2017届高三数学二轮复习1.4.2数列求和及综合应用课时巩固过关练理.docx

课时巩固过关练 十一 数列求和及综合应用(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016成都一模)已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列1anan+1的前2016项和为()A.2 0162 017B.2 0152 017C.2 0152 016D.2 0162 015【解析】选A.设等差数列an的首项为a1,公差为d.因为a5=5,S5=15,所以所以所以an=a1+(n-1)d=n.所以=-,所以数列的前2016项和为1-+-+-=1-=.2.(2016南阳二模)已知数列an满足条件12a1+122a2+123a3+12nan=2n+5,则数列an的通项公式为()A.an=2n+1B.an=C.an=2nD.an=2n+2【解析】选B.由题意可知,数列an满足条件a1+a2+a3+an=2n+5,则n1时,有a1+a2+a3+an-1=2(n-1)+5,n1,两式相减可得:=2n+5-2(n-1)-5=2,所以an=2n+1,n1,nN*.当n=1时,=7,所以a1=14,综上可知,数列an的通项公式为:an=3.(2016安庆一模)各项均不为零的等差数列an中,若an2-an-1-an+1=0(nN*,n2),则S2016等于()A.0B.2C.2016D.4032【解题导引】将an2-an-1-an+1=0变形为an2=an-1+an+1,求其通项公式即可.【解析】选D.由题意得an2=an-1+an+1=2an,an0,所以an=2.所以Sn=2n,=22016=4032.4.(2016秦皇岛一模)满足a1=1,log2an+1=log2an+1(nN*),它的前n项和为Sn,则满足Sn1025的最小n值是()A.9B.10C.11D.12【解析】选C.因为a1=1,log2an+1=log2an+1(nN*),所以an+1=2an,an=2n-1,Sn=2n-1,则满足Sn1025的最小n值是11.【加固训练】已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k等于()A.9B.8C.7D.6【解析】选B.因为Sn=n2-9n,所以n2时,an=Sn-Sn-1=2n-10,a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(nN*),所以52k-108,得7.5k9,所以k=8.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016桂林一模)已知数列an中,an+1=2an,a3=8,则数列log2an的前n项和等于_.【解析】因为=2,a3=8,所以a2=4,a1=2,所以数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n,所以log2an=n,所以数列log2an的前n项和等于.答案:6.(2016太原一模)已知数列an的通项公式为an=2n-1,bn的通项公式为bn=2n-1,设cn=anbn,则数列cn的前n项和为_.【解析】因为cn=(2n-1)2n-1.设cn的前n项和为Sn,则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,两式相减得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以Sn=(2n-3)2n+3.答案:(2n-3)2n+3三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016开封一模)已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)依题意得,解得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1(nN*).(2)=3n-1,bn=an3n-1=(2n+1)3n-1,Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=3+2-(2n+1)3n=-2n3n,所以Tn=n3n(nN*).【加固训练】(2016石家庄一模)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn+1(nN*,-1),且a1,2a2,a3+3为等差数列bn的前三项.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)求数列anbn的前n项和.【解析】(1)方法一:因为an+1=Sn+1(nN*),所以an=Sn-1+1(n2),所以an+1-an=an,即an+1=(+1)an(n2),+10,又a1=1,a2=S1+1=+1,所以数列an是以1为首项,以+1为公比的等比数列,所以a3=(+1)2,所以4(+1)=1+(+1)2+3,整理得2-2+1=0,解得=1,所以an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.方法二:因为a1=1,an+1=Sn+1(nN*),所以a2=S1+1=+1,a3=S2+1=(1+1)+1=2+2+1,所以4(+1)=1+2+2+1+3,整理得2-2+1=0,解得=1,所以an+1=Sn+1(nN*),所以an=Sn-1+1(n2),所以an+1-an=an(n2),即an+1=2an(n2),又a1=1,a2=2,所以数列an是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.(2)由(1)知,anbn=(3n-2)2n-1,设Tn为数列anbn的前n项和,所以Tn=11+421+722+(3n-2)2n-1,所以2Tn=121+422+723+(3n-5)2n-1+(3n-2)2n.-得,-Tn=11+321+322+32n-1-(3n-2)2n=1+3-(3n-2)2n,整理得:Tn=(3n-5)2n+5.8.(2016成都一模)已知数列an的前n项和Sn=-an-+2(nN*)，数列bn满足bn=2nan.(1)求证：数列bn是等差数列.(2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn(nN*)的n的最大值.【解析】(1)因为Sn=-an-+2，令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，所以a1=，当n2时，Sn-1=-an-1-+2，所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+，所以2an=an-1+，即2nan=2n-1an-1+1.因为bn=2nan，即当n2时，bn-bn-1=1，又因为b1=2a1=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)可得bn=1+(n-1)1=n=2nan，所以an=.所以cn=log2=log22n=n，所以=-，所以Tn=+=1+-，因为Tn，所以整理得：13n2-45n-1000，(13n+20)(n-5)0，所以-n5，又因为nN*，所以nmax=4.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知数列an的前n项和Sn=n2-6n,则|an|的前n项和Tn=()A.6n-n2B.n2-6n+18C.D.【解析】选C.由Sn=n2-6n得an是等差数列,且首项为-5,公差为2.所以an=-5+(n-1)2=2n-7,所以n3时,an3时,an0,所以Tn=2.抛物线x2=12y在第一象限内的图象上一点(ai,2ai2)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中iN*,若a2=32,则a4+a6+a8等于()A.64B.42C.32D.212【解题导引】令y=f(x)=2x2,对其求导写出切线方程,即可求解.【解析】选D.令y=f(x)=2x2,所以y=f(x)=4x,则切线斜率k=f(ai)=4ai,切线方程为y-2ai2=4ai(x-ai).令y=0,得x=ai+1=ai.由a2=32,得a4=8,a6=2,a8=,所以a4+a6+a8=212.3.Sn是等比数列an的前n项和,a1=120,9S3=S6,设Tn=a1a2a3an,则使Tn取最小值的n值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9=,解得q=2,故=an=2n-1,易得当n5时,1,即TnTn-1,据此数列单调性可得T5为最小值.4.已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=4,a2+a4=2,则log2S2 017a2 017+1=()A.2016B.2017C.22016D.22017【解析】选B.设公比为q,则q=,所以=22017-1,所以log2=2017.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),nN*,其中Sn是数列an的前n项和,若ab,则数列anan+1an+4的最大项的值为_.【解析】因为ab,所以ab=2Sn-n(n+1)=0,所以Sn=,所以an=n,所以=,当n=2时,n+取最小值4,此时取到最大值.答案:6.f是点集A到点集B的一个映射，且对任意(x，y)A，有f(x，y)=(y-x，y+x).现对集合A中的点Pn(an，bn)(nN*)，均有Pn+1(an+1，bn+1)=f(an，bn)，点P1为(0，2)，则|P2017P2018|=_.【解析】由题意知P1(0，2)，P2(2，2)，P3(0，4)，P4(4，4)，P5(0，8)，根据两点间的距离公式可得，|P1P2|=2，|P2P3|=2，|P3P4|=4，|P4P5|=4，从而|PnPn+1|=2()n-1，所以|P2017P2018|=2()2016=21009.答案：21009三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知数列an的前n项和是Sn,且Sn+12an=1(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log3(1-Sn+1)(nN*),求适合方程1b1b2+1b2b3+1bnbn+1=2551的正整数n的值.【解析】(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,当n2时,因为Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,所以Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),所以an=an-1(n2),所以an是以为首项,为公比的等比数列.故an=2(nN*).(2)1-Sn=an=,bn=log3(1-Sn+1)=log3=-n-1,=-,+=+=-,解方程-=2551,得n=100.8.已知函数f(x)=x2-ax+a(xR)同时满足:函数f(x)有且只有一个零点;在定义域内存在0x1f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f(n)(nN*).(1)求函数f(x)的表达式.(2)求数列an的通项公式.(3)在各项均不为零的数列cn中,所有满足cici+10的整数的个数称为数列cn的变号数.令cn=1-aan,求数列cn的变号数.【解题导引】(1)看到函数f(x)=x2-ax+a(xR)有且只有一个零点,想到=0,从而确定解析式.(2)看到Sn求an,想到an=(3)看到求数列cn的变号数以及变号数的定义,想到从函数角度考虑数列的性质.【解析】(1)因为f(x)有且只有一个零点,所以=a2-4a=0,解得a=0或a=4,当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,故存在0x1f(x2)成立,当a=0时,函数f(x)