信息论与编码第二版习题答案陈运主编.pdf

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36596 比特 2 0 045425 比特 2 6设信源 求这信源的熵 并解释为什 123456 0 20 190 180 170 160 17 Xaaaaaa P X 么不满足信源熵的极值性 log6H X 提示提示 信源的概率之和大于 1 2 7同时掷两个正常的骰子 也就是各面呈现的概率都为 求 1 6 1 3 和 5 同时出现 这事件的自信息量 2 两个 1 同时出现 这事件的自信息量 3 两个点数的各种组合 无序对 的熵或平均信息量 4 两个点数之和 即构成的子集 的熵 2 312L 5 两个点数中至少有一个是 1 的自信息量 解 1 4 17 比特 符号 提示 3 和 5 同时出现的概率为 1 182 6 1 6 1 2 5 17 比特 符号 提示 两个 1 同时出现的概率 1 36 3 两个点数相同 的概率 1 36 共有 6 种情况 两个点数不同 的概率 1 18 共有 15 中情况 故平均信息量为 4 337 比特 符号 615 223618 log 36log 18 4 3 274 比特 符号 提示 信源模型 55111111111 3618129366369121836 23456789101112 5 1 711 比 特 符 号 提 示 至 少 有 一 个 1 出 现 的 概 率 为 36 11 6 1 6 1 6 1 6 1 2 8证明 12n H X XXL 12n H XH XH X L 提示 见教材式 2 1 26 和 2 1 28 2 9证明 并说明等式成立的条件 312 H XX X 31 H XX 提示 见教材第 38 页 课后答案网 w w w k h d a w c o m 3 2 10 对某城市进行交通忙闲的调查 并把天气分成晴雨两种状态 气温分成冷 暖两个状态 调查结果得联合出现的相对频度如下 若把这些频度看作概率测度 求 1 忙闲的无条件熵 2 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵 3 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息 解 设 X Y Z 分别表示 忙 闲 晴 雨 和 冷 暖 1 先求忙闲的概率分布 无条件熵0 964 比特 103 40 103 63 闲忙 XP X H X 符号 2 0 859 比特 符号 20232832 103103 103103 YZ P YZ 晴冷晴暖雨暖雨冷 H X YZ 3 I X YZ 0 105 比特 符号 2 11 有两个二元随机变量 它们的联合概率为XY和 并定义另一随机变量 一般乘积 试计算 XYZ 1 H XH YH ZH XZH YZH XYZ和 Y X 01 0 1 1 83 8 3 81 8 课后答案网 w w w k h d a w c o m 4 2 H X YH Y XH X ZH Z XH Y ZH Z YH X YZ 和 H Y XZ H Z XY 3 I X YI X ZI Y ZI X Y ZI Y Z XI X Z Y和 解 提示 的联合概率分布XYZ 8 1008 308 308 1 111110101100011010001000 XYZP XYZ XZ 的联合概率分布 8 18 302 1 11100100 XZP XZ YZ 的联合概率分布 8 18 302 1 11100100 YZP YZ Z 的概率分布 8 1 8 7 10 ZP Z 1 1 比特 符号 1 比特 符号 0 543 比特 符号 1 406 比特 符号 1 406 比特 符号 1 811 比特 符号 2 0 811 比特 符号 0 811 比特 符号 0 863 比特 符号 0 406 比特 符号 0 863 比特 符号 0 406 比特 符号 0 405 比特 符号 3 0 189 比特 符号 0 137 比特 符号 0 137 比特 符号 0 458 比特 符号 0 406 比特 符号 0 406 比特 符号 2 12 略 2 13 设有一个信源 它产生序列的信息 它在任意时间而且不论以前发生过0 1 什么符号 均按的概率发出符号 00 4 10 6pp 1 试问这个信源是否是平稳的 2 试计算 2 312 lim N H XH XX XH X 及 3 试计算并写出信源中可能有的所有符号 4 H X 4 X 解 1 是 2 信源熵 0 971 比特 信源符号 比特 信源符号 由题设知942 1 2 XH 道这个信源是无记忆信源 因此条件熵和极限熵都等于信源熵 3 比特 信源符号 884 3 971 0 4 4 XH 信源中可能的符号共 16 个 4 X 2 14设是 平 稳 离 散 有 记 忆 信 源 试 证 明 12 N XXXX L 课后答案网 w w w k h d a w c o m 5 12N H X XX L 1 H X 21321121NN H XXH XX XH XX XX LL 提示 见教材第 44 页 2 15 略 2 16 一阶马尔可夫信源的状态图如题 2 16 图所示 信源的符号集为 X 0 1 2 1 求平稳后信源的概率分布 2 求信源的熵 H 题 2 16 图 解 1 由 图 得 一 步 转 移 概 率 矩 阵 状 态 极 限 概 率 pp pp pp P 0 0 0 123 1 3 p ep ep ep 2 11 pHHH 2 17黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种 即信源 设黑色 X 黑 白 出现的概率为p 黑 0 3 白色的出现概率p 白 0 7 1 假设图上黑白消息出现前后没有关联 求熵 H X 2 假设消息前后有关联 其依赖关系为p 白 白 0 9 p 黑 白 0 1 p 白 黑 0 2 p 黑 黑 0 8 求此一阶马尔可夫信源的熵 2 HX 3 分别求上述两种信源的剩余度 比较的大小 并说明其 2 H XHX和 物理意义 解解 1 0 881 比特 信源符号 2 0 5533 比特 符号 22 22 11 log ijij ji HXp abp ab 课后答案网 w w w k h d a w c o m 6 3 11 9 44 67 2 18每帧电视图像可以认为是由个像素组成的 所有像素均是独立变化 5 3 10 且每像素又取 128 个不同的亮度电平 并设亮度电平是等概率出现 问每 帧图像含有多少信息量 若有一个广播员 在约 10000 个汉字中选 1000 个汉字来口述这电视图像 试问若要恰当地描述此图像 广播员在口述中 至少需要多少汉字 解 1 每帧图象包含的信息量 比特 6 103 2 103 103 101 2 128 1 log 128 1 128 55 5 2 每 1000 个汉字提供的信息量比特 41000 2 103288 1 10000log 3 需要个汉字 1000 2 1 5 1058 1 2 19略 2 20连 续 变 量的 联 合 概 率 密 度 为 求 YX和 222 2 1 0 xyr p x yr 其他 提示 H XH YH XYI X Y和 2 22 0 log sin dlog 2 2 x x 解 22 22 22 22 12 rx rx rx p xp xy dydy rr 令 cosxr sinyr 则 2sin p x r 同理 由函数对称性 2cos p y r 2 2 0 22 2sin2sin log sin 2sin log sinlog 2 r r H Xrd rr r d 利用分部积分法 三角函数性质 习题提示并注意自然对数与 以 2 为底对数的换算关系可得 比特 符号 12 222 loglog0 93logH XH Yrer 课后答案网 w w w k h d a w c o m 7 比特 符号 222 2 22 22 2 11 loglog 1 65 2log xyr H XYdxdyr rr r 比特 符号 22 1 862log 1 652log 0 21 I X YH XH YH XY rr 2 21略 2 22略 课后答案网 w w w k h d a w c o m 8 第三章习题 3 1设信源通过一干扰信道 接收符号为 信道传递 12 0 60 4 Xaa P X 12 Yb b 矩阵为 求 51 66 31 44 1 信源中事件分别含有的自信息量 X 12 aa和 2 收到消息后 获得的关于的信息量 1 2 j bj 1 2 i ai 3 信源和信宿 的信息熵 XY 4 信道疑义度和噪声熵 H X Y H Y X 5 接收到信息 后获得的平均互信息量 Y 解 1 比特 符号 比特 符号 1 0 737I x 322 1 2 xI 2 比特 符号 12 32 55 p bp b 56 112 35 log0 47399I a b 比特 符号 16 122 25 log1 26316I a b 比特 符号 14 212 35 log1 26316I a b 比特 符号 34 222 25 log0 90698I a b 3 0 971 比特 符号 0 971 比特 符号 4 比特 符号 1 6856H XY 0 7146 H Y XH XYH XH X Y 5 0 2564 比特 符号 3 2设二元对称信道的传递矩阵为 21 33 12 33 1 若 0 3 4 1 1 4 PPH XH X YH Y XI X Y 求和 2 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布 解 1 0 8113 比特 符号 0 7498 比特 符号 0 9183 比特 符号 0 0615 比特 符号 2 0 0818 比特 符号 p 0 p 1 1 2 课后答案网 w w w k h d a w c o m 9 3 3设有一批电阻 按阻值分 70 是 30 是 按瓦分 64 是 1 8W k2 k5 其余是 1 4W 现已知阻值的电阻中 80 是 1 8W 问通过测量阻值可 k2 以得到的关于瓦数的平均信息量是多少 解解 设随机变量 X 表示电阻的瓦数 Y 表示电阻的阻值 则其概率分布为 36 0 64 0 4 1 8 1 21 xx XP X 3 07 0 5 2 21 Kyky YP Y 已知 由概率的归一性 11 0 8p xy 21 0 2p xy 由 得 1 2 ijiji p x yp x p yxi j 11 12 21 22 0 56 0 08 0 14 0 22 p x y p x y p x y p x y 再由 得 ij ij j p x y p xy p y 2 411 121515 2 p xyp xy 代入条件熵计算公式得 比特 符号 0 75634H X Y 3 4参见教材第二章相关内容 3 5 参见教材第二章相关内容 3 6有一个二元对称信道 其信道矩阵为 设该信源以 1500的 0 980 02 0 020 98 bit s 速度传输输入符号 现有一消息序列共有 14000 个二元符号 并设 问从信息传输的角度来考虑 10 秒钟内能否将这消息序列 1 01 2 pp 无失真地传递完 解解 信道容量 C 0 8586 比特 信道符号 则每秒钟可传送的信息量为 1500 0 859 1288 5比特 10 秒钟最大可传送的信息量为 12885比特 而 待传送的信息量为 14000比特 因此 10 秒钟内不能无失真的传送完毕 3 7仿教材例题 3 2 1 和 3 2 2 课后答案网 w w w k h d a w c o m 10 3 8已知一个高斯信道 输入信噪比 比率 为 3 频带为 3kHz 求最大可能传 送的信息率 若信噪比提高到 15 理论上传送同样的信息率所需的频带为 多少 提示提示 由式 3 5 13 可得 1 最大可能传送的信息率是 比特 秒 3 2 3 2 106 31 log103 1 log N X t P P wC 2 1 5kHZ 3 9略 3 10略 3 11已知离散信源 某信道的信道矩阵为 1234 0 1 0 3 0 2 0 4 aaaaX P X 1234 1 2 3 4 0 20 30 10 4 0 60 20 10 1 0 50 20 10 2 0 10 30 40 2 bbbb a a a a 试求 1 输入 输出 的概率 3 a 2 b 2 输出 的概率 4 b 3 收到的条件下推测输入 的概率 3 b 2 a 解解 由信道矩阵的概念和概率论可得 1 32323 0 04p a bp ap ba 2 0 19 4 44 1 ii i p bp a p ba 3 232 323 3 0 22 0 1364 p ap b a p bp ab p b 3 12略 3 13试证明 当信道每输入一个值 相应有几个 值输出 且不同的值所XY X 对应的 值不相互重合时 有 Y H YH XH Y X 证 明证 明 因 为 并 且 由 已 知 可 得 XYHYHYXHXHYXI 课后答案网 w w w k h d a w c o m 11 所以有0 YXH H YH XH YX 3 14试求以下各信道矩阵代表的信道的容量 1 2 1234 1 2 1 3 4 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 bbbb a a P a a 123 1 2 3 2 4 5 6 1 0 0 1 00 0 10 0 10 0 01 0 01 bbb a a a P a a a 3 35678910124 1 32 3 0 10 20 30 4000000 00000 30 70000 0000000 40 20 10 3 bbbbbbbbbb a Pa a 解 2 比特 信道符号 1 585 比特 信道符号 1 585 比特 信道符号 3 15此题很简单 略 3 16参见教材相关问题的证明过程 3 17见教材证明 3 18设加性高斯白噪声信道中 信道带宽 3kHz 又设 信号功率 噪声功率 噪声功率 10dB 试计算该信道的最大信息传输速率 t C 提示提示 的 dB 数 x 10 10logx 解 由题意 故 9 96kbit s 2 1010log 1 1 10 XX NN PP PP t C 3 19略 3 20略 课后答案网 w w w k h d a w c o m 12 第四章习题 4 1 一个四元对称信源 接收符号 其失 X P X 0123 1 41 41 41 4 0 1 2 3 Y 真矩阵为求函数 并画出其曲线 取 4 0111 1011 1101 1110 D maxmin DDR D和及信源的 至 5 个点 解 符号奈特 1ln 1 3 ln4ln 4 3 0 maxmin DD D DDRDD 可作图 中令 在 4 3 2 1 3 1 4 1 0 DDR 4 2若某无记忆信源 接收符号 其失真矩阵 101 1 3 1 3 1 3 X P X 1 1 2 2 Y 为求信源的最大失真度和最小平均失真度 并求选择何种信道可 12 11 21 D 达到该的失真度 maxmin DD和 解 1 1 1 1 32 2221 11 min abp abpabp abp D一的 但满足对应的试验信道不是唯 1 3 4 22 21 11 max bpabp bpbp bpabp D i i 一的 但满足对应的试验信道不是唯 4 3某二元信源其失真矩阵为求这信源的 X P X 01 1 21 2 0 0 a D a 函数 maxmin DDR D和 提示 见公式 4 2 41 1 5 0 0 min D HDRDD mzx 4 4已知信源 信宿 设信源输入符号为等概率分布 而且失 0 1 X 0 1 2 Y 课后答案网 w w w k h d a w c o m 13 真函数为 求信源的率失真函数 01 01 D R D 解 提示 注意参量 S 0 求符号奈特 1 DDR DXYHYHYXI 1 4 5略 4 6略 4 7参见教材 p110 4 8略 4 9设某地区的 晴天 概率 雨天 概率 把 晴天 预报 5 6p 晴 1 6p 雨 为 雨天 把 雨天 预报为 晴天 造成的损失均为 元 又设该地区的天气 a 预报系统把 晴天 预报为 晴天 雨天 预报为 雨天 的概率均为 0 9 把 晴天 预报为 雨天 把 雨天 预报为 晴天 的概率均为 0 1 试计算这种 预报系统的信息价值率 元 比特 v 解 预报结果 6 1 max min j j DD 30 7 30 23 雨晴 比特 元 2119 0 max YXI RDD v 提示 天气信源 预报信道矩阵 失真矩阵 6 1 6 5 雨晴 9 01 0 1 09 0 0 0 4 10 设离散无记忆信源其失真度为汉明失真度 123 1 3 1 3 1 3 aaaX P X 1 求 并写出相应试验信道的信道矩阵 minmin DRD 2 求 并写出相应试验信道的信道矩阵 maxmax DRD 3 若允许平均失真度 试问信源的每一个信源符号平均最少由几个 3 1 D 二进制码符号表示 解 1 矩阵为符号 相应的试验信道比特 585 1 0 minmin DRD 100 010 001 2 不唯一 相应的试验信道矩阵0 3 2 maxmax DRD 3 由 教 材 例 题 可 知 符号奈特 1ln 1 2 ln3ln DD D DDR 因此每个信源符号最少要用符号比特符号奈特 331 0 231 0 3 1 R 0 331 个二进制码表示 课后答案网 w w w k h d a w c o m 14 4 11见教材例题 第五章习题 5 1设有信源 1234567 0 20 190 180 170 150 10 01 Xaaaaaaa P X 1 求信源熵 XH 2 编二进制香农码 3 计算其平均码长及编码效率 解解 1 2 609 比特 信源符号 2 码字 1234567 000001011 100101 11101111110 xxxxxxx 3 平均码长 3 14 比特 符号 编码效率 83 09 5 2对题 5 1 的信源编二进制费诺码 计算其编码效率 解解 1 码字 1234567 00010011 1011011101111 xxxxxxx 2 平均码长 2 74 比特 符号 编码效率 95 22 5 3对题 5 1 的信源分别编二进制和三进制赫夫曼码 计算各自的平均码长及 编码效率 解解 二进制码码字 1234567 101100000101001100111 xxxxxxx 平均码长 2 72 比特 符号 编码效率 95 92 三进制码码字 1234567 20001021011 12 xxxxxxx 平均码长 1 8 比特 符号 编码效率 91 45 5 4 设信源 12345678 11111111 248163264128128 aaaaaaaa X P X 1 计算信源熵 2 编二进制香农码和二进制费诺码 3 计算二进制香农码和费诺码的平均码长和编码效率 4 编三进制费诺码 课后答案网 w w w k h d a w c o m 15 5 计算三进制费诺码的平均码长和编码效率 解 1 比特 符号 984375 1 XH 2 二元香农码 3 比特 符号 编码效率 984375 1 K 100 100 K XH 二元费诺码码字与香农码相同 顾二者平均码长和编码效率相同 4 三元费诺码 5 比特 符号 编码效率 328125 1 K 27 94 100 3log 2 K XH 5 5略 5 6有二元平稳马氏链 已知 求它的符号熵 用三个8 0 00 p7 0 11 p 符号合成一个来编二进制哈夫曼码 求新符号的平均码字长度和编码效 率 略 信源符号概率累加概率 log2 i ap i k 累加概率 小数表示 码字 1 a 1 20110 00 2 a 1 41 2220 1010 3 a 1 83 4330 110110 4 a 1 167 8440 11101110 5 a 1 3215 16550 1111011110 6 a 1 6431 32660 111110111110 7 a 1 12863 64770 11111101111110 8 a 1 128127 128770 11111111111111 信源符号概率码字 1 a 1 200 2 a 1 411 3 a 1 8 2 020 4 a 1 16121 5 a 1 32 2 0220 6 a 1 641221 7 a 1 128 2 02220 8 a 1 128 12221 课后答案网 w w w k h d a w c o m 16 5 7对题 5 6 的信源进行游程编码 若 0 游程长度的截止值为 16 1 游程长 度的截止值为 8 求编码效率 略 5 8 选择帧长 63N 1 对001000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000编码 DL 2 对100001000010110000000001001000010100100000000111000001000000001编码 再译 DL 码 3 对000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000编码 DL 4 对10100011010111000110001110100110000111101100101000110101011010010 编码 DL 5 对上述结果进行讨论 解 1 值 2 的 长 度 的 编 码 000010 QQ6 163 log2 Q 34 3 21 nn 的长度 530 2 134 1 13 TT11 2 63 log2 的编码 01000010010T 码 00001001000010010 DL 2 a 编码 值 15 的长度 的编码 001111QQ6 163 log2 Q 470 289 769 646 95 9920930527499120024039799044514067684845389106176501015059591 2541868563856710078887256578001009471287495120100 7 15 62 14 53 13 47 12 46 11 45 10 36 9 33 8 31 7 26 6 23 5 13 4 12 3 10 2 5 1 0 CCCCCCCCCCCCCCCT 的长度 T 47698951221317342log 15 63 log 22 的编码 T 010 1011 0111 1110 1011 1111 1110 0000 0000 0000 0000 0000 L D 码 0 0111 1010 1011 0111 1110 1011 1111 1110 0000 0000 0000 0000 0000 b 译码 Q 码 001111 Q 15 15 62 93 052 749 919 920C 15 63 122 131 734 269 895C 显然 故 1515 6263 CTC 15 63n i 123456789101112131415 i n 1611131424273234374647485463 课后答案网 w w w k h d a w c o m 17 15 162 95 646 769 289 47093 052 749 919 920 2 594 019 369 550 TTC 14 53 2 403 979 904 200C 14 54 3 245 372 870 670C 所以 1414 53154 CTC x1 7 c 取第 1 段与第 8 段的中位第 5 段进行比较 由于 所以 128635 x1 6 c 取第 5 段与第 8 段的中位第 7 段进行比较 由于 所以 512635 x1 5 c 取第 7 段与第 8 段的中位第 8 段进行比较 由于 所以 1024635 x0 4 c 段落码 110 456 ccc 课后答案网 w w w k h d a w c o m 21 第 7 段的起始量化值为 量化间隔为 与段内码最高位权值比较 由于 512 32 所以 24016256123512635512 x1 2 c 与段内码次高位和第三位权值之和比较 由于 所以 1761664128123512 x0 1 c 与段内码次高位和最低位权值之和比较 由于 所以 1441632128123512 x0 0 c 段内码 0100 0123 cccc 因此 非均匀量化编码 11100100 01234567 ccccccccc 量化噪声 1611635624 i 2 0 sin ixi 绝对值的量 化单位 极性码段落码段内码 非均匀量化 编码 000 1000000010000000 10 58782048 1111001011110010 20 95113896 1111111011111110 30 95113896 1111111011111110 40 58782408 1111001011110010 5 00 0000000000000000 6 0 58782048 0111001001110010 7 0 95113896 0111111001111110 8 0 95113896 0111111001111110 9 0 58782408 0111001001110010 课后答案网 w w w k h d a w c o m 22 证证 为保证不过载 即 s ffAftfA dt tdx 2 2cos 2 max max f f A s 2 A 故 即 f f A s 22 5 15 将正弦信号输入采样频率为 4采样保持器后通过增量 400sin 25 0 ttx kHz 调制器 设该调制器的初始量化 量化增量 试求在半个0 0 q d125 0 周期内信号值的增量调制编码和量化值9 1 0 1 0sin 25 0 L iixi i c 9 1 0 L ixi 解解解解 采样频率是正弦信号频率的 20 倍 半个周期内有 10 个采样点 采样值 增量调制编码及量化值如下表所示 5 16 将正弦信号输入采样频率为 4采样保持器后通过差分 400sin 25 0 ttx kHz 脉冲编码调制器 设该调制器的初始值 采用码长为 4 的均0 0 q d0 0 x 匀量化编码 量化间隔 试求在半个周期内信号值03125 0 的差分脉冲编码和量化值 9 1 0 1 0sin 25 0 L iixi i c9 1 0 L ixi 解 采样频率是正弦信号频率的 20 倍 半个周期内有 10 个采样点 采样值 差分调制编码及量化值如下表所示 i 1 0 sin25 0 ixi 预测值 i x 量化 qi d增量调制编码 i c量化值 i x 000 0 1250 0 125 10 0773 0 1250 12510 20 146900 12510 125 30 20230 1250 12510 25 40 23780 25 0 12500 125 50 250 1250 12510 25 60 23780 25 0 12500 125 70 20230 1250 12510 25 80 14690 25 0 12500 125 90 07730 125 0 12500 i 1 0 sin25 0 ixi 预测值 i x 量化 qi d差分调制编码 i c量化值 i x 000010000 10 077300 062510100 0625 20 14690 06250 093810110 1563 30 20230 15630 031310010 1876 40 23780 18760 062510100 2501 50 250 2501 000000 2501 课后答案网 w w w k h d a w c o m 23 5 17的子带编码如题图 5 3 所示 试证明要求的低通滤波器2 M zxzx 和高通滤波器满足 zHzH ll zHzH hh 0 2 zHzHzHzH zHzHzHzH hhll hhll 题图 5 3 证 设 如图 zul zul zuh zuh 由抽取 得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zxzHzxzHzu lll 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zxzHzxzHzu hhh 由内插 得 2 1 2 zxzHzxzHzuzu llll 2 1 2 zxzHzxzHzuzu hhhh 令 zuzHzuzHzx hhll 2 1 zxzHzxzHzH lll 2 1 zxzHzxzHzH hhh 2 1 zxzHzHzHzH hhll 2 1 zxzHzHzHzH hhll zx 故 0 2 zHzHzHzH zHzHzHzH hhll hhll 60 23780 2501 000000 2501 70 20230 2501 0 062500100 1876 80 14690 1876 0 031300010 1563 90 07730 1563 0 093800110 0625 zHh zHl 2 2 zHh zHl 2 2 zx zx zul zul zuh zuh zHh zHl 2 2 zHh zHl 2 2 zx zx 课后答案网 w w w k h d a w c o m 24 第六章习题 6 1奇校验码码字是 其中奇校验位满足方程 110 pmmmc k Lp 2 mod 1 110 pmmm k L 证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同 但奇校验码不是线 性分组码 证明提示证明提示 奇数个差错的发生总导致校验方程不满足 全 0 向量不是奇校验码码字 6 2一个线性分组码的一致校验矩阵为 2 6 01110 10100 11000 10001 4 3 2 1 h h h h H 1 求使该码的最小码距 4 3 2 1 ihi3 min d 2 求该码的系统码生成矩阵及其所有 4 个码字 s G 解题提示 解题提示 1 对 H 作行初等变换得 1 21 31 423 10001 10010 10100 01000 h hh H hh hhh 要使最小码距等于 3 有中任意两项为 1 其余 11213423 hhhhhhhh 为零 当要使最小码距大于 3 有中三项或四项 11213423 hhhhhhhh 均为 1 其余为零 有上述关系可以求得一组或多组关于的解 4 3 2 1 ihi 2 对作行初等变换得H 423 31 21 1 01000 10100 10010 10001 T k rr hhh hh HQI hh h 6 3 一个纠错码消息与码字的对应关系如下 00 00000 01 00111 10 11110 11 11001 课后答案网 w w w k h d a w c o m 25 1 证明该码是线性分组码 2 求该码的码长 编码效率和最小码距 3 求该码的生成矩阵和一致校验矩阵 4 构造该码 BSC 上的标准阵列 5 若在转移概率的 BSC 上 消息等概发送 求用标准阵列译码后的码 3 10 p 字差错概率和消息比特差错概率 6 若在转移概率的 BSC 上消息 0 发送概率为 消息 1 发送概率为 3 10 p8 0 求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率 2 0 7 若传送消息 0 出错的概率为 传送消息 1 出错的概率为 消息等概 4 10 2 10 发送 求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率 解题提示 解题提示 1 任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字 2 码长为向量长 即 码字数为 4 故 最小非零5n 2 log log 42 55 q M R n 码字的重量为 min3wd 3 因为码字数为 4 任意两非零码字构成生成矩阵的行向量 按G 11110 00111 G 与H正交的条件 解得H的一种可能情况等于 11110 11000 01101 4 标准阵列见题表 3 1 题表 3 1 标准阵列 5 按题解 4 的标准阵列译码 记是标准阵列中码字c对应的列 是包括 c AE 无错图案和全部可纠正差错图案的集合 那么码字差错概率为 00000 0 c 00111 1 c 11110 2 c 11001 3 c 00000 0 e00000001111111011001 00001 1 e00001001101111111000 00010 2 e00010001011110011011 00100 3 e00100000111101011101 01000 4 e01000011111011010001 10000 5 e10000101110111001001 10010 6 e10010101010110001011 10100 7 e10100100110101001101 课后答案网 w w w k h d a w c o m 26 543 2 1 1 1 1 1415121 4 Wc c Cc Ce E c Ce E PeP c P rceAP cP e P cP eP c ppppp 均匀分布 信道差错均匀分布 记消息比特差错概率为 消息向量差错概率为 注意到该 b P e B P e 码是非系统码以及消息向量长为 2 则应有 2 1 11 WBBb PeP eP cP e 23 11 111252 bW P ePepppp 6 码字差错概率计算中 0 0 8 0 8P c 12 0 8 0 2P cP c 3 0 2 0 2P c 543 2 15121 e E P eppppp 消息比特差错概率 222222 10 8810 2810 810 21pppppp 7 码字差错概率计算中 0123 1 4P cP cP cP c 22 42 0102111210 11 11 101 10 44 PPPPP 消息比特差错概率 22 424422 11 11 101 108 101 108 101 10 44 码字差错概率和消息比特差错概率相等 6 4 证明最大长度码 simplex 码 可以由 1 阶Reed Muller 码缩短 12 m m 1 2 m m shortening 构成 证明提示 证明提示 证明一阶 RM 缩短码是极长码等价于证明一阶 RM 缩短码是汉明码的对 偶码 汉明码的校验矩阵是其对偶码的生成矩阵 可 21 m nknm 21 m m 表为H 在汉明码的对偶码基础上构造一阶RM 码生成矩阵为G 2 1 m m 课后答案网 w w w k h d a w c o m 27 0011 0011 0111 1001 m n H L L MMLMM L L 1 1111 0011 0011 0101 mn G L L MMLMM L L 显然 RM 码的一位缩短码就是对偶汉明码的校验矩阵 所以命题得证 6 5 证明线性分组码的码字重量或者为偶数 包括 0 或者恰好一半为偶数 包括 0 另一半为奇数 证明提示 证明提示 若码字重量全为奇数 则码不含全零码字 故不是线性码 若码字重量全为偶数 则任意两偶数重量的码字 c 与相加仍为偶数重码 c 字 故所有码字均可以是偶数重码字 若个偶数重量的码字集合 c 和个奇数重量码字为集合 则根 0 M c 1 M c 据二元线性分组码的任意码字重量满足可 2 HHHH wccwcwcwc c 得 对固定的奇数重码字有 所以 又对 1 c 1 ccc 101 ccMM 任 意 奇 数 重 码 字 由而 有 j c 1 2 3 jM 1j cc 所以 由此证明 11 2 3 j ccjMc 10 11MM 01 MM 6 6 一个通信系统消息比特速率为 信道为衰落信道 在衰落时间 最大为Kbps 10 内可以认为完全发生数据比特传输差错 ms 2 1 求衰落导致的突发差错的突发比特长度 2 若采用 Hamming 码和交织编码方法纠正突发差错 求 Hamming 码的码长 和交织深度 3 若用分组码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于 256 求合适的码 长和最小码距 4 若用 BCH 码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于 256 求合适的码 长和 BCH 码生成多项式 解题提示 解题提示 1 突发长度为bits 33 10 102 1020b 2 汉明码可纠正t 1 个差错 所以交织深度为 由于没有延迟限D 20b t 制 所以任何码长汉明码均可 3 由 以及设计 25625612bD ttd 1dnk 课后答案网 w w w k h d a w c o m 28 6 7 若循环码以为生成多项式 则xxg 1 1 证明可以构成任意长度的循环码 xg 2 求该码的一致校验多项式 xh 3 证明该码等价为一个偶校验码 解题提示 解题提示 1 由 总是的因子 123 1 1 1 nnnn xxxxx L1x 1 n x 2 一致效验多项式为 21 1 1 nn h xxg xxxx L 3 对生成矩阵作行初等变换总能获得偶校验码的生成矩阵形式 1 1 11000010001 01100001001 00011000101 00001100011 nnnn L LL L LL MMMO OMMMMMOMMM L LL L LL 行初等变换 6 8已知循环码生成多项式为 分别做 4 1 xxxg 1 求该码的最小码长 相应的一致校验多项式和最小码距 n xhd 2 求该码的生成矩阵 一致校验矩阵 系统码生成矩阵 3 画出该码的 级系统码编码电路图 给出编码电路的编码工作过程 k 4 若消息为 分别由编码电路和代数计算求其相应的码式 43 xxxxm xc 5 画出该码的伴随式计算电路图 给出伴随式计算电路的工作过程 6 若错误图样为 分别由伴随式计算电路和代数计算求其相应的 92 xxxe 伴随式 xs 7 若消息长度大于 由 2 小题给出的编码电路产生的输出是什么 4 n xv 仍可以用 5 小题给出的伴随式计算电路判断是否有传输差错吗 xv 解题提示 解题提示 1 最小码长为 15 最小码距为 3 3 电路图题图 8 1 所示 课后答案网 w w w k h d a w c o m 29 C x G1 G2 m x 题图 8 1 工作时序题表 8 1 所示 题表 8 1 6 代数计算得 92432 mod mod 1 s xe xg xxxxxxxx 6 9已知线性分组码的生成矩阵为 5 8 11110000 10001000 01000100 00100010 11100001 G 1 证明该码为循环码 2 求该码的生成多项式 一致校验多项式和最小码距 xg xhd 解题提示 解题提示 1 行等价生成矩阵为 5 8 11110000 01111000 00111100 00011110 00001111 2 生成多项式为 校验多项式为 最小码 23 1g xxxx 45 1h xxxx 距为 2 时钟 t 门控信号 G1 G2 输入 m x 输出 c x 01 1 k kn tt tt 1 0 0 1 m x 0 mod r r x m x x m xg x 课后答案网 w w w k h d a w c o m 30 6 10已知Hamming 码生成多项式为 证明用此码进行交织深 4 7 32 1 xxxg 度为 3 的交织后为生成多项式为的循环码 963 1 xxxgxg 12 21 证明提示 证明提示 交织后的码字为 36969 00010203 36969 10111213 236969 20212223 1 1 1 c xaa xa xa xxx x aa xa xa xxx xaa xa xa xxx 以及多项式 21129669 1 1 1 xxxxxx 6 11 一通信系统信道为转移概率的 BSC 求下列各码的重量分布 3 10 p 和不可检差错概率 niAi 2 1 0 L 1 Hamming 码 4 7 2 最大长度码 simplex 码 3 7 3 扩展 Hamming 码 4 8 4 重复码 1 8 5 偶校验码 7 8 解题提示 解题提示 1 二元 Hamming 码的重量分布多项式为 347 1 77A xxxx 2 最大长度码是等重码 3 7 4 7A 3 扩展 Hamming 码扩展后 4 8 48 1 14A xxx 4 因为只有两个码字 00000000 和 11111111 所以 08 1 1AA 5 因为是偶校验 可知码字重量为偶数 2244668 888 1A xC xC xC xx 6 12证明循环码可以检测出所有长度不大于的突发差错 knkn 证明提示 证明提示 假设错误图样 次数