多自由度体系的动力响应分析.ppt

第七章多自由度体系的动力响应分析DynamicAnalysisforSystemsofMultipleDegreeofFreedom 第七章多自由度体系的动力响应分析 主要内容 1两自由度无阻尼体系的动力响应 2多自由度体系动力响应的振型分析法 3振型响应贡献 4特殊分析方法 1两自由度无阻尼体系的动力响应DynamicAnalysisofSystemsofTwoDegreeofFreedomwithoutDamping 第七章多自由度体系的动力响应分析 考虑如图所示的两自由度无阻尼体系 体系中集中质量的受力为 于是 体系的运动控制方程为 第七章多自由度体系的动力响应分析 考虑此体系的稳态运动 即可设 将其代入控制方程 得到 即 于是 其中 det 和adj 分别表示 的行列式和伴随矩阵 第七章多自由度体系的动力响应分析 由于 设其根分别为w1和w2 固有频率 则 同时 于是 第七章多自由度体系的动力响应分析 即 取 则 并且 第七章多自由度体系的动力响应分析 记体系的最大静力位移为 则 可见 体系的运动幅值与w w1或w w2有关当w w1或w w2时 体系发生共振 其稳态响应的幅值为无穷大当w 21 2w1时 体系的第一个质量的幅值为零 即u10 0 这就是吸振器 调谐质量阻尼器 的工作原理 第七章多自由度体系的动力响应分析 体系幅值与激励频率的响应 第七章多自由度体系的动力响应分析 考虑如图所示的单自由度无阻尼体系 当激振频率w接近体系的固有频率w0时 质量m1 主系统 的运动幅值将变得很大 为减少主质量的运动幅值 在主质量m1上附加一个弹簧和质量 称为吸振器 构成两自由度体系 记 第七章多自由度体系的动力响应分析 则根据前面的结果 有 可见 当时 主质量m1的振幅为零 为减少在主质量固有频率w1 附近的振动幅值 可令 即吸振器的固有频率被调谐到主系统的固有频率 2多自由度体系动力响应的振型分析法ModalAnalysisforDynamicResponsesofUndampedSystems 第七章多自由度体系的动力响应分析 对于具有粘滞阻尼的多自由度体系 其方程为 设无阻尼体系的固有频率为wi 相应的振型为fi 令 代入运动方程可得 两边乘以振型fjT 可得 利用振型的正交性 并记 则有 第七章多自由度体系的动力响应分析 对于具有经典阻尼的多自由度体系 方程化为 此方程亦可表示为 wj和zj分别称为第j阶振型的固有频率和阻尼比 Mj Cj Kj和Pj分别称为第j阶振型fj的广义质量 广义阻尼 广义刚度和广义力 多自由度经典阻尼体系振型坐标的控制方程等价于单自由度体系的强迫振动方程 于是 可利用单自由度体系的相关结果研究多自由度体系的动力响应 第七章多自由度体系的动力响应分析 对于无阻尼的多自由度体系 振型坐标方程可进一步化为 或者 可得 利用振型的正交性 有 对于初始条件 第七章多自由度体系的动力响应分析 这样 将节点位移矢量u的N个耦合微分方程初值问题 转化为N个非耦合的振型坐标qj t 的微分方程初值问题 第七章多自由度体系的动力响应分析 求得振型坐标qj t 后 节点位移u为 其中 为第i阶振型对节点位移u的贡献 这种分析方法称为经典振型分析法 或经典振型叠加法 求得t时刻的位移u t 后 可计算结构单元 梁 柱等 的内力 一般可采用两种方法进行内力分析 第一种方法中 首先根据振型位移ui t 利用单元刚度矩阵计算第i阶振型位移对内力r t 的贡献ri t 而后 考虑所有振型位移 利用叠加原理得到总内力 第七章多自由度体系的动力响应分析 第二种方法首先计算与振型位移ui t 相关的等效静力 而后 将这些等效静力作用在结构上 利用结构静力分析计算内力ri t 最后 利用利用叠加原理得到总内力 第七章多自由度体系的动力响应分析 例计算如图所示体系在激励力p0sinwt作用下稳态响应的层间剪力V t 和位移幅值 设体系为经典阻尼 且振型阻尼比为zi 其中 解 体系的运动控制方程为 相应无阻尼体系自由振动的运动方程为 第七章多自由度体系的动力响应分析 固有频率的特征方程为 相应的振型为 由此得固有频率 于是 第七章多自由度体系的动力响应分析 于是 经典阻尼体系的振型坐标的方程为 根据粘滞阻尼单自由度体系的解答 方程的稳态解为 其中 第j阶振型的阻尼为 其中 第七章多自由度体系的动力响应分析 振型位移为 从而 层间单元剪力 第七章多自由度体系的动力响应分析 于是 层间剪力为 节点位移为 体系的位移为 第七章多自由度体系的动力响应分析 从而 位移幅值为 3振型响应贡献ModalResponseContributions 上述展式本质是将矢量s按照与振型相关的惯性力基矢量展开 因为 第i阶振型fi的惯性力为 第七章多自由度体系的动力响应分析 考虑一种特殊的激励力 各作用力pj t 随时间的变化是相同的 均为p t 其空间分布由矢量s确定 即 将矢量s展开为 称si为第i阶振型对s的贡献 si与振型的正则化无关 其中 可见 力向量sj只影响第j阶振型的响应第j阶振型的响应完全由力向量sj确定 第七章多自由度体系的动力响应分析 粘滞阻尼体系的运动控制方程为 将位移u按振型展开 可得振型方程 即 与此对应的等效静力为 第七章多自由度体系的动力响应分析 记粘滞阻尼单自由度体系的运动方程 的解为Dj t 记静力sj引起的结构内力为rjst 则等效静力sj产生的内力可表示为 从而 第j阶振型的振型位移为 则第j阶振型的坐标解为 振型贡献系数满足贡献系数为无量纲的贡献系数与振型正则化方式无关贡献系数之和为1 即 第七章多自由度体系的动力响应分析 总内力为 从而 总内力为 记静力s引起的结构内力为rst 则第j阶振型贡献系数定义为 则 第七章多自由度体系的动力响应分析 记粘滞阻尼单自由度体系的运动方程 解Dj t 的峰值为Dj0 t 即 引入第j阶振型的动力响应系数 则第j阶振型位移对响应贡献的峰值为 第七章多自由度体系的动力响应分析 可见 第j阶振型位移对响应贡献的峰值由四项组成第j阶振型单自由度体系的动力响应系数Rdj第j阶振型的贡献系数s引起的静力响应rst激励力p t 的幅值p0 动力响应系数Rdj和幅值p0取决于作用力的时间变化规律 与空间分布无关 静力响应rst和贡献系数仅取决于作用力的空间分布s 与时间t无关 在动力分析中 贡献系数和动力响应系数Rdj影响各振型对响应的贡献 而rst和p0与振型无关 第七章多自由度体系的动力响应分析 在分析某一具体体系 结构 的动力响应时 如果体系的自由度数目N不是很大 一般可包括所有的振型进行分析如果体系的自由度数目N很大 包括所有的振型进行分析将导致巨大的计算量 为此 一般只考虑有限的前几阶振型 如前J阶振型进行计算 这些前几阶振型数目的确定需要综合考虑振型贡献系数和动力响应系数 4特殊分析方法SpecialMethodsforAnalysis 考虑N自由度体系 将所有N个振型分为两部分固有周期为Ti的前Nd阶振型 其动力效应显著 Rdn远大于1固有周期为Ti的Nd 1到N阶振型 其响应基本上是静力的 Rdn接近于1 第七章多自由度体系的动力响应分析 我们已经知道 对给定的激励 结构某些高阶振型的动力响应系数Rdn可能只略大于1 即这些高阶振型的响应基本上是静力的 因此 可通过静力分析确定 这就是静力校正法的本质 于是 总响应为 第七章多自由度体系的动力响应分析 于是 振型对响应的贡献可表为 其中 一般情况下 第i阶振型的响应为 对于Nd 1到N阶振型的响应 由于几乎为静力响应 因此 满足 Di t 为第i阶振型单自由度体系的响应 即满足 于是 只需计算前Nd阶固有频率和振型第二个等式中方括号内的第二项是Nd 1到N阶高阶振型的静力响应第二项是对第一项动力响应解答的静力修正 因此 称为静力校正法 第七章多自由度体系的动力响应分析 由于 则 由于涉及加速度和速度的叠加 而不是振型的叠加 因此 这种方法称为振型加速度叠加法 第七章多自由度体系的动力响应分析 另外 由于 对于Nd 1到N阶高阶振型 如果其响应几乎为静力的 则 则总响应亦可表示为 第七章多自由度体系的动力响应分析 可以证明 静力校正法和振型加速度叠加法是等效的两种方法的选择