【文档】小学生“估计”能力的层次及特点研究资料 《节余多少钱》（数学北师大三上）.pdf

i 摘 要 摘 要 重视培养学生的 估计 能力已成为中小学数学课程发展的趋势之一 在我国 2001 年颁布的 义务教育数学课程标准 以下简称 标准 中 在第一 二学段 在 标准 中 将小学阶段分为两个学段 第一学段为 1 3 年级 第二学段为 4 6 年级 都提出了 对 估计 的教学要求 如 能结合具体情境进行估算 能用方格纸估计不规则图形的 面积 等 估计 作为新的内容进入中小学课程 在理论研究 课程设计及教学实践等 方面还需要深入研究 本文主要围绕第一 二学段学生 估计 能力的不同层次及具体表 现展开讨论 本研究从数学课程的角度出发 分析 估计 的数学内涵 以及 估计 与小学阶段 其他数学内容的联系 分析 标准 对 估计 的定位与要求 在此基础上 笔者对第一 二学段学生的 估计 能力的不同层次作出预设 形成测试框架和试题 根据测试结果 对每个层次进行客观的描述和分析 并对预设做相应的修正 同时指出学生作答的一些典 型错误 并对错误的原因进行分析 依据调查研究的结果 为 估计 的课程设计 教学 学习及评价提供合理的建议 本研究主要从 估计 所包含的数学知识 经验 估计 意识三个角度出发考察学 生的 估计 能力 回答了以下三方面的问题 1 估计 所包含的数学知识 在小学数学课程中 哪些具体内容可以成为 估 计 的载体 在对这些具体内容进行估计时 不同学段学生的层次及具体表现如何 在估计过程中出现了哪些典型错误 2 经验 讨论 个人经验 群体经验 社会经验 科学经验 对 估计 能力 产生了何种影响 专门讨论了对生活中常见量的 估计 不同学段学生的层次及具体 表现如何 在估计过程中出现了哪些典型错误 3 估计 意识 不同学段学生在 估计 意识上的层次及具体表现如何 在 估计过程中出现了哪些典型错误 针对测试结果中的部分典型错误和问题 笔者又对学生和教师进行了访谈 分析了问 题出现的原因 最后 结合调查研究的结果 笔者对 估计 的课程设计 教学 学习及评价提出了 相关的建议 期望此研究能引起更多的对 估计 课程的思考与讨论 关键词 关键词 估计 界 单位 数量级 误差 近似 经验 估计 意识 ii Abstract It has become one of the trends in the development of primary and secondary mathematics curriculum that people pay more and more attention to cultivate student s estimation capacity China published the Obligation Education Mathematics Curriculum Standards in 2001 proposing some requirements about the estimation in the first and second stages such as able to estimate in concrete situations able to use grid paper to estimate the area of an irregular figure and so on As a kind of new content coming into the elementary mathematics curriculum the deep research is so necessary about theory curriculum design teaching practice and so on This article has mainly talked about the different level and its concrete performance about the first and second stages From the perspective of mathematics curriculum this research has revealed the mathematics nature about estimation as well as cleared up the relation between estimation and the other mathematics content in primary stage and also analyzed the Standard s requirements about estimation After that the author has made some presuppositions about the different level about the estimation capacity between the two stages and then developed the test framework and some items about the estimation According to the results of test the author has described and analyzed the features of each level objectively and also calibrated the presuppositions at the same time the author has pointed out some typical mistakes that reason has also be analyzed On the base of the results of this research the author has provided some recommendations for curriculum design teaching learning and evaluation about the estimation curriculum The test about students estimation capacity in this research has been evaluated from three aspects such as mathematics knowledge experience and estimation consciousness This research has answered the following three questions 1 What mathematics knowledge does the estimation contain What kind of specific content can be the carrier of estimation in primary mathematics curriculum How about the level between the different stages when they are estimating the specific content and how about the concrete performance of different levels Which typical mistakes appeared when they are estimating 2 Experience Discussing how does kinds of experience impress students estimation capacity such as personal experience group experience social experience and scientific iii experience Specially discussing how about the level between the different stages when they are estimating common quantities in the real life and how about the concrete performance of different levels Which typical mistakes appeared when they are estimating 3 Estimation consciousness How about the level between the different stages about the estimation consciousness and how about the concrete performance of different levels Which typical mistakes appeared when they are estimating After the test the author has also interviewed with some students and teachers about some typical mistakes and problems to find out the reasons Finally with the results of the investigation the author has provided some specific recommendations for curriculum design teaching learning and evaluation about the estimation curriculum Sincerely hope this research will lead to more thought and discussion about the estimation curriculum Key words estimation boundary unit magnitude error approximation experience estimation consciousness iv 目 录目 录 第一章 研究背景和问题提出 1 1 1 问题提出的背景 1 1 1 1 估计 的价值 1 1 1 2 估计 在数学课程中的发展历程 3 1 2 文献综述 6 1 2 1 关于 估计 分类的文献综述 6 1 2 2 其他与 估计 有关的内容的研究现状 7 1 2 3 存在的问题 10 1 2 4 基本概念的界定 11 1 3 本论文的研究主题及价值 11 1 4 本论文的研究思路和方法 12 第二章 估计 的数学内涵和小学阶段与 估计 有关的数学内容 14 2 1 估计 的数学内涵 14 2 2 估计 与小学阶段其他数学内容的联系 16 2 3 小学阶段 标准 对 估计 的定位与要求 20 2 4 小结 24 第三章 调查过程 25 3 1 测试框架及题目的研制 25 3 1 1 构架测试框架 25 3 1 2 测试题目的形成过程 30 3 2 评分标准 32 3 3 调查方法 32 3 4 被试的选取 33 3 5 测试过程及访谈的设计 34 第四章 对调查结果的分析及讨论 35 4 1 从 估计 所包含的数学知识角度考察 估计 能力 35 4 1 1 不同学段 估计 能力的层次及具体表现 35 4 1 2 一些常见错误及典型题目分析 41 4 1 3 造成上述错误的原因 45 4 2 从经验角度考察 估计 能力 48 4 2 1 不同类型的经验对 估计 能力的影响 48 4 2 2 不同学段在 估计常见量 上的层次及具体表现 49 4 2 3 一些常见错误及典型题目分析 50 4 2 4 造成上述错误的原因 51 4 3 对 估计 意识的考察 54 v 4 3 1 不同学段 估计 意识的层次及具体表现 54 4 3 2 一些常见错误及典型题目分析 55 4 3 3 造成上述错误的原因 56 第五章 结论 建议 问题 58 5 1 结论 58 5 2 建议 60 5 2 1 对课程标准及教材的建议 60 5 2 2 对 估计 教学的建议 61 5 2 3 对 估计 评价的建议 64 5 3 收获和需要进一步研究的问题 66 参考文献 68 附录 1 71 附录 2 75 致谢 80 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 1 第一章 研究背景和问题提出 1 1 问题提出的背景 随着社会的发展 估计 能力的培养越来越被人们所重视 估计 已成为现今基础 数学课程改革十分重视的内容 尤其是在小学阶段 许多国家的数学课程标准中都不同程 度的提出了对 估计 的教学要求 估计 进入中小学课程是一个新事物 在理论研究 课程设计及教学实践等方面还需要深入研究 1 1 1 估计 的价值 1 估计 的应用价值 估计 在现实中的应用极为广泛 生活中的许多问题和情境都要求进行 估计 并且仅仅用 估计 就能很好的解决问题 例如 在很短的时间内 我们要判断某个受灾 地区所需帐篷的数量级 所需粮食吨数的量级 召开会议之前需要判断现有的会议室大约 可以坐多少人 能否满足会议需要 大致能估计自己在超市中所购买物品的费用 并能快 速判断收银员收钱的数目是否符合实际 预计装修一所新房的费用 在这些生活情境中 有些是由于条件不足 无法精确计算 有些虽然可以精确计算 但需要耗费很多时间和精 力 使用 估计 往往就能简单快速的解决问题 随着时代的发展 应用 估计 的领域越来越多 如果把 估算 估测 等与 估 计 密切相关的词条输入网络在线的搜索引擎 会出现诸如 基金净值估算 投资成本估 算 等热门话题 一切数学内容的学习 都应该是来自于现实社会的需求或将来有助于现 实社会的发展 估计 的学习也是一样 在笔者对从事以下几个行业的人的访谈中 可 以证实这一点 餐馆老板 干我们这行的对数字接触的很多 拿最普通的说 每天计划第二天进货用的钱就是在 进行估算 估算不好 有时也挺误事的 还有我们每天每样菜进多少 都要依据行情有个大概的估计 开始估计不好 不过慢慢的就差不多了 建筑工作者 估测是我们工作中常常要用到的 虽然精确的测量对我们来说非常重要 但有时在 进行精确设计和计算之前 我们脑子里都会先有一个估计 这些估计多半来自于以往工作的经验 高中物理老师 会接触估 其实物理 尤其是天体物理中 估是很常见的 天体物理中一些大的 量或特别微小的量 其实很难测算出具体的数值 或者不需要具体的数值 反而是根据其他数据估出 的量级很重要 餐馆老板 干我们这行的对数字接触的很多 拿最普通的说 每天计划第二天进货用的钱就是在 进行估算 估算不好 有时也挺误事的 还有我们每天每样菜进多少 都要依据行情有个大概的估计 开始估计不好 不过慢慢的就差不多了 建筑工作者 估测是我们工作中常常要用到的 虽然精确的测量对我们来说非常重要 但有时在 进行精确设计和计算之前 我们脑子里都会先有一个估计 这些估计多半来自于以往工作的经验 高中物理老师 会接触估 其实物理 尤其是天体物理中 估是很常见的 天体物理中一些大的 量或特别微小的量 其实很难测算出具体的数值 或者不需要具体的数值 反而是根据其他数据估出 的量级很重要 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 2 以上这些访谈都说明 估计 能力的培养对日常生产生活是很重要的 尤其是现在 随着社会发展 精确的计算都可以由计算机 器 来完成 日常生活中 估计 的作用也 就越来越突出了 即使是利用工具的计算 也离不开 估计 例如 计算机 器 运算 的结果多是近似的 计算机 器 所计算的结果常常需要人们用快速的 估计 来验证其 合理性等等 可以说 一个人 估计 能力的强弱会直接影响到生活节奏的快慢和工作效 率的高低 估计 能力已经成为一种生活和工作中的基本能力 2 估计 的教育价值 估计 不仅具有广泛的应用价值 也具有重要的教育价值 在最近的一次数学课程改革中 与 估计 相关的许多内容都作为小学数学新课程的 新增内容出现 原有的一部分内容的定位和要求也发生了变化 全日制义务教育数学课 程标准 实验稿 以下简称 标准 中指出义务教育阶段的数学课程应突出体现基 础性 普及性和发展性 强调人人都能获得必需的数学 从这个角度看 估计 被加入 到新课程中是很有必要的 估计 在生活中的应用十分广泛 培养孩子的 估计 意识 引导他们运用恰当的 估计 策略体现了数学课程的实用性 另外 估计 被经常运用 到生活中去 是培养孩子的数学学习兴趣和良好学习习惯的有效途径 一切课程内容的设置都有其目的性 估计 被加入到小学数学课程中 并且在各个 内容领域 数与代数 空间与图形 实践与综合应用 各个学段 在 标准 中 将小 学阶段分为两个学段 第一学段为 1 3 年级 第二学段为 4 6 年级 中循环往复出现 除了它的实用性较强 与生活实际联系紧密外 还有一个重要原因就是 良好的 估计 有助于小学生形成对数和图形的感觉 例如 有这样一个题目 右图中 大罐子大约能装 右图中 大罐子大约能装 块糖 块糖 A 40 B 80 C 100 D 150 在解答这个题目的过程中 学生首先要根据图形对 30 是多少有个度量 然后根据大小 两个容器的容积之比 实质是长度之比 来估计大罐子所装的糖数 看似简单的过程 却 有很多好的教育价值在其中 在孩子思考的过程中 30 不再是排在 29 后面的一个 抽象的符号和数 而是他想象中糖的粒数 30 一下子被具体化了 在比较两个容器容 积大小的过程中 发展了孩子的空间观念 尤其是对长度之比有了具体的感知 在最终估 计并确定糖的数目时 孩子要根据选项 例如 40 想象 40 比 30 多多少 多的这 10 国家教育部颁布 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 M 北京 北京师范大学出版社 2001 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 3 粒应该有多高 如果 40 不对 那再多多少就合适了 这一系列思考的过程 无疑是发 展了学生的数感 加深了学生对计算或测量结果的概括性 整体性的认识和理解 并能促 进儿童对数量关系和空间形式的合理判断与推理 实际上 许多数学教育家和课程设计者对 估计 的教育价值都是认同的 义务教育 数学课程标准研制组的成员刘晓玫认为 估算可以帮助学生发展对概念和过程的理解 增强他们应用数量关系进行计算和测量的灵活性以及对结论合理性的认识 也是提高学生 处理日常数量关系能力的有效方法 所以 它应该成为学生学习数 计算和测量的不断发 展的部分 估计 不仅在培养学生对数和图形的感觉上体现出价值 对于培养学生应用数学的 意识 发展学生的数学思维也是不可缺少的 估计 能力的形成要以其他思维能力为基 础 以对数和图形的感觉为载体 同时它还要求 估计者 能够使用以往处理问题的经验 是一种较为复杂的思维能力 我国著名的教育专家郑毓信 就指出 估计 学习具有两个重要意义 第一 有益 于学生对于相应数学概念与知识的理解 估算的学习有利于培养数感 第二 也十分有利 于学生思维的训练 特别有益于增强思维的灵活性和创造性 综上所述 正是由于 估计 所具有的这些实用价值和教育价值 才使得我们对有关 估计 的调查和研究有现实的意义 1 1 2 估计 在数学课程中的发展历程 在小学数学教育的悠久历史中 估计 还是一个相对较新的内容 二十世纪 80 年代 之前 很少有研究注意到 估计 这一领域 但八十年代之后 国外出现了对 估计 尤 其是估算 的研究热潮 国内对 估计 的研究还要更晚一些 即使到今天 比较深入的 研究也并不多见 尤其是从数学本身和课程角度来研究 估计 的 就更是少有了 1 估计 在国外课程和课程研究中的历史 现状及发展趋势 在上世纪 80 年代前 有关 估计 的教学内容一直都没有得到重视 甚至很少有学 者或教育学家提及 但是随着科学技术的进步和计算机 器 的普及 人们对计算方式的 理解开始有所转变 刘晓玫 汪会玲 结合 TIMSS 看课程对估算的定位与要求 J 小学青年教师 数学版 小学数学课程建设与教材研讨 会专辑 郑毓信 国际视角下的小学数学教育 M 北京 人民教育出版社 2004 年 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 4 在上世纪 70 年代前 只有极少数比较分散的研究涉及有关 估计 的内容 从可查 阅的资料看 直至 20 世纪 70 年代末 80 年代初 美国教育专家 Carpenter 等 作为这方面 的先驱者才开始对 估计 重视起来 自此展开了对 估计 的讨论 1977 年 全美数学 指导委员会提出了十项基本技能领域作为发展基本技能的基础 其中就包括 估计和近 似 NAEP 全美教育进展评估 在报告中指出 不同年级的学生在估算上的表现都相 当差 因此 NCTM 全美数学教师联合会 在 1980 年将估算列为课程主题 并在 1986 年出版了 估算与心算 年鉴 鼓励教师和研究人员共同探讨估算的教学与学习问题 他 们在 1988 年更将估算列为五个重要的教学主题之一 日本国立教育研究院科学教育研究中心于 1989 年根据日本教育部所修订的课程标准 编辑出版了 日本中小学数学课程 该课程规划中有用概数 近似数 来估计四则运 算结果的要求 强调小学五年级之后 教师必须提供适当的学习情境 以利于学生使用估 算来求解结果和检验结果的合理性 当时估算在课程目标中虽已明文规定 但在实际教学 中并没有得到教师的重视 在澳大利亚的数学课程标准的内容结构分支 数 和 测量和估计 中 分别强调了 估算与估测 能将 测量和估计 作为六个分支中的一个 可见 估计 在澳大利亚的 数学课程内容中已经得到了很高的重视 此外 对 估计 能力的培养还渗透在课程标准 的各个分项目标之中 如在 时间 分项中要求学生 估计 测量和计算时间的流逝 此外 在德国的数学课程标准中有对各种物体的长度进行估测的要求 还有在解决问 题的过程中对结果进行估计的要求 荷兰则在其 1998 一 2003 年的数学课程目标中规定 学生应能做估算 包括与小数和分数有关的估算 并能对估算结果的正确性做出大体上 的判断 在中学阶段数学课程的具体目标中则明确地将估算同算术和测量列在一起 规 定了 学生应能根据参考资料估计计算或测量的结果 并能通过 估计检验 来判断这个 结果是否在允许的范围内 加拿大在一到九年级的数学课程标准 数字识别与计算 的 目标中规定 到六年级末 学生应当能运用所有的整数 小数和分数 通过选择恰当的 运算方法 包括心算 估算 计算器 纸笔运算 解决问题 上述这些文献表明 在国际数学教育界 数学教育工作者已经意识到了 估计 的重 要性 从最初对 估计 的比较模糊的认识 到现在将 估计 纳入课程标准中并不断进 行讨论 这不能不说是一大进步 重视 加强 估计 能力的培养已经成为课程发展的趋 司继伟 小学儿童估算能力研究 D 西南师范大学心理学系暨心理学研究所 2002 綦春霞 澳大利亚数学课程标准的特点及其启示 J 比较教育研究 2006 7 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 5 势之一 2 估计 在国内课程和课程研究中的历史 现状及存在的问题 国内对 估计 的重视与国外相比 时间上是滞后的 在二十世纪九十年代以后编写 的九年义务教育小学数学教学大纲和教科书中才被首次引入 国家教育部 1999 年颁布的 九年义务教育全日制小学数学教学大纲 试用修订版 中强调了关于估算的教学要求 要使学生 具有估算意识和初步的估算能力 并在教学 内容的确定和安排上指出 估算在日常生活中有广泛的应用 在各年级应适当加强估算 同时在教学中应该注意的几个问题中提出 要重视培养学生估算的习惯和能力 由于估 算是新增内容 所以 大纲 仅在小学四年级的教学内容中提到要安排学生进行 大数目 估算 并提出了运用估算对四则运算的结果进行大致的检验 应 大纲 的要求 同时期的教材也随之出现了 估计 但整套教材对 估计 的 呈现稍显零碎 形式单一 无法体现出课程设计者对学生 估计 能力培养的完整意图 使许多教师误认为这部分内容可有可无 所以这一时期的 估计 内容虽已进入了 大纲 但是还没有引起重视 在平时课堂上很少涉及 在各个阶段的考试中就更鲜有出现 估计 在国内真正得到重视 并有计划的进入到平时教学中 是在 2001 年国家教 育部颁布的 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 以下简称 标准 后 虽然在 改革初期 估计 在教学与学习中的地位依然与许多教育学家和课程专家所设想的相距 很远 众多一线教师对如何培养学生的 估计 能力和 估计 意识也没有很成熟的想法 但 估计 教学已经出现在了一些学校的课堂上 这本身就是迈出了关键性的一步 在 标准 颁布后 相应的教材里也调整了有关 估计 的内容 教材的改变 使以 前 估计 在课本中形同虚设的情况转变了 教师们开始接受这一新生的事物 并将它带 入课堂 在国内的一些权威期刊上 也开始看到许多有关 估计 的文章 对 估计 的 讨论开始在国内出现热潮 但是 当前许多小学教师对如何把握 估计 这一新增内容还没有比较成熟和完整的 想法 教育专家对如何开展 估计 教学也没有形成合理的建议 为什么会造成这样的现 状 追根溯源 我们要思考 估计 的数学内涵是什么 它所包含的数学思想有哪些 它 与小学阶段的其他内容有什么联系 只有知道这些 才能解释为什么要将 估计 纳入到 新课程中 教师才会摆脱认识上的误区 解决当前教学和评价中的一系列问题 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 6 1 2 文献综述 1 2 1 关于 估计 分类的文献综述 由于国内 估计 课程出现的时间较晚 所以 估计 还没有像其他传统数学知识和 技能那样受到广泛的关注 也有研究者试图给 估计 划分类型 例如我国学者鲍建生 指 出 估计 是人类的一种最频繁的心理活动之一 它至少包括以下一些类型 日常生活 中的 估计 测量中的 估计 有效的精确度 价值性 估计 利用计算机 器 的 估计 从现有的研究来看 小学阶段 根据 估计 对象的不同 大众比较认同的 估计 主要有三种类型 计算 估计 简称为估算 测量 估计 简称为估测 和数量 估 计 简称为估数 O Daffer 估算主要是针对计算中的 估计 来说的 是指个体拥有估算意识 通过对原始数字 的近似值进行一些心理计算从而找到计算结果 应用相关知识和策略给出近似答案的能力 义务教育阶段最早提出的与 估计 有关的就是利用四舍五入法进行算数的 估计 是没有必要进行精确计算或做出严格判断时通常采用的计算方法 估算的结果受到计算手 段和实际情境的制约 我们平时接触较多的是 估算 这个名词 在通常情况下 我们不 将 估计 与估算分开来讲 估测是一种非常实用的日常数学技能 Bright 1976 将估测界定为 在不使用一般 的测量工具的情况下 以某种方法推测出测量结果的一种心理加工过程 掌握物理测量的 基本规则是基础数学教育的一个中心主题 它是其它数学基本概念如比率 分数的基础 已有研究表明估测可以为物理测量教学提供一个有效途径 估测主要包括长度 估计 面积 估计 重量 估计 温度 估计 和角度 估计 等 约为多少 通常属于估数 它要求在某种背景下给出一个单位数 以单位数为基础 通过某些心理策略对事物进行数量的估计 例如要估计一个剧院的座位数 我们可以先估 计前五排有多少个座位 再估计有几个五排 然后再相乘 此时 前五排的座位数 就 成为了 估计者 心中的单位数 鲍建生 估计 数学教育面临的新课题 J 教育研究 1997 O Daffer P A case and techniques for estimation Estimation experiences in elementary school mathematics essential not extra Arithmetic Teacher 1979 26 6 46 51 司继伟 小学儿童估算能力研究 D 西南师范大学心理学系暨心理学研究所 2002 孟丽丽 青少年测量估计的特点及其教育干预 D 山东师范大学 硕士学位论文 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 7 现有的研究多是采用以上这三种分类方式 它们是依据 估计 对象和内容的不同划 分的 另外 在一些有关 估计 的研究中 没有对 估计 和 近似 做出明确区分 在 平时教学中 一些教师也将 估计 狭义的理解为近似或者是对运算结果的四舍五入 这 样的理解是不准确的 学者 Hall 认为 估计 和 近似 不是同义的 估计 通常是一 种心理练习 而 近似 则是计算中的一种手段和工具 估计 的内涵较为宽泛 所包 含的数学模型和数学思想也更多 而 近似 通常是一种工具 更多是应用在数的运算方 面 即使同是数的运算 二者也有所不同 例如 对算式 1299 1801 我们可以利用 估 计 来比较这个算式与 3000 的大小 而 近似 只是在 估计 过程中所使用的一种手 段 近似是有一定计算规则的 而 估计 并没有固定的规则 同时 在进行 估计 的 过程中 也需要运用一些合理的推理和判断 综上所述 现有的研究多是依据 估计 的对象和内容将 估计 划分为估算 估测 和估数三种类型 从数学的角度看 这三种 估计 类型拥有共同的特点 例如 都需要 首先确定数量级 结果的正确与否都需要评价者给定误差范围才能确定 结果的正确与否 与实际情境密切相关等 1 2 2 其他与 估计 有关的内容的研究现状 估计 的研究是比较复杂的 因为每个人的 估计 特点和能力不仅与个人所受的 这方面的教育有关 也与个人的生活经历 心理等因素有关 美国著名学者 Reys 就曾指 出 估计 看来是一个用于研究概念知识及其获得的良好途径 因此对 估计 的研究 不仅就其本身而言非常重要 而且它对于揭示个体数学认知的发展和更一般意义上的认知 发展也相当重要 20 世纪中叶以来 社会发展非常迅速 数学本身也发生了巨大的变化 自 80 年代 Carpenter 等人发现学生缺乏必要的估算技能来适应实际需要后 便出现了对 估计 的研 究热潮 随着 估计 课程日益广泛的开展 对 估计 的研究越来越多 大致可以分为 以下几类 1 对不同群体学生的 估计 能力的研究 Hall L T Jr Estimation and approximation not synonyms Mathematics Teacher 1984 77 7 Bestgen B J Reys R E Teaehingkidstoestinlate Instruetor J 1982 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 8 迄今为止 有几位研究者对不同人群的 估计 能力进行了研究 其中对小学生和大 学生的估算能力的研究较多 尤以对小学生的研究较为常见 对初中生的研究并不多见 这些研究多是针对估算 对测量和其他数学领域的 估计 的研究还很少见 但是随着时 代的发展 人们对 估计 研究的不断深入 研究的领域也有所拓展 已有对 估计 的研究中 西南师大司继伟博士的 小学儿童估算能力研究 是比较 全面的 作者在这篇文章中根据认知加工心理学原理 结合已有的估算理论和相关研究 提出了估算加工过程的元认知理论 该理论假设认为个体的估算大体上经历了三个大的步 骤 重新表述数字 心算和补充 元认知因素影响估算的全过程 包括数字的重新表述 心算程序的执行 初始结果的调整等 在这项研究中 尝试性的将小学儿童的估算能力划 分为三个水平 第一级是了解和理解估算层次 第二级是策略掌握和应用估算层次 第三 个水平为策略评价与应用估算层次 这是国内首个通过自编测试将小学生的估算水平进行 划分的例子 2 对 估计 策略的研究 在国内外有关 估计 的各类研究中 以对估算策略的研究最为多见 目前人们己经 发现了多种估算策略 Levine 1982 最早研究了大学生在估算中使用的策略 发现共有 八种 1 使用分数关系 2 将数字重新写成代表性成分 3 将两个数字取整为 10 的倍 数 4 只将一个数字取整为 10 的倍数 5 用 10 的指数代替一个数字 6 用已知的数 字代替数字 如已知的关于积的数字 7 给数字的一部分配对 8 使用标准算法来粗略 计算并合并部分答案 Lemaire ecacheur Farioli 2000 考察了十岁儿童运用的估算策略 发现共有四种 带分解的调整整数 不带分解的调整整数 截掉零数和构成互补关系 我国台湾学者林彩风 在其硕士论文中 利用自编估算能力测验和相关因素测验探讨 了小学生的估算能力 常用的估算策略以及发展估算能力所需要的数学概念和技巧 结果 发现小学四 六年级儿童使用的估算策略包括 四舍五入法 无条件舍去法 取 5 为近似 值 相容数字法 合 10 计算法 改良首位法以及粗略心算 而梁崇惠 则在其硕士论文 中发现大学生使用了如下策略 使用分数 使用熟悉的或较理想的数 舍入两个数 舍入 一个数 因素分解 类似纸笔计算的程序 分配率 参考数 数和运算的等同形式和指数 Levine D R Strategy use and estimation ability of college students Journal for Research in Mathematics Education 1982 Lemaire P Lecacheur M Farioli F Children s strategy use in computational estimation Canadian Journal of Experimental Psychology 2000 林彩风 国小儿童估算能力及估算策略之分析研究 D 国立台中师范学院初等教育研究所硕士论文 1995 梁崇惠 职前教师估算策略之研究 D 国立彰化师范大学科学教育研究所硕士论文 1993 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 9 率 她认为后三种是以往研究中没有发现的 有关估测和估数的策略使用情况 现有的研究并不多 山东师范大学的孟丽丽 在她 的硕士论文 青少年测量估计的特点及其教育干预 中写到 青少年可以自发的在估测中 使用策略 所使用的策略主要是单位迭代和参照点 其中单位迭代是学生使用的最主要策 略 使用单位迭代策略进行估测的学生的成绩显著好于不使用策略的学生 虽然现有的与 估计 相关的研究多是与策略相关的 但是 这样的研究是否值得提 倡还是有待讨论的 到目前为止 最根本的问题 估计 的数学内涵是什么 还没有 阐述清楚 或者说 在现有的研究中还没有提及 没有触碰到 估计 最本质的含义 在 这样的情形下来讨论其他有关 估计 的问题 尤其是策略 技巧等可能意义不大 所以 本文期待挖掘出这些最根本问题的答案 只有对研究主题有了清楚的认识 其他层面的研 究才有意义 3 对 估计 教学中面临的问题与对策的研究 估计 作为小学数学新课程的新增内容 在教学 评价等方面还面临着许多问题 例如 如何让 估计 真正走进孩子心田 让孩子们发自内心的喜欢 估计 在生活中 自觉地应用 估计 估计 教学要给学生一定的标准 让 估计 变得有依据 从 而引导学生自主学习 这样的标准应如何给出 刘加霞教授 曾提到 在估算教学中 尤其在低年级 经常遇到这样的尴尬 学生经 常说 老师 学估算没什么用处 只是您让我们估我们就估 只在课堂上有用 那么多的 估算方法 到底哪个对啊 教师也感觉估算教学与我们的美好期望相去甚远 是教师的教 学有问题 还是新课程标准提出的要求太高 估算到底怎么教才能有效 对于这些问题 教师也不知如何具体把握 刘加霞教授总结的问题 正折射出一些老师对如下几方面的认 识还不足 1 估计 的数学内涵 2 估计 的作用 3 估计 的教学目标 4 估计 结果的评判等 在提出这些问题的同时 许多专家和教师也对如何应对这些问题给出了他们思考的结 果 总体来说 包含以下五个方面 1 在教学过程中 可选用学生比较感兴趣的 与生 活实际联系紧密的素材 2 教师要组织学生交流各自的想法 引导学生运用 估计 解 孟丽丽 青少年测量估计的特点及其教育干预 D 山东师范大学 硕士学位论文 翁金坪 思考当前的小学估算教学 J 教学与管理 2007 8 孟凡英 我是这样想的 低年级估算能力培养一例 J 教育感言录 2006 3 刘加霞 尴尬 的估算并不尴尬 解读吴正宪老师的 估算 教学 J 吴正宪老师 估算 教学研究专辑 2005 9 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 10 决生活中的问题 培养学生的 估计 意识 3 培养学生口算 心算等计算能力 并与 笔算相结合 形成初步的估算能力 4 鼓励学生独立思考 提倡算法多样化 5 在 估 计 的过程中 培养学生的数感 提升学生解决问题的能力 在 估计 的教学领域中 还有许多问题值得我们深入思考 造成教师难教 学生难 学的根本原因是什么 是不是完全是教师的问题 与学生认知水平的发展有何种关系 标准 中的要求 对每个学段的学生是否适合 估计 的评价应如何进行 在这篇论 文中 希望我的研究结果能带给大家一些启示 1 2 3 存在的问题 前面回顾了与 估计 相关的研究现状 可以说 这些研究为如何设计 估计 的课 程 如何进行 估计 的教学 以及如何进行后继的相关研究都提供了非常有价值的信息 但是随着新课程改革的到来 估计 领域里有越来越多的问题展现出来 大家的意见也 呈现多元化 所以我们有必要理清目前 估计 的课程和研究中存在的问题 1 现有的研究中 多是将 估计 看成一项技能 实际上 估计 是有其数学内 涵的 包含有深刻的数学思想方法 这也是它之所以成为小学数学课程内容的根本原因 那么 什么是 估计 估计 的数学内涵是什么 它蕴含着什么样的数学思想方法 这些比较根源的问题在现有的研究中都鲜有提到 2 以往的研究多是从心理学的角度来研究 估计 与心理认知发展的关系 从数 学教育和数学课程角度出发的很少 而现在的 估计 已经发展成了数学课程的一个重要 内容 如果能从数学和课程的角度来研究 估计 这无疑会给现在的 估计 教学带来 好处 3 估计 虽已加入到数学课程标准中 但是标准对每一学段的要求与学生的 估 计 能力相适应吗 这就引出一个问题 估计 能力的学段间的层次是怎样的 形成 这样层次的原因是什么 4 对 估计 的评价一直是大家争论的问题 以对纯算式的估算结果的评判为例 有的研究者认为当估算结果处于实际答案的 50 范围内时认为答案正确 而另一些研究者 则使用在实际答案 15 之内即为合理 绝大多数人使用 30 之内即合理 的标准 实际 上 这不仅仅是 多大范围内就合理的问题 而是这样的考察方式本身就存在问题 也 就是题目本身是否合理 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 11 总体来说 由于 估计 是一个崭新的领域 许多思想还不成熟 许多实践还没有进 行 当然也就无法形成好的经验 所以 本研究将针对上述问题展开研究和讨论 期望能 真正解决其中的一个或几个问题 1 2 4 基本概念的界定 估计 能力是本研究的主题 要研究 估计 首先就必须对 估计 及其相关主 要概念做出界定 但实际上目前对 估计 并没有一个公认的定义 在本文中 我们综合 前人的观点及本文对 估计 的分析 将 估计 定义为在给定情境或结果的限定范围时 经过物理操作或心理操作迅速给数学问题提供一个近似答案的过程 而估算是在日常生 活 测量中无法或没有必要进行精确计算或判断时所采取的计算方法 是对数量关系和空 间形式的合理概算和推断 可以认为前者包含后者 即把 估算 看成是 估计 在计算 中的应用 但在实际情形中 我们一般不将 估计 与估算区分开来讲 因为它们的数学 内涵是极其相似的 1 3 本论文的研究主题及价值 重视培养学生的 估计 能力已成为中小学数学课程发展的趋势之一 标准 将小 学阶段分为两个学段 第一学段为 1 3 年级 第二学段为 4 6 年级 在每个学段都提出 了对 估计 的教学要求 强调了学习 估计 的必要性 可以说 小学阶段对 估计 能力的培养已经得到了普遍的重视 但是 估计 作为一个新事物 在课程设计 教学 学习和评价等方面还存在着许多困惑 我认为这些困惑来源于这样两个问题 1 估计 为什么要加入到小学阶段的 标准 中 2 现行的 标准 对 估计 的定位和要求适合于相应学段的学生吗 要回答这两个问题 我认为要从如下几方面进行思考 1 估计 的数学内涵是什么 这是最根本的问题 估计 能够成为小学阶段的 学习内容 一定是因为它包含了某些数学思想 而这些数学思想具有重要的教育价值 回 答这个问题是使得对 估计 的研究有意义的前提 2 估计 与小学阶段的其他内容有什么联系 哪些内容可以成为 估计 的载体 把这个问题弄清楚 我们才可以讨论小学阶段的 估计 要估些什么 估到什么程度是合 适的 3 第一 二学段学生的 估计 能力的层次如何 不同层次的具体表现是什么 首都师范大学 2009 届硕士研究生学位论文 12 把这个问题弄清楚 我们才可以回答 标准 对 估计 的定位和要求是否适合于相应学 段的学生 4 估计 是在一定的理论和实际背景下 综合推理 猜想 判断的一种思维活动 仅仅依靠数学学习是不能达到的 它的产生来源于经验 在不断发展中又受到经验的 影响 那么小学生所具有的经验对 估计 能力造成了什么样的影响 影响的结果是什么 回答了这个问题 我们才能够讨论实施什么样的教育干预有助于提高小学生的 估计 能 力 基于以上问题 本文将从数学课程的角度出发 分析 估计 的数学内涵 以及 估 计 与小学阶段其他数学内容的联系 分析 标准 对 估计 的定位与要求 在此基础 上 笔者将对第一 二学段学生的 估计 能力的不同层次作出预设 形成测试框架和试 题 根据测试结果 对每个层次进行客观的描述和分析 并对预设做相应的修正 同时指 出学生作答的一些典型错误 并对错误的原因进行分析 依据调查研究的结果 为 估计 的课程设计 教学 学习及评价提供合理的建议 需要说明的是 本研究所关注的层次仅仅是第一 二学段之间的层次 这里的 层次 是指 第一学段的学生能 估计 什么 第二学段的学生能 估计 什么 能 估计 到 什么程度 最终的结果会以这样的方式呈现 例如 第一学段约有 93 75 的学生能理解四 位数的量级是 千 但只约有 81 25 的学生能够利用 估计 来确定四位数的加法结果 的数量级 第二学段约有 84 78 的学生能够利用 估计 来确定五位数的加法结果的数量 级 但只约有 63 48 的学生能够利用 估计 来判断五位数加法结果的上下界 1 4 本论文的研究思路和方法 根据以上对研究主题的设定和对研究价值的分析 笔者将完成以下几项工作 1 分析 估计 的数学内涵 理清 估计 所包含的数学知识的脉络 分析 估计 与小学阶段其他数学内容的联系 找出哪些具体内容可以成为 估计 的载体 分析 标