三角形辅助线拓展习题一.docx

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线 ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD1. （全等）如图，点是中点，求证：2. （全等）如图，在中，是边的中线.求证：3. （全等）如图，在中，平分，为的中点，交延长线于.求证：4. （全等）如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.7.如图1，正方形中，对角线、交于点.操作：将三角板中的角的顶点与点重合，使这个角落在的内部，两边分别与正方形的边、交于、.当、的位置发生变化时，请你通过测量并回答，每组、三条线段中，哪一条线段是中始终最长.以、这三条线段能否组成以为斜边的直角三角形？若能，请你证明；若不能，请你说明理由.探究：如图2，点是斜线的中点，当角的顶点与点重合，使这个角在的内部绕点转动时，中的结论是否仍然成立？请你证明.2、 截长补短 截长补短法遇到求证一条线段等于另两 条线段之和，一般方法是截长法或补短法截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。（截长为两短，一段为一短，另一证全等，补短与长等，还是用全等）截长法：（1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等补短法:（1）延长短边。（2）通过旋转使两短边拼合到一起。 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。板块一、截长补短【例1】 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【例3】 如图2-9所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和()，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段()上截取与线段中的某一段(如)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段()相等 【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE【例6】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 变形：在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示） 板块二、全等与角度【例7】如图，在中，是的平分线，且，求的度数. 由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8】 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求. 借助角平分线造全等几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点 已知：如图，ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在ACB的平分线上 【例2】已知：如图，PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P，PDBM于D，PFBN于F求证：BP为MBN的平分线 【分析】要证BP为MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，故可过P作PEAC于E根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证 2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题例3ABC中，C=90，AC=BC，DA平分CAB交BC于D点，问能否在AB上确定一点E使BDE的周长等于AB的长请说明理由例4如图，B=C=90，M是BC上一点，且DM平分ADC，AM平分DAB求证：AD=CD+AB 3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例5.如图，已知ABC中BAC=90，AB=AC，CD垂直于ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD 分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（BCDBFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等 例6.如图，已知ACBD、EA、E