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高三数学第二轮专题复习立体几何向量法求角 1 平面角 空间中的角 从一点引出的两条射线组成的图形 两条直线的夹角 异面直线的夹角 a a b b a b 交于O AOB是异面直线a b所成的角 直线和平面所成的角 l 是l在平面a内的射影 l 与l的夹角是l与a所成的角 二面角 OA l OB lOA a OB AOB是二面角a l 的平面角 2 设异面直线a b的夹角为 cos 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得 1 求两异面直线所成的角 3 2 求直线和平面所成的角 设直线BA与平面 的夹角为 A g1 4 3 法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设a l b的平面角为q q g 两个平面的法向量在二面角内同时指向或背离 5 设a l b的平面角为q q g 两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背离 6 1 例1 棱长为1的正方形ABCD A1B1C1D1中 E F G K分别是棱AD AA1 A1B1 D1D的中点 求A1D与CK的夹角 DD1与平面EFG所成的角 用三角函数表示 二面角G EF D1的大小 用三角函数表示 解 以D为坐标原点 交基底建立直角坐标系 7 A1 1 0 1 D 0 0 0 C 0 1 0 1 0 1 DA1与CK的夹角为 8 DD1与平面EFG所成的角 用三角函数表示 设面EGF的法向量 0 令x 1 得 9 0 0 1 DD1与平面EFG所成的角为 10 二面角G EF D1的大小 用三角函数表示 由 知面GEF的法向量 而面DAD1A1法向量 二面角G EF D1为 11 解 建立如图所示的直角坐标系 C 1 1 0 S 0 0 1 法向量 设平面SCD的法向量 例2 如图 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 ABC 90 SA 面ABCD SA AB BC 1 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 12 即 令x 1 则 cosa 从而tana 13 例3在三棱锥D ABC中 底面 ABC是等腰直角三角形 侧面 DBC是等边三角形 平面DBC 平面ABC AB AC 4 E F分别为BD AD中点 求二面角F CE D的大小 直线CE与平面ABC所成的角 解 找BC的中点O 连AO DO ABC是等腰三角形 DBC是等边三角形 AO BC于O DO BC于O DO 面ABC 故可以以O为坐标原点OA OC OD分别为x y z轴建立如图所示的直角坐标系 14 设面EFC的法向量 令x 1 因OA 面BCD 故 1 0 0 为面BCD的一个法向量 即二面角F
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