5 2 频率特性的图示方法 2 5 频率特性函数2 5 频率特性函数 一 极坐标频率特性图 奈奎斯特Nyquist图 将角频率 当成参量 在极坐标图上绘出G j 随0 变化的图 形 该图称作频率特性的奈奎斯特 将角频率 当成参量 在极坐标图上绘出G j 随0 变化的图 形 该图称作频率特性的奈奎斯特 Nyquist 图 图 jYXjG jGjG j eF 画法1 根据X 和Y 画X 和Y 画 画法2 根据 G 和 argG j 画 和 argG j 画 2 5 2 频率特性的图示方法 Nyquist图画法 画法1 根据X 和Y 画X 和Y 画 5 0 1 1 2 RC arctgRCjG RC jG Re 100 5 Im 0 100 10 5 3 2 1 1 X 1 Y 1 jG 1 argjG 画法2 根据 G 和argG j 画 和argG j 画 jGjG 2 5 2 频率特性的图示方法 Nyquist图画法 画法3 根据X 和Y 几何关系确定图形X 和Y 几何关系确定图形 5 0 1 1 2 RCT arctgRCjG RC jG Re 100 5 Im 0 100 10 5 3 2 1 1 X 1 Y 1 jG 1 argjG jGjG 2222 1 1 1 T T Y T X XYX 22 222 2 1 2 1 YX 2 5 2 频率特性的图示方法 二 对数坐标频率特性图 伯德Bode图 一张图上把幅频特性和相频特性分别画成两条曲线 这两条曲线分别称 为对数幅频特性和对数相频特性 统称为对数频率特性 一张图上把幅频特性和相频特性分别画成两条曲线 这两条曲线分别称 为对数幅频特性和对数相频特性 统称为对数频率特性 横坐标按lg 均匀分度 标以 即对标出值 取对数分度 单位是 弧度 秒 可记作rad s 0 1 0 2 0 4 0 8 1 2 4 8 10 100 1012 十倍频程 分度值 标出值 lg Q 在对数坐标频率特性图上能精确标注 0 0点的特性吗 点的特性吗 1 10 lglg10lg 0 0 00 14 Bode图 对数幅频特性图的纵坐标按20lg G j 均匀分度 单位是分贝 记 作dB 通常以L 20lg G j 代表纵坐标 1贝尔等于20分贝 对数幅频特性的纵坐标按对数分度的原因是为了将乘法变成加法 21 jGjGjGjG n L lg20 lg20 lg20 21 jGjGjGL lg20 jGn L 21 n LLL L 对数幅频特性的纵坐标按对数标注 10 110100 20 10 dB 0 L srad Bode图 对数相频特性图的横坐标同对数幅频特性 纵坐标按argG j 分度 和标准 arg arg arg arg 21 jGjGjGjG n L 21 n L 0 90 180 110100 srad 例2 14 惯性环节Bode图 T 1s 22 1 1 1 1 1 Tjtg e T Tj jG 22 22 1lg20 1 1 lg20 T T L arg 1 TtgjG L 45 90 0 1 T lg20 L 01lg20lg20 T c 1 1 T c 转折频率 01 311lg20 L 2 5 3 基本环节的频率特性 2 5 频率特性函数2 5 频率特性函数 一 放大 比例 P 环节 KsG 0 j G jKe KjGA o 0 arg jG 20lg 20lgLG jK Im Re 0 dB 20lgk k a b L 0 2 5 3 基本环节的频率特性 二 积分 I 环节 s sG 1 2 11 j e j jG o 90 2 1 A 1 20lg 20lg20lgLA Im Re0 dB a b 40 20 20 0 11 110 20dB dec 0 0 L 0 90 2 5 3 基本环节的频率特性 三 微分 D 环节 ssG 2 j ejG o 90 A lg20 lg20 AL dB b 40 20 20 0 11 110 0 20dB dec L o 90 o 0 Im Re 0 a 0 15 2 5 3 基本环节的频率特性 四 惯性环节 22 1 1 1 1 1 Tjtg e T Tj jG 22 22 1lg20 1 1 lg20 T T L arg 1 TtgjG Re 10 0 5 T 0 T 100 T 10 T 5 T 3 T 2 T 1 T 转折频率转折频率 2 5 3 基本环节的频率特性 五 一阶微分环节 1 TssG Tjtg eTTjjG 1 11 22 TtgjG 1 arg 1 22 TjGA Re Im 0 a 0 A 1 惯性环节惯性环节 dB dB 一阶微分环节一阶微分环节 20dB dec 20dB dec 20 20 0 1 1 10 20dB dec 20dB dec 20 20 0 1 1 10 一阶微分环节一阶微分环节 0 1 110 0 1 110 惯性环节惯性环节 b b L T 90 0 90 T 转折频率转折频率 2 5 3 基本环节的频率特性 六 振荡环节 12 1 2 2 222 2 nn nn n ssss sG 01 不存在谐振峰值 707 00 0 nr r M 90 r 存在谐振峰值 2 1 1 arg 2 n n jctg 振荡环节的频率特性 nn j jG 2 1 1 2 222 2 1 lg20 lg20 nn AL 1 n 0 40dB dec L n n r 90 0 180 707 0 转折频率转折频率 2 1 1 arg 2 n n jctg 2 5 3 基本环节的频率特性 七 二阶微分环节 100 系统的频率响应是指什么 频率特性函数是如何定义的 s e 2 22 2 n nn ss 2 5 4 复杂频率特性图的绘制 2 5 频率特性函数2 5 频率特性函数 一 Nyquist图的绘制 1 串联系统 cascaded system 210 sGsGsGsG n L arg arg 10 jGj n jGj n ejGejGjGL 210 jGjGjGjGA n L arg arg arg arg 210 jGjGjGjG n L 2 5 4 复杂频率特性图的绘制 一 Nyquist图的绘制 2 一般系统 01 1 1 01 1 1 0 ajajaja bjbjbjb jG n n n n m m m m L L nm 1 1 1 1 1 1 21 21 n m TjTjTjj jjjK L L v 0 O型系统 v 1 型系统 v 2 型系统 v 0 O型系统 v 1 型系统 v 2 型系统 0 0b 2 5 4 复杂频率特性图的绘制 一 Nyquist图的绘制 2 一般系统 nm 1 1 1 1 1 1 21 21 0 n m TjTjTjj jjjK jG L L 1 低频段 低频段 0 0 2 0 j e K j K jG Im 0 型 型 O型 k a 0 1 s s 2 5 4 复杂频率特性图的绘制 2 一般系统 nm 1 1 1 1 1 1 21 21 0 n m TjTjTjj jjjK jG L L 1 低频段 低频段 0 0 2 0 j e K j K jG 1 1 2 0 Tj j j K jG Im 0 b T T 1arg 1arg 0 0 jG o 90 arg 0 mnjG mn n m TTT K jG L L 21 21 终止于实轴上的有限点 Im Re 0 n m 1 n m 3 n m 2 c 2 5 4 复杂频率特性图的绘制 2 一般系统 nm 1 1 1 1 1 1 21 21 0 n m TjTjTjj jjjK jG L L 3 与负实轴的交点 频域稳定性判据要求 3 与负实轴的交点 频域稳定性判据要求 0 Im 0 x jG 0 arg x Gjnn 为奇数 OR Im 0 x 2 5 4 复杂频率特性图的绘制 二 Bode图的绘制 串联系统 cascaded system 210 sGsGsGsG n L arg arg arg arg 210 jGjGjGjG n L lg20 lg20 lg20 21 jGjGjGL n L 21 n LLL L 二 Bode图的绘制 例2 16 试画出开环系统的大致对数频率特性图 1 1 0 Ts sK sG T 开环系统 比例环节 惯性环节 一阶微分环节 321 LLLL 1 lg20 1 1 lg20lg20 2 2 T K 321 11 0 tgTtg o 二 Bode图的绘制 例2 16 试画出开环系统的大致对数频率特性图 1 1 0 Ts sK sG T 0 0 最小 相位系统的相位滞后总小于非最小相位系统 s s j j 为开环无限为开环无限零点零点 无穷个 位于 无穷个 位于右右半平面半平面 s s j j 为开环无限为开环无限极点极点 无穷个 位于 无穷个 位于左左半平面半平面 minimum phase system sT Ts sG sT Ts sG 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0TT 1 2 1 1 1 1 1 1 Tj Tj jG Tj Tj jG 2 1 2 22 21 1 1 T T jGjG 0 arg arg 21 1 11 21 11 1 arg argTtgTtgjGTtgTtgjG minimum phase system sT Ts sG sT Ts sG 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0TT 1 T 1 T1 1 T1 1 TReRe ImIm 00 a b a 最小相位系统 b 非最小相位系统 90 0 180 最小相位系统的对数幅频特性与 对数相频特性具有一一对应关系 若已知为最小相位 则根据幅频 曲线可惟一确定传函 相频 若已知为最小相位 则根据幅频 曲线可惟一确定传函 相频 minimum phase system 0 0 5 20dB 2 20dB dec dB L 例2 18 最小相位系统的渐近对数幅频特性如图所示 试写出系统传递函数 20lg20lg20lg20 22 TK 0型系统 5 0 1 2 1 1 T 2 2 5 02 1 12 15 0 0 s sK sG 12 15 0 4 0 0 s s sG 20 5 0 2 lg20lg20 K Q 若不知道系统是否最小相位 传函是什么 2 6 采样控制系统的数学描述2 6 采样控制系统的数学描述 2 6 1 采样控制系统2 6 1 采样控制系统 Chap 2 控制系统的数学描述 1 sT e p s p s 1 K 1 sT e p sp s 1 K 给定量 te te 采样器 Motivation 19 2 6 1 采样控制系统2 6 1 采样控制系统 o tot te te T2T3T a b 2 6 1 采样控制系统2 6 1 采样控制系统 采样控制系统 系统存在为时间的离散函数的信号 离散 给定量 离散 误差量 数字 控制器 数模转换 D A 被控对象 被控量 模数转换 A D 测量及 变换 离散 给定量 离散 误差量 数字 控制器 数模转换 D A 被控对象 被控量 模数转换 A D 测量及 变换 数字控制系统的优点 2 6 1 采样控制系统2 6 1 采样控制系统 A D转换器 Analog Digital Converter 采样 量化 编码 t x t x a b c o o 9 29 39 49 59 tt t TT2T3T4T T2T3 T4 tx 连续模拟量 离散模拟量 数字量 2 6 1 采样控制系统2 6 1 采样控制系统 D A转换器 Digital Analog Converter 解码 保持 t x a o TT2T3T4T5t tx T T2T3T4T5 t 2 6 1 采样控制系统2 6 1 采样控制系统 不同名称 采样控制系统 脉冲控制系统 数字控制系统 计算机控制系统 2 6 采样控制系统的数学描述2 6 采样控制系统的数学描述 2 6 2 信号采样与恢复 1 采样器 连续信号 离散信号的装置 o tx tx tx a b tx o tt T T 2 2 m m OR f OR fS S 2f 2fm m 采样周期必须满足 T TS S m m O O ms b 2 s 2 s 2 s x Fj ms c 2 O Om m x Fj 2 6 2 信号采样与恢复 2 保持器 离散 连续信号的滤波器装置 零阶保持器 Zero Order Holder ZOH TktkTkTeteh 1 TktkTkTt T TkekTe kTeteh 1 1 一阶保持器 高阶保持器 ZOH TktkTkTeteh 1 t x tx b a tt ZOH 21 ZOH TktkTkTeteh 1 1 1 Ttttgh 1 111 TsTs h e s e ss sG 2 2 2 2 sin 1 2 1 2 j Tj T j Tj Tj T h T ee GjeeTe T jj jGh s s 3 s 2 T 零阶保持器相当于一 个近似的带宽为 S S 的低通滤波器 2 6 采样控制系统的数学描述2 6 采样控制系统的数学描述 2 6 3 采样系统的差分方程描述 连续系统连续系统 微分方程微分方程 卷积积分卷积积分 拉氏变换拉氏变换 连续傅立叶变换连续傅立叶变换 卷积定理卷积定理 离散系统离散系统 差分方程差分方程 卷积和卷积和 Z变换Z变换 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 卷积定理卷积定理 2 6 3 采样系统的差分方程描述 tY ZOH te T he te S A sG tu TktkTkTeteh 1 TktkT kTtkTAekTyty 1 1 1 kTATukTyAT kTATekTyTky 44443444421 44 344 21 M 零状态响应 零输入响应 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 k i ikk iTuATATyATkTy TATuATuATyAT TATuATuyATAT TATuTyATTy ATuyATTy 仅是实际输出量 在采样瞬时的值 仅是实际输出量 在采样瞬时的值 2 6 3 采样系统的差分方程描述 nmkubmkubmkub kyankyanky m n 1 1 10 1 L L nmmkubkubkub nkyakyaky m n 1 1 10 1 L L 前向差分方程 隐去T 后向差分方程 Z变换 1 Z变换 单边 0 k kTtkTxtx 0 k k zkTxtxZzX 0 0 00 k stskT kk XsL x tLx kTtkT x kTtkT edtx kT e sT ze Z变换 1 1 1 00 1 Z变换时暂不考虑收敛区域的问题 表述时可以看成Z变换作用于连续信号 X z Z x k Z x t 22 1 Z变换 1 ttx 1 1 21 0 z z zzzkTxzX k k L 0 tttx 2 21 321 0 1 1 1 32 z Tz dz z z d Tz dz zzzd Tz kzzzzT zkTxzX k k k k LL LL Z变换 0 tetx at aTaT kk kaTkakT ez z ze zezezX 1 00 1 1 1 1 1 ss sX t etsXLtx 1 1 1 1 1 1 T T T t ezz ez ez z z z etzX 附表1 P 483 Z变换 2 Z变换的性质 1 线性性质 212121 zbXzaXtbxtaxtbxtax 2 正负位移定理 3 初值定理 1 0 n nn i i x knz X zzx i 1 0 n ni i x knzX zz x in lim 0 zXx z 1 lim lim 1 zXztxx zt 4 终值定理 若终值存在 2 Z变换的性质 5 卷积性质 6 乘以kn 7 乘以ak k m mumkx 0 zUzX kxk n zX dz d z n 1z aX Z变换 3 Z反变换 1 长除法 2 部分分式展开法 3 反演积分法 留数法 1 长除法长除法 45 10 2 zz z zX x k L 321 32 321 21 21 1 1 2 2105010 840850 8401050210 200210 20025050 4050 405010 1045 zzz zz zzz zz zz z zz zzz x k 0 10 50 210 x t 10 t T 50 t 2T 210 t 3T 23 2 部分分式展开法部分分式展开法 45 10 2 zz z zX x k 4 3 10 1 3 10 4 1 10 45 10 2 zzzzzzz zX 4 3 10 1 3 10 z z z z zX L 2 1 0 14 3 10 4 3 10 1 3 10 kkkx kk Z反变换只能求出x t 而不能唯一确定连续变量 x t Z变换 4 用Z变换解差分方程 0 2 6 1 5 kkukykyky 1 1 0 0 yy 1 ku Q 能否用负位移定理求解 Example 后向方程 0 2 6 1 5 kkukykyky 1 1 0 0 yy 1 ku 0 2 6 1 5 2 kkukykyky 1 0 6 0 5 1 0 22 22 zuuzzUz zYzyzzYzyyzzYz 3 5 1 2 2 1 5 0 3 2 1 2 z z z z z z zzz z zY 0 35 125 0 1 kky kk 2 6 采样控制系统的数学描述2 6 采样控制系统的数学描述 2 6 4 脉冲传递函数 1 线性离散系统 nmmkubkubkub nkyakyaky m n 1 1 10 1 L L 1 10 1 1 zUzbzUzbzUb zYzazYzazY m m n n L L 不考 虑初 值问 题 1 1 1 1 10 zG zaza zbzbb zU zY n n m m L L 脉冲传递函数 后向 1 线性离散系统 1 10 1 1 zUbzUzbzUbz zYazYzazYz m mm n nn L L 不考 虑初 值问 题 1 1 1 1 10 1 1 1 10 zG zaza zbzbb z azaz bzbbz zU zY n n m m mn n nn m mm L L L L 脉冲传递函数 前向 nmkubmkubmkub kyankyanky m n 1 1 10 1 L L 2 6 4 脉冲传递函数 2 数字采样系统 sG ty tu T tu t y 假设系统初始条件为零 0 0 k k kTtkTuZ kTtkTyZ tuZ tyZ zU zY zG 1 1 sGLtg zY zG 输入为单位脉冲函数时 24 2 数字采样系统 Example 1