从测度论的观点看随机变量的收敛性.doc

从测度论的观点看随机变量的收敛性姓名：张蕊 学号：201430629 班级：14级数学教育1班摘要：本文主要从测度论的观点阐述分析随机变量的收敛性。在此首先用概率论的语言分析了概率、随机变量，并在此基础上探讨了随机变量的两种收敛。关键词：概率论；随机变量；测度论；收敛 引言：实变函数和数学分析的理论中,函数列的收敛是十分重要的概念,极限理论是其核心内容.一致收敛无疑是很强的收敛,在一般情况下很难实现,因而应用大受限制.处处收敛和几乎处处收敛的条件相对弱一些,然而,对于可测函数列来说,仅用处处收敛和几乎处处收敛的概念来描述它是不充分且不典型的,而依测度收敛就可以充分地说明问题.实变有很多地方需要基本的测度理论，它主要研究实函数作为一个空间的性质。最重要的方法就是勒贝格积分，然后可以扩展到黎曼空间等等。测度理论则是研究更一般的测度（不只是 勒贝格）和一般测度下函数的可积性之类的问题。可以认为测度论是实变里讨论的那个特定测度的抽象。两个有一定联系（有些性质都差不多），但是测度论研究的研究对象和实变还是有些区别的。 1.依概率收敛 1.1依概率收敛及其测度论解释。依概率收敛是随机变量序列与随机变量之间的一种较易于研究的收敛性，这部分的内容的理论根源在测度论有着比较详尽的研究。定义1.1设)一随机变量序列，为一随机变量。如果对任意的0，+2=1,则称依概率收敛于, 记 .据依概率收敛和概率的正则性的定义以及概率的可减性，又因为=,我们可以得到：如果对任意的 0,.因此,由随机变量的实质是可测函数，我们可以看出,依概率收敛实质就是依测度收敛。. 1.2从依测度收敛的一些性质出发来简单解释依概率收敛的四则运算性质。 性质：（四则运算）设是定义在中某一子集D上的一致连续函数（或在开集D上的连续函数），是上的随机变量,对一切，,且,k=1,.,m,则。 特别地，若,是两个随机变量序列，a，b是两个常数，如果，则有，（）。 下面我就最后一部分的特殊情况进行简单的证明。 证明：（I）由于|,故,即:.由此，类似有。 （II）对任意，有。故根据定义有：若，则有；对任意的c，c为实数，再因得出：若，则有。从而我们有。 (III)对任意，因 =得：。在测度论中还引进了几乎处处收敛，并且还着重探讨了几乎处处收敛与依测度收敛的关系。但是由于在随机变量中随机试验的不确定性，几乎处处收敛在概率论中的作用显得很微小。 2.按分布收敛（弱收敛）研究随机变量，自然要研究他们的分布规律，研究随机变量序列的收敛性也就要研究相应的分布函数的收敛性。 2.1 按分布收敛及其测度论的解释定义5.2.1 设随机变量的分布函数是，n=1,2,.,随机变量的分布函数是F，若对F的每一连续点来说，则称的分布收敛于的分布率，记或称弱收敛于，记。根据前面的讨论我们知道随机变量的分布函数就是L-S测度。 1 魏国强 胡善文 著， 实变函数简明教程，出版社：华东师范大学出版社，2001年06月2 周民强 编著， 实变函数论， 出版社：北京大学出版社， 出版时间：2004年03月3 郭懋正 编著， 实变函数与泛函分析， 出版社：北京大学出版社， 出版时间：2005年02月4 郑维行，王声望 编， 实变函数与泛函分析概要（第三版）， 出版社：高等教育出版社， 出版时间：2005年04月5 宋叔尼，张国伟，王晓敏 编著， 实变函数与泛函分析， 出版社：科学出版社， 出版时间：2007年05月6 郭大钧 等编， 实变函数与泛函分析（第二版）， 出版社：山东大学出版社， 出版时间：2005年07月7 胡适耕，刘金山 编著， 实变函数与泛函分析：定理，方法，问题， 出版社：高等教育出版社， 出版时间：2003年05月8 江泽坚，吴智泉， 实变函数论，出版社：人民教育出版社，出版时间：1959年9 那汤松