辽宁省鞍山市高三数学一模试卷 文（含解析）.doc

2016年辽宁省鞍山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设u=r，集合m=1，1，2，n=x|1x2，则nm=（）a1，2b1c2d1，1，22复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）aibic1d13抛物线y=2x2的焦点坐标是（）a（，0）b（0，）c（0，）d（，0）4给出下列四个命题：若命题“若p则q”为真命题，则命题“若q则p”也是真命题直线a平面的充要条件是：直线a平面“a=1”是“直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；若命题p：“xr，x2x10“，则命题p的否定为：“xr，x2x10”其中真命题的个数是（）a0b1c2d35已知mod函数是一个求余数的函数，其格式为mod（n，m），其结果为n除以m的余数，例如mod（8，3）=2如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结果为（）a4b5c6d76设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sn+2sn=36，则n=（）a5b6c7d87某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x24568y2535m5575a50b55c60d658已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）abcd9在三棱锥sabc中，侧棱sc平面abc，sabc，sc=1，ac=2，bc=3，则此三棱锥的外接球的表面积为（）a14b12c10d810双曲线c1：=1（a0，b0）与抛物线c2：y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰过它们公共焦点f，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）a（，）b（，）c（，）d（0，）11已知点g是abc的外心，是三个单位向量，且2+=，如图所示，abc的顶点b，c分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，o是坐标原点，则|的最大值为（）abc2d312已知函数y=f（x）在r上的导函数f（x），xr都有f（x）x，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围为（）a2，2b2，+）c0，+）d（，22，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在区间5，5内随机四取出一个实数a，则a（0，1）的概率为14已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为15数列an的通项公式为an=n2kn，若对一切的nn*不等式ana3，则实数k的取值范围16已知函数y=f（x）的定义域为r，当x0时，f（x）1，且对任意的x，yr都有f（x+y）=f（x）f（y），则不等式f（logx）的解集为三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c对边分别为a，b，c，若bcosa+acosb=2ccosc（）求角c的大小；（）若a+b=6，且abc的面积为2，求边c的长18某中学共有1000名学生参加考试，成绩如表：成绩分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150）人数6090300x160（1）为了了解同学们的具体情况，学校将采取分层抽样的方法，抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中成绩为95分，求他被抽中的概率（2）本次数学成绩的优秀成绩为110分，试估计该中学达到优秀线的人数（3）作出频率分布直方图，并据此估计该校本次考试的平均分（用同一组中得到数据用该组区间的中点值作代表）19如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，dab是直角，abcd，ad=cd=2ab=2，e、f分别为pc、cd的中点（）试证：ab平面bef；（）若vcbef=1，求pa的长20已知椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为f（1，0），且过点（，）过f作直线l与椭圆c交于不同的两点a，b，设=，2，1，t（2，0）（）求椭圆c的标准方程；（）求|+|的取值范围21已知函数f（x）=ax+lnx（a0）（1）若当x1，e时，函数f（x）的最大值为3，求a的值；（2）设g（x）=f（x）+f（x）（f（x）为函数f（x）的导函数），若函数g（x）在（0，+）上是单调函数，求a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，直线ab经过o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，o交直线ob于e、d，连接ec、cd（1）求证：直线ab是o的切线；（2）若tanced=，o的半径为3，求oa的长选修4-4：坐标系与参数方程23直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的方程为=4cos，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线c的公共点为t（1）求点t的极坐标；（2）过点t作直线l1，若l1被曲线c截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2xa|+2a（）若不等式f（x）6的解集为x|6x4，求实数a的值；（）在（i）的条件下，若不等式f（x）（k21）x5的解集非空，求实数k的取值范围2016年辽宁省鞍山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设u=r，集合m=1，1，2，n=x|1x2，则nm=（）a1，2b1c2d1，1，2【考点】交集及其运算【分析】由m与n，求出两集合的交集即可【解答】解：m=1，1，2，n=x|1x2，mn=1，故选：b2复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）aibic1d1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数除法运算化简，可得虚部【解答】解：复数z=1i，则复数z的虚部是1，故选：d3抛物线y=2x2的焦点坐标是（）a（，0）b（0，）c（0，）d（，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】把抛物线y=2x2化为标准方程，求出 p值，确定开口方向，从而得到焦点的坐标【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为，p=，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0， ），故选 b4给出下列四个命题：若命题“若p则q”为真命题，则命题“若q则p”也是真命题直线a平面的充要条件是：直线a平面“a=1”是“直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；若命题p：“xr，x2x10“，则命题p的否定为：“xr，x2x10”其中真命题的个数是（）a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据逆否命题的等价性进行判断，根据线面平行的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断，根据直线垂直的等价条件进行判断，根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：若命题“若p则q”为真命题，则命题的逆否命题“若q则p”也是真命题，故正确，若直线a平面，则直线a平面，充分性成立，若a=a，满足a平面，但直线a平面不成立，即必要性不成立，故直线a平面的充要条件是：直线a平面错误，故错误，直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直，则1a2=0，即a=1，则“a=1”是“直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故错误，若命题p：“xr，x2x10“，则命题p的否定为：“xr，x2x10”，故正确，故选：c5已知mod函数是一个求余数的函数，其格式为mod（n，m），其结果为n除以m的余数，例如mod（8，3）=2如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结果为（）a4b5c6d7【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算mod（n，i）的值，当i=5，mod（25，5）=0，满足条件mod（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=25，i=2，mod（25，2）=1，不满足条件mod（25，2）=0，i=3，mod（25，3）=1，不满足条件mod（25，3）=0，i=4，mod（25，4）=1，不满足条件mod（25，4）=0，i=5，mod（25，5）=0，满足条件mod（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5故选：b6设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sn+2sn=36，则n=（）a5b6c7d8【考点】等差数列的性质【分析】由sn+2sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n【解答】解：由sn+2sn=36，得：an+1+an+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，2+2n+2（n+1）=36解得：n=8故选：d7某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x24568y2535m5575a50b55c60d65【考点】线性回归方程【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论【解答】解：由题意， =5， =38+，y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必过样本的中心，38+=8.55+7.5，m=60故选：c8已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）abcd【考点】简单空间图形的三视图【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案【解答】解：锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，a中图形的面积为4，不满足要求；b中图形的面积为，不满足要求；c中图形的面积为2，满足要求；d中图形的面积为，不满足要求；故选：c9在三棱锥sabc中，侧棱sc平面abc，sabc，sc=1，ac=2，bc=3，则此三棱锥的外接球的表面积为（）a14b12c10d8【考点】球的体积和表面积【分析】证明sc，ac，bc两两垂直，将三棱锥sabc扩充为长方体，对角线为三棱锥的外接球的直径，求出对角线长，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：由题意，侧棱sc平面abc，bc平面abc，scbc，sabc，sasc=s，bc平面sac，sc，ac，bc两两垂直，将三棱锥sabc扩充为长方体，则对角线长为=，三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为=14，故选：a10双曲线c1：=1（a0，b0）与抛物线c2：y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰过它们公共焦点f，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）a（，）b（，）c（，）d（0，）【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出a的坐标；将a代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）p=2c点a 是两曲线的一个交点，且afx轴，将x=c代入双曲线方程得到a（c，）将a的坐标代入抛物线方程得到=2pc4a4+4a2b2b4=0解得=双曲线的渐近线的方程为y=x设倾斜角为，则tan=故选：a11已知点g是abc的外心，是三个单位向量，且2+=，如图所示，abc的顶点b，c分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，o是坐标原点，则|的最大值为（）abc2d3【考点】向量的加法及其几何意义【分析】根据题意，得出g是bc的中点，abc是直角三角形，斜边bc=2；点g的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；oa经过bc的中点g时，|取得最大值为2|【解答】解：点g是abc的外心，且2+=，2=+，即=（+）；点g是bc的中点，abc是直角三角形，且bac是直角；又是三个单位向量，bc=2；又abc的顶点b、c分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，可设点g的坐标为（x，y），b（x1，0），c（0，y2），则；又bc=2，即+=4（x10，y20），x2+y2=1（x0，y0），则点g的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；又|=1，oa经过bc的中点g时，|取得最大值，且最大值为2|=2故选：c12已知函数y=f（x）在r上的导函数f（x），xr都有f（x）x，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围为（）a2，2b2，+）c0，+）d（，22，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据构造辅助函数g（x）=f（x）x2，利用导数可得函数g（x）在r上是减函数，f（4m）f（m）84m，即g（4m）g（m），可得 4mm，由此解得a的范围【解答】解：令g（x）=f（x）x2，xrg（x）=f（x）x0，故函数g（x）在（，+）上是减函数，f（4m）f（m）=g（4m）+（4m）2g（m）m2，=g（4m）g（m）+84m84m，g（4m）g（m），4mm，解得：m2，故选：b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在区间5，5内随机四取出一个实数a，则a（0，1）的概率为【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：在区间5，5内随机四取出一个实数a，则a（0，1）的概率p=，故答案为：14已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是a（1，1），b（，），c（2，1），在abc中满足z=2x+y的最大值是点c，代入得最大值等于3故答案为：315数列an的通项公式为an=n2kn，若对一切的nn*不等式ana3，则实数k的取值范围5，7【考点】数列递推式【分析】结合二次函数f（x）=x2kx的性质可得，从而求得【解答】解：数列an的通项公式为an=n2kn，结合二次函数f（x）=x2kx的性质，又f（x）=x2kx的图象的对称轴为x=，故对一切的nn*不等式ana3可化为，即5k7，故答案为：5，716已知函数y=f（x）的定义域为r，当x0时，f（x）1，且对任意的x，yr都有f（x+y）=f（x）f（y），则不等式f（logx）的解集为4，+）【考点】抽象函数及其应用【分析】可令x=1，y=0，代入f（x+y）=f（x）f（y）计算可得f（0）=1，由x0时，f（x）1，可得x0时，0f（x）1，再由单调性的定义，判断f（x）在r上递增，原不等式即为f（logx）f（logx+1）1，运用条件可得2logx+10，运用对数函数的单调性，解不等式可得解集【解答】解：令x=1，y=0，代入f（x+y）=f（x）f（y）中得：f（1）=f（1）f（0），由10，可得f（1）1，可得f（0）=1，当x0时，x0，得f（x）1，令y=x，则x+y=0，代入f（x+y）=f（x）f（y）中得，f（x）f（x）=f（0）=1，即有0f（x）=1设x1x2，则x2x10且f（x2x1）1，f（x1）0，则f（x2）f（x1）=f（x2x1+x1）f（x1）=f（x2x1）f（x1）f（x1）=f（x1）f（x2x1）1，由x2x10，可得f（x2x1）1，即f（x2x1）10，则有f（x2）f（x1）0，即f（x1）f（x2），可得f（x）在r上单调递增f（logx）即为f（logx）f（logx+1）1，由f（0）=1，f（x）f（y）=f（x+y），可得，f（2logx+1）f（0），即为2logx+10，即有logx，解得x4故答案为：4，+）三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c对边分别为a，b，c，若bcosa+acosb=2ccosc（）求角c的大小；（）若a+b=6，且abc的面积为2，求边c的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由已知及正弦定理可得：sinbcosa+sinacosb=2sinccosc，化简可得cosc=，结合c的范围求c的值；（）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值【解答】解：（）由题意知，bcosa+acosb=2ccosc，正弦定理可得sinbcosa+sinacosb=2sinccosc，sin（a+b）=2sinccosc，由a，b，c是三角形内角可知，sin（a+b）=sinc0，cosc=，由0c得，c=；（）a+b=6，a2+b2+2ab=36，abc的面积为2，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b22absinc=202=28，所以c=18某中学共有1000名学生参加考试，成绩如表：成绩分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150）人数6090300x160（1）为了了解同学们的具体情况，学校将采取分层抽样的方法，抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中成绩为95分，求他被抽中的概率（2）本次数学成绩的优秀成绩为110分，试估计该中学达到优秀线的人数（3）作出频率分布直方图，并据此估计该校本次考试的平均分（用同一组中得到数据用该组区间的中点值作代表）【考点】频率分布直方图【分析】（1）根据分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为，即可计算出甲同学被抽到的概率；（2）根据总人数即可计算出x值，从而估计该中学达到优秀线的人数；（3）以频率/组距为纵坐标，组距为横坐标作图出频率分布直方图最后利用平均数的计算公式得出该学校本次考试数学平均分，并用样本的频率分布估计总体分布估计该学校本次考试的数学平均分【解答】解：（1）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为，故甲同学被抽到的概率p=（2）由题意x=1000（60+90+300+160）=390，故估计该中学达到优秀线的人数m=160+390=290（人）（3）频率分布直方图该学校本次考试数学平均分=（6015+9045+30075+390105+160135=90估计该学校本次考试的数学平均分为90分19如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，dab是直角，abcd，ad=cd=2ab=2，e、f分别为pc、cd的中点（）试证：ab平面bef；（）若vcbef=1，求pa的长【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（）欲证ab平面bef，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证ab与平面bef内两相交直线垂直，而abbf根据面面垂直的性质可知abef，满足定理所需条件；（）利用体积公式，结合vcbef=1，求pa的长【解答】（）证明：由已知dfab且dab为直角，故abfd是矩形，从而abbf又pa底面abcd，所以平面pad平面abcd，因为abad，故ab平面pad，所以abpd，在pdc内，e、f分别是pc、cd的中点，efpd，所以abef由此得ab平面bef（）因为vcbef=1，所以=1，所以pa=620已知椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为f（1，0），且过点（，）过f作直线l与椭圆c交于不同的两点a，b，设=，2，1，t（2，0）（）求椭圆c的标准方程；（）求|+|的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（i）椭圆c的右焦点为f（1，0），且过点（，）可得c=1， =1，又a2=b2+c2，联立解得即可得出椭圆的方程（ii）由题意可知：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=ky+1，代入椭圆方程可得：（k2+2）y2+2ky1=0，设点a（x1，y1），b（x2，y2）由=，2，1，可得y1=y2，+2=，可得：， =（k（y1+y2）2，y1+y2），利用数量积运算性质即可得出【解答】解：（i）椭圆c的右焦点为f（1，0），且过点（，）c=1， =1，又a2=b2+c2，联立解得a2=2，b=c=1椭圆的方程为： +y2=1（ii）由题意可知：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=ky+1，代入椭圆方程可得：（k2+2）y2+2ky1=0，设点a（x1，y1），b（x2，y2），则：y1+y2=，y1y2=，2，1，y1=y2，+2=，可得：， =（k（y1+y2）2，y1+y2），=+=16+，|+|21已知函数f（x）=ax+lnx（a0）（1）若当x1，e时，函数f（x）的最大值为3，求a的值；（2）设g（x）=f（x）+f（x）（f（x）为函数f（x）的导函数），若函数g（x）在（0，+）上是单调函数，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求函数的导数，利用当x1，e时，函数f（x）的最大值为3，建立条件关系即可求a的值；（2）求出函数g（x）的表达式，利用函数g（x）在（0，+）上是单调函数，得到g（x）0恒成立，即可得到结论【解答】解：（1）由可得函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，当时，f（x）取最大值，当，即a1时，函数f（x）在1，e上单调递减，f（x）max=f（1）=3，解得a=3；当，即时，解得a=e21，与矛盾，不合舍去；当，即时，函数f（x）在1，e上单调递增，f（x）max=f（e）=3，解得，与矛盾，不合舍去；综上得a=3（2）解法一：，显然，对于x（0，+），g（x）0不可能恒成立，函数g（x）在（0，+）上不是单调递增函数，若函数g（x）在（0，+）上是单调递减函数，则g（x）0对于x（0，+）恒成立，解得，综上得若函数g（x）在（0，+）上是单调函数，则解法二：，令ax2+x1=0（*）方程（*）的根判别式=1+4a，当0，即时，在（0，+）上恒有g（x）0，即当时，函数g（x）在（0，+）上是单调递减；当0，即时，方程（*）有两个不相等的实数根：，当x1xx2时g（x）0，当xx2或0xx1时，g（x）0，即函数g（x）在（x1，x2）单调递增，在（0，x1）或（x2，+）上单调递减，函数g（x）在（0，+）上不单调，综上得若函数g（x）在（0，+）上是单调函数，则请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，直线ab经过o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，o交直线ob于e、d，连接ec、cd（1）求证：直线ab是o的切线；（2）若tanced=，o的半径为3，求oa的长【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程【分析】（1）要想证ab是o的切线，只要连接oc，求证aco=90即可；（2）先由三角形判定定理可知，bcdbec，得bd与bc的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出oa的长【解答】解：（1）如图，连接oc，oa=ob，ca=cb，ocab