辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1已知集合a=x|x23x+2=0，b=x|logx4=2，则ab=（）a2，1，2 b1，2 c2，2 d22若复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）a3 b3或1 c3或1 d13已知向量=（1，3），=（2，m），若与垂直，则m的值为（）a1 b1 c d4直线x+（a2+1）y+1=0（ar）的倾斜角的取值范围是（）a0，b，） c0，（，） d，），）5若数列an的通项公式是an=（1）n（3n2），则a1+a2+a10=（）a15 b12 c12 d156已知四棱锥pabcd的三视图如图所示，则四棱锥pabcd的四个侧面中面积最大的是（）a6 b8 c d37如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框处应填入的条件是（）an2 bn3 cn4 dn58已知集合a=1，2，3，4，b=5，6，7，c=8，9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）a24个 b36个 c26个 d27个9如图，已知点p（2，0），正方形abcd内接于o：x2+y2=2，m、n分别为边ab、bc的中点，当正方形abcd绕圆心o旋转时， 的取值范围是（）a1，1b，c2，2d，10已知双曲线：=1，左右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交双曲线左支于a，b两点，则|+|的最小值为（）a b11 c12 d1611已知球o半径为，设s、a、b、c是球面上四个点，其中abc=120，ab=bc=2，平面sac平面abc，则棱锥sabc的体积的最大值为（）a b c d312已知函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，则方程gf（x）a=0（a为正实数）的根的个数不可能为（）a3个 b4个 c5个 d6个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是14在（x2）5的二项展开式中，x的一次项系数是10，则实数a的值为15设m表示不超过实数m的最大整数，则在直角坐标平面xoy上，则满足x2+y2=50的点p（x，y）所成的图形面积为16定义区间（c，d）、（c，d、c，d）、c，d的长度均为dc（dc），己知实数p0，则满足不等式+1的x构成的区间长度之和为三、解答题（本大题共5小题，共60分）17已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xr）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设abc的内角a，b，c的对应边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（2，sinb）共线，求a，b的值18某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试（）求该学生考上大学的概率（）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求变量的分布列及数学期望e19如图，在长方形abcd中，ab=2，ad=1，e为dc的中点，现将dae沿ae折起，使平面dae平面abce，连接db，dc，be（1）求证：be平面ade；（2）求二面角ebdc的余弦值20已知f1、f2分别为椭圆c1： +=1（ab0）的上、下焦点，其中f1也是抛物线c2：x2=4y的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且|mf1|=（）求椭圆c1的方程；（）当过点p（1，3）的动直线l与椭圆c1相交于两不同点a，b时，在线段ab上取点q，满足|=|，证明：点q总在某定直线上21设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23其中ar（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点p（1，f（1）处的切线方程；（2）若存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）m成立，求整数m的最大值；（3）若对任意的s，t，2都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22选修41：几何证明选讲如图，abc内接于o，ab是o的直径，pa是过点a的直线，且pac=abc（） 求证：pa是o的切线；（）如果弦cd交ab于点e，ac=8，ce：ed=6：5，ae：eb=2：3，求sinbce选修4-4：坐标系与参数方程23（选做题）在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）=，圆c的参数方程为，（为参数，r0）（）求圆心c的极坐标；（）当r为何值时，圆c上的点到直线l的最大距离为3选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|+|2x3|，xr（1）解不等式f（x）5；（2）若的定义域为r，求实数m的取值范围2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1已知集合a=x|x23x+2=0，b=x|logx4=2，则ab=（）a2，1，2 b1，2 c2，2 d2【考点】并集及其运算【分析】先将a，b化简，再计算并集，得出正确选项【解答】解：a=x|x23x+2=0=x|（x1）（x2）=0=1，2b=x|logx4=2=2ab=1，2故选b2若复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）a3 b3或1 c3或1 d1【考点】复数的基本概念【分析】由复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，知，由此能求出实数a【解答】解：复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，解得a=1，故选d3已知向量=（1，3），=（2，m），若与垂直，则m的值为（）a1 b1 c d【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出向量，然后利用向量垂直数量积为0，求出m的值即可【解答】解：因为向量=（1，3），=（2，m），所以=（3，3+2m），因为与垂直，所以（）=0，即（1，3）（3，3+2m）=0，即3+9+6m=0，所以m=1故选a4直线x+（a2+1）y+1=0（ar）的倾斜角的取值范围是（）a0，b，） c0，（，） d，），）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程得 斜率等于，由于 01，设倾斜角为 ，则 0，1tan0，求得倾斜角 的取值范围【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（ar）的 斜率等于，由于 01，设倾斜角为 ，则 0，1tan0，故选 b5若数列an的通项公式是an=（1）n（3n2），则a1+a2+a10=（）a15 b12 c12 d15【考点】数列的求和【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3a9+a10=3a1+a2+a10=53=15故选a6已知四棱锥pabcd的三视图如图所示，则四棱锥pabcd的四个侧面中面积最大的是（）a6 b8 c d3【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥pabcd的四个侧面中面积，得到最大值即可【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为： =2两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥pabcd的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选a7如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框处应填入的条件是（）an2 bn3 cn4 dn5【考点】循环结构【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由框图的顺序，s=0，n=1，s=（s+n）n=（0+1）1=1；n=2，依次循环s=（1+2）2=6，n=3；n=3，依次循环s=（6+3）3=27，n=4，此刻输出s=27故判断框处应填入的条件是n3，故选b8已知集合a=1，2，3，4，b=5，6，7，c=8，9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）a24个 b36个 c26个 d27个【考点】分步乘法计数原理【分析】从三个集合中取出两个集合，有3种情况，利用分步计数原理分别计算每种情况下各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合的个数，再相加【解答】解：从三个集合中取出两个集合，有=3种取法，分别是集合a、b；集合a、c；集合b、c当取出集合a、b时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有=12个；当取出集合a、c时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有=8个；当取出集合b、c时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有=6个；集合a、b、c的元素各不相同，一共可以组成12+8+6=26个集合故选c9如图，已知点p（2，0），正方形abcd内接于o：x2+y2=2，m、n分别为边ab、bc的中点，当正方形abcd绕圆心o旋转时， 的取值范围是（）a1，1b，c2，2d，【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先，根据，设m（cos，sin），n（sin，cos），然后，写出向量=（cos2，sin）和=（sin，cos），从而得到=2sin，进而确定其范围【解答】解：设m（cos，sin），n（sin，cos），=（sin，cos），=（cos，sin），=（cos2，sin），=sin（cos2）+sincos=2sin，sin1，1，2sin2，2，的取值范围是2，2故选：c10已知双曲线：=1，左右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交双曲线左支于a，b两点，则|+|的最小值为（）a b11 c12 d16【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的标准方程可得：a=2，再由双曲线的定义可得：|af2|af1|=2a=4，|bf2|bf1|=2a=4，所以得到|af2|+|bf2|（|af1|+|bf1|）=8，再根据a、b两点的位置特征得到答案【解答】解：根据双曲线的标准方程=1可得：a=2，由双曲线的定义可得：|af2|af1|=2a=4，|bf2|bf1|=2a=4，所以+可得：|af2|+|bf2|（|af1|+|bf1|）=8，因为过双曲线的左焦点f1的直线交双曲线的左支于a，b两点，所以|af1|+|bf1|=|ab|，当|ab|是双曲线的通径时|ab|最小所以|af2|+|bf2|（|af1|+|bf1|）=|af2|+|bf2|ab|=8|bf2|+|af2|=|ab|+8=11故选b11已知球o半径为，设s、a、b、c是球面上四个点，其中abc=120，ab=bc=2，平面sac平面abc，则棱锥sabc的体积的最大值为（）a b c d3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】求出底面三角形的面积，底面三角形的所在平面圆的半径，由平面sac平面abc，可将已知中的三棱锥sabc补成一个同底等高的棱柱，即可求解锥sabc的体积的最大值【解答】解：三棱锥oabc，a、b、c三点均在球心o的表面上，且ab=bc=2，abc=120，bc=2，abc外接圆半径2r=4，即r=2sabc=22sin120=，og=1由平面sac平面abc，可将已知中的三棱锥sabc补成一个同底等高的棱柱，棱锥sabc的体积的最大值为=故选：a12已知函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，则方程gf（x）a=0（a为正实数）的根的个数不可能为（）a3个 b4个 c5个 d6个【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=m的交点情况为：当m3，或m1时，有一个交点；当m=3，或m=1时，有两个交点；当3m1时，有三个交点；g（x）与y=a点情况为（x）与y=a的交点情况为：当0a1时有两个交点，一个在区间（4，3）上，一个在区间（3，2）上；当a=1时有两个交点，一个为3，一个为；当a1时有两个交点，一个在区间（0，）上，一个在区间（，1）上分类讨论后，即可得到方程gf（x）a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案【解答】解：函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，当a=1时，若方程gf（x）a=0，则：f（x）=3，此时方程有2个根或f（x）=，此时方程有3个根故方程gf（x）a=0可能共有5个根；当0a1时，方程gf（x）a=0，则：f（x）（4，3），此时方程有1个根或f（x）（3，2），此时方程有3个根故方程gf（x）a=0可能共有4个根；当a1时，方程gf（x）a=0，则：可能有4个、5个或6个根故选a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案【解答】解：是3a与3b的等比中项3a3b=3a+b=3a+b=1ab=（当a=b时等号成立）+=4故答案为：414在（x2）5的二项展开式中，x的一次项系数是10，则实数a的值为1【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的一次项系数，再根据x的一次项系数是10，求得实数a的值【解答】解：在（x2）5的二项展开式的通项公式为tr+1=（a）rx103r，令103r=1，求得r=3，可得x的一次项系数是（a）3=10，求得a=1，故答案为：115设m表示不超过实数m的最大整数，则在直角坐标平面xoy上，则满足x2+y2=50的点p（x，y）所成的图形面积为12【考点】分段函数的应用【分析】根据方程可得对于x，y0时，求出x，y的整数解，可得|x|可能取的数值为7、5、1，则可以确定x的范围，进而得到对应的y的范围，求出面积即可【解答】解：由题意可得：方程：x2+y2=50当x，y0时，x，y的整解有三组，（7，1），（5，5），（1，7）所以此时|x|可能取的数值为：7，5，1当|x|=7时，7x8，或7x6，|y|=1，1y0，或1y2，围成的区域是4个单位正方形；当|x|=5时，5x6，或5x4；|y|=5，5y4，5y6，围成的区域是4个单位正方形；当|x|=1时，1x0，或1x2，|y|=7，7y6，或7y8，围成的区域是4个单位正方形所以总面积是：12故答案是1216定义区间（c，d）、（c，d、c，d）、c，d的长度均为dc（dc），己知实数p0，则满足不等式+1的x构成的区间长度之和为2【考点】其他不等式的解法【分析】原不等式化为0，设x2（p+2）x+p=0的根为x1和x2，则由求根公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和【解答】解：+1，实数p0，1，即0，设x2（p+2）x+p=0的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1=，x2=，把不等式的根排在数轴上，由穿根得不等式的解集为（0，x1）（p，x2），故解集构成的区间的长度之和为 （x10）+（x2p ）=（x1+x2）p=（p+2）p=2，故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共60分）17已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xr）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设abc的内角a，b，c的对应边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（2，sinb）共线，求a，b的值【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据c的范围和f（c）=0可求出角c的值，再根据两个向量共线的性质可得sinb2sina=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值【解答】解：（1）函数f（x）=sin2xcos2x=sin2xcos2x1=sin（2x）1，x，2x，则sin（2x），1函数f（x）的最小值为1和最大值0；（2）f（c）=sin（2c）1=0，即 sin（2c）=1，又0c，2c，2c=，c=向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，sinb2sina=0由正弦定理，得 b=2a，c=，由余弦定理得3=a2+b22abcos，解方程组，得 a=1，b=218某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试（）求该学生考上大学的概率（）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求变量的分布列及数学期望e【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列【分析】（）该学生考上大学的概率等于1减去该学生考不上大学的概率考不上大学包括：前4次测试只通过了一次，且第五次没有通过，前4次都没有通过测试（）该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，求出取每个值的概率，即得的分布列，由分布列求变量数学期望e 的值【解答】解：（）记“该生考上大学”的事件为事件a，其对立事件为，则（）该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，+=+=由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，当=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过=故的分布列为：2345ee=2+3+4+5=19如图，在长方形abcd中，ab=2，ad=1，e为dc的中点，现将dae沿ae折起，使平面dae平面abce，连接db，dc，be（1）求证：be平面ade；（2）求二面角ebdc的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由勾股定理得aebe，由等腰三角形的性质得mdae，由面面垂直的性质得md平面abce，由此能证明be平面ade（2）以m为原点，在平面abce内，过m作cb的平行线为x轴，过m作ec的平行线为y轴，以mp为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面dbc的法向量和平面bde的法向量，由此利用量法能求出二面角ebdc的余弦值【解答】（1）证明：在长方形abcd中，ab=2，ad=1，e为dc的中点，ae=eb=，ab=2，ab2=ae2+be2，aebe，取ae的中点m，连接md，则ad=de，mdae，平面dae平面abce，md平面abce，mdbe，mdae=m，be平面ade（2）解：以m为原点，在平面abce内，过m作cb的平行线为x轴，过m作ec的平行线为y轴，以mp为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得b（，0），c（，0），d（0，0，），e（，0），=（，），=（，），=（，），设平面dbc的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，3），设平面bde的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，1，），设二面角ebdc的平面角为，cos=|cos|=|=|=二面角ebdc的余弦值为20已知f1、f2分别为椭圆c1： +=1（ab0）的上、下焦点，其中f1也是抛物线c2：x2=4y的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且|mf1|=（）求椭圆c1的方程；（）当过点p（1，3）的动直线l与椭圆c1相交于两不同点a，b时，在线段ab上取点q，满足|=|，证明：点q总在某定直线上【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知得f1（0，1），m（，），将m（，）代入=1，能求出椭圆c1的方程（）设点q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），设=，利用点差法能证明点q总在直线上【解答】解：（1）f1、f2分别为椭圆c1： +=1（ab0）的上、下焦点，其中f1也是抛物线c2：x2=4y的焦点，f1（0，1），抛物线c2：x2=4y准线y=1，点m是c1与c2在第二象限的交点，且|mf1|=，由抛物线方程得到m（，），将m（，）代入=1，得到b2=3或（舍），c1： =1（）设点q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），由题设，|、|、|、|均不为0，且满足=，又p、a、q、b四点共线，设=，（0，1），a（x1，y1），b（x2，y2）在椭圆上，即，12122=4（12）x+9（12）y，点q总在某定直线4x+9y12=0上21设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23其中ar（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点p（1，f（1）处的切线方程；（2）若存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）m成立，求整数m的最大值；（3）若对任意的s，t，2都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，代入切线方程即可；（）等价于：g（x1）g（x2）maxm在0，2成立，求出函数的导数，求出函数g（x）的最大值和最小值，从而求出整数m的最大值即可；（）问题转化为对任意s、t，2都有f（s）ming（t）max，通过讨论a的范围分别求出f（s）min和g（t）max，解不等式取并集即可【解答】解：（）a=2时，f（x）=+lnx，定义域是（0，+），f（x）=，f（1）=2，f（1）=1，切线方程是y2=（x1），即x+y3=0；（）存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）m成立，等价于：g（x1）g（x2）maxm在0，2成立，令g（x）0，解得：x，令g（x）0，解得：x，g（x）在0，递减，在，2递增，g（x）min=g（）=，而g（0）=3，g（2）=1，g（x）max=g（1）=1，g（x1）g（x2）max=g（x）maxg（x）min=，故满足条件的最大整数m=4；（）若对任意s、t，2都有f（s）g（t），只需若对任意s、t，2都有f（s）ming（t）max，由（）得：g（t）在，）递减，在（，2递增，g（t）max=g（2）=1，f（s）=+lns，f（s）=，a时，f（s）0，f（s）在，2递增，f（s）min=f（）=2a+ln1，解得：a（1+ln2），无解；a2时，令f（s）0，解得：sa，令f（s）0，解得：saf（s）在，a）递减，在（a，2递增，f（s）min=f（a）=1+lna1，解得：a1，1a2；a2时，f（s）0，f（s）在，2递减，f（s）min=f（2）=+ln21，解得：a22ln2，a2，综上，a1选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满