插值方法--数值分析课程设计论文.doc

数值分析课程设计报告学号 1309101104 姓名 黄圳娟 学号 1309101107 姓名 郑美美 学号 1309101125 姓名 黄福川 学号 1309101220 姓名 黄昌贵 学号 1309101221 姓名 庄慧斌 2011年12月 23日福建工程学院数理系专业课程设计成绩评定书设计题目： 插值方法 信息与计算科学 专业 指导教师 龙建辉 指导教师评语 成 绩： 指导教师 时 间： 答辩小组意见设计成绩： 答辩组长： 黄福川 审定 系主任： 插值方法1、摘要：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误差也一样。插值方法能够有效解决线性方程组来确定插值多项式的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大的严重病态。1、牛顿插值将待求的n次插值多项式改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件设，若存在一简单函数,使得。确定的待定系数，以求出所要的插值函数。2、哈密尔特插值是利用Lagrange插值函数将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。在利用插值的另一条件 求出插值函数。3、分段插值被插值函数的插值节点 由小到大 排序,然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用次多项式去近似。4、样条插值函数在区间上给定节点及其函数值，函数满足关键字：牛顿插值 哈密尔特插值 分段插值 样条插值2、实验设计目的2.1、插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误差也一样。2.2、 n +1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若n次，如设为jn+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,an, an+1需确定，而n +1个组节点，只构成n +1个插值条 件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。2.3、上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中需要用其它方式进行故不能用解方程组的方法获得插值多项式。我们利用牛顿插值、哈密尔特插值、分段插值、样条插值的方法可以有效解决n较大，方程组较多的繁琐的严重病态。3、插值方法的理论基础3.1、牛顿插值法由线性代数的只是可知，任何一个n次多项式都可以表示成：的线性组合。既可以把满足插值条件的n次插值多项式写成如下形式：其中，为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为，即 因此，牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示形式。设函数在等距节点处的函数值为已知，其中是正常数，称步长。我们称两个相邻点和处函数之差为函数在点处以为步长的一阶向前差分，记作，即，于是，函数在各节点处的一阶差分依次为又称一阶差分的差分为二阶差分。一般的，定义函数在点处的阶差分为。在等距节点情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。事实上，由插值条件可得；再由插值条件可得；一般的，由插值条件可得。于是，满足插值条件的插值多项式为3.2、哈密尔特插值若给出的插值条件有(m+1)个则可造出m次插值多项式.建立Hermite插值多项式的方法仍可采用插值基函数和均差插值的方法，较常见的一类带导数插值的问题，是在给出节点上已知要求，使(3.5.1)若用基函数方法表示可得(3.5.2)其中及是关于点的(2n+1)次Hermite插值基函数，它们为(2n+1)次多项式且满足条件(3.5.3)若f(x)在上存在(2n+2)阶导数，则其插值余项为(3.5.4)其中与x有关，。3.3、分段插值所谓分段线性插值是通过点用折线断连接起来逼近。设已知结点上的函数值，求一折线函数满足：1、2、 3、在每个小区间上是线性函数，则称为分段线性插值函数。模型1：由定义可知在每个小区间上可表示为 模型2：首先确定间隔序列，使得：第二个量是局部变量,其定义为：最后一个量是一阶均差则插值函数可表示为3.4、样条插值3.4.1样条函数的概念 所谓样条，本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体的说，给定区间的一个划分：如果函数满足：（i） 在每个小区间上是次多项式；（ii） 在上具有阶连续导数。则称为关于划分的次样条函数，其图形称为次样条曲线。称为样条节点，称为内节点，称为边界点，这类样条函数的全体记作，称为次样条函数空间。显然，折线是一次样条曲线。若，则是关于分划的次多项式样条函数。次多项式样条函数的一般形式为：,其中 和均为任意常数，而 在实际中最常用的是和3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数。 二次样条函数：对于上的分划，则 其中 三次样条函数：对于上的分划 ，则 其中。利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。3.4.2、二次样条函数插值首先，我们注意到 中含有 个特定常数，故应需要 个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：问题（1）：已知插值节点 和相应的函数值 (i = 0,1, n) 以及端点 （或 ）处的导数值 （或 ），求 使得 问题（2）：已知插值节点 和相应的导数值 以及端点 （或 ）处的函数值 （或 ），求 使得 事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。对于问题（1），由条件（7） 引入记号为位置向量，为已知向量。 于是，问题转化为求方程组的解的问题，即可得到二次样条函数的表达式。3.4.3、三次样条函数插值由于中含有 个待定系数，故应需要 个插值条件，已知插值节点和相应的函数值 ,这里提供了个条件，还需要2个边界条件。常用的三次样条函数的边界条件有 3 种类型：。由这种边界条件建立的样条插值函数称为的完备三次样条插值函数。特别地，时，样条曲线在端点处呈水平状态。如果 不知道，我们可以要求与 在端点处近似相等。这时以为节点作一个三次 Newton 插值多项式 ，以 作一个三次 Newton 插值多项式，要求由这种边界条件建立的三次样条称为 的 Lagrange 三次样条插值函数。特别地时，称为自然边界条件。,(这里要求)次条件成为周期条件。4、程序代码及运行结果4.1.1、牛顿插值代码：format long;way_in = input(请选择输入的内容(1或2):n1、输入为f(x)表达式，区间a,b及其等分数n的值n2、输入为f(x)表达式和插值点横坐标xi的值n);switch way_in case 1 f = input(请输入函数表达式:f(x) = , s); a = input(请输入区间左端值a：); b = input(请输入区间右端值b：); n = input(请输入区间等分值n：); np = input(请输入插值函数在区间内绘图点数(默认输入100)：); for i=1:n+1 x(i) = a + (b-a)/n*(i-1); y(i,1) = eval(subs(f,x(i),x); end for j=1:n for k=j:n temp=y(k+1,j)-y(k,j); y(k+1,j+1)=temp/(x(k+1)-x(k+1-j) ; end c(j)=y(j,j); end c(j+1)=y(j+1,j+1); for k=1:np-1 xx(k)= a + (b-a)/np*k; yy(k) = eval(subs(f,xx(k),x); end for k=1:np-1 xs=xx(k); for i=1:n+1 if i=1 s(i)=c(i); else s(i)=c(i); for j=1:i-1 s(i)=s(i)*(xs-x(j); end end end Nn(k)=sum(s); end way_out = input(请选择要绘出的曲线(1、2或3)：n1、同时输出原始曲线f(x)和插值曲线n2、只输出插值曲线n3、只输出原始曲线n); switch way_out case 1 figure; plot(xx,yy,r); grid on; hold on; plot(xx,Nn,b); legend(原始曲线f(x),插值曲线N(x); title(牛顿插值); case 2 figure; plot(xx,Nn,m); legend(插值曲线N(x); title(牛顿插值); case 3 figure; plot(xx,yy,g); legend(原始曲线f(x); title(牛顿插值); otherwise errordlg(请正确选择，输入只能为1、2或者3！,提示,on); end case 2 f = input(请输入函数表达式:f(x) = , s); xb = input(请输入插值节点的横坐标x:,s); x = sscanf(xb,%f); disp(x0,x1,.,xi分别为：); disp(x); n = size(x,1) - 1; if n= x0(i) & (x x=2.5 3.2 4.1 4.8 5.7x = 2.5000 3.2000 4.1000 4.8000 5.7000 y=5.0 5.8 6.3 5.6 7.2y = 5.0000 5.8000 6.3000 5.6000 7.2000 p1=spline(x,y); x1=2.5:0.1:5.7; y1=ppval(p1,x1); plot(x,y,ro,x1,y1,b:) p2=csape(x,y,complete,1 1.2); y2=ppval(p2,x1); plot(x1,y2,g:) p3=csape(x,y,variational); y3=ppval(p3,x1); plot(x1,y3,k+) plot(x,y,ro,x1,y1,b:,x1,y2,g.,x1,y3,k+)4.4.2、样条插值代码的运行结果：利用不同条件的三次样条插值结果如最后一幅图所示：5、结果分析牛顿插值法的优点是计算较简单，尤其是增加节点时，计算只要增加一项，这点是Lagrange插值无法比的。但是牛顿插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。哈密尔特插值函数在每个小区间上都收敛于函数。插值效果比较好，误差值小。分段插值分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。但是需要多次分段比较繁琐。样条插值具有连续的曲率，而许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这样充分利用了样条插值的优点。6、参