重庆市中考数学一轮复习 第七章 图形的变化 数学文化讲堂（六）练习.doc_第1页
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数学文化讲堂(六)将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的a点出发，走到河边饮马后再到b点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教这个百思不得其解的问题从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传1. 你能解决上面的问题吗？请画图说明2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题：(1)几何应用：如图，等腰直角三角形abc的直角边长为2，e是斜边ab的中点，p是ac边上的一动点，则pbpe的最小值为_(2)几何拓展：如图，abc中，ab2，bac30，若在ac、ab上各取一点m、n，使bmmn的值最小，求这个最小值；(3)代数应用：求代数式(0x4)的最小值第2题图答案1. 解：如解图所示，从a出发向河岸引垂线，垂足为d，在ad的延长线上，取a关于河岸的对称点a，连接ab，与河岸线相交于c，则c点就是饮马的地方，将军只要从a出发，沿直线走到c，饮马之后，再由c沿直线走到b，所走的路程就是最短的如果将军在河边的另外任一点c饮马，所走的路程就是accb，但是，accbaccbabaccbaccb.可见，在c点外任何一点c饮马，所走的路程都要远一些这有几点需要说明的：(1)由作法可知，河流l相当于线段aa的中垂线，所以adad.(2)将军走的路程是acbc，就等于acbc，而两点之间线段最短，所以c点为最优第1题解图2. 解：(1)；【解法提示】如解图所示，作点b关于ac对称的对称点b，连接be交ac于点p，第2题解图此时pbpe的值最小连接ab.在rtacb中，abab2.aeab，bacbac45，bab90，pbpe的最小值be.(2)如解图，作点b关于ac对称的对称点b，过b作bnab于n，交ac于m.连接bm，ab，此时bmmn的值最小，即bmmnbmmnbn.点b与b关于ac对称，abab，又bac30，bab60，bab是等边三角形，bbab2，bbn60，又bnab，bnbbsinbbn2；第2题解图(3)构造图形，如解图所示，其中ab4，ac1，db2，apx，caab于点a，dbab于点b.pcpd，所求的最小值就是求pcpd的最小值作点c关于ab的对称点c，
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