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文档简介

流体力学 一 清净念 各向同性张量 无论坐标系如何转动 若张量的分量总是保持不变 与坐标系无关 这样的张量称为各向同性张量 标量 零阶张量 都是各向同性张量 矢量 非零 一阶张量 都是各向异性张量二阶各向同性张量 ij三阶各向同性张量 ijk四阶各向同性张量一般形式为 其中为 为标量 四阶各向同性张量 若四阶各向同性张量H关于下标i j对称 则有 且必然同时关于下标k l对称 其一般形式为 后面推演本构方程时有用 其中为 为标量 上式含义 展开 即 即只要证明四阶各向同性张量Hijkl能满足上述5个关系即可 论证依据 论证这些关系的方法是令坐标系绕三个坐标轴作几种特殊角度的旋转 一 证明 5 令坐标系ox1x2x3绕x1轴转180o 按右手法则转 得ox1 x2 x3 由张量定义 由各向同性张量定义 所以有 又例 由各向同性张量定义 同样道理 可证 凡下标中有奇数个 1 的分量均等于零 5 中一部分 如果令坐标系ox1x2x3绕x2轴或x3轴转180o 按右手法则转 得新坐标系ox1 x2 x3 则以同样方法 可以证得 凡下标中有奇数个 2 或 3 的分量均等于零 从而证明了展开式 5 二 论证下标中有偶数个 1 或 2 或 3 的分量 即 1 2 3 式 令坐标系ox1x2x3绕x1轴转90o 按右手法则转 得ox1 x2 x3 由张量定义 由各向同性张量定义 所以有 g 又有 由各向同性张量定义 所以有 a 同理可得 b c d e f a g 7个等式 类似地 如果令坐标系ox1x2x3绕x2轴或x3轴转90o 按右手法则转 得ox1 x2 x3 同样方法可得两组相应于 a g 的等式 由这21个等式可得 从而证明了展开式 1 2 3 三 最后讨论 与 之间的关系 令坐标系ox1x2x3绕x1轴转45o 按右手法则转 得ox1 x2 x3 由张量定义 由各向同性张量定义 于是证明了 4 全部得证 四阶各向同性张量一般形式为 其中为 为标量 若四阶各向同性张量H关于下标i j对称 则有 且必然同时关于下标k l对称 其一般形式为 证明 以及 由 以及 即可证得 不难证明各向同性张量H关于下标i j对称 必然同时关于下标k l对称 张量的概念复习 张量的概念是矢量和矩阵概念的推广 从物理上讲 研究对象的某种物理性质能够用一个没有方向的数量来表示 表示这种物理性质的这个量就是标量 例如温度 密度等 研究对象的某种物理性质能够用一个包含3个正交分量的物理量来表示 表示这种物理性质的这个量就是矢量 例如速度矢量 作用力 电场强度等 研究对象的某种物理性质需要9
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