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文档简介

第七节曲率 一 弧微分 二 曲率及其计算公式 三 曲率圆与曲率半径 曲线的基点与正向设函数f x 在区间 a b 内具有连续导数 在曲线y f x 上取固定点M0 x0 y0 作为度量弧长的基点 并规定依x增大的方向作为曲线的正向 一 弧微分 弧 如下 s的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s 0 相反时s 0 对曲线上任一点M x y 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧s的增量为Ds 因为当Dx 0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式 或者 弧微分公式设x x Dx为 a b 内两个邻近的点 它们在曲线y f x 曲率是描述曲线局部性质 弯曲程度 的量 弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 1 曲率的定义 二 曲率及其计算公式 问题 怎样刻画曲线的弯曲程度 提示 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度 二 曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段 其长为 对应切线 定义 弧段上的平均曲率 点M处的曲率 注 直线上任意点处的曲率为0 转角为 例1 求半径为R的圆上任意点处的曲率 解 如图所示 可见 R愈小 则K愈大 圆弧弯曲得愈厉害 R愈大 则K愈小 圆弧弯曲得愈小 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率K的计算公式 二阶可导 设曲线弧 则由 注 参数方程下曲率的计算 例2计算等边双曲线xy 1在点 1 1 处的曲率 曲线在点 1 1 处的曲率为 因此y x 1 1 y x 1 2 解 例3抛物线y ax2 bx c上哪一点处的曲率最大 解由y ax2 bx c 得y 2ax b y 2a 代入曲率公式 得 显然 当2ax b 0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K 2a 例4 求椭圆 在t 0处的曲率 解 故曲率为 在t 0处 即在点 a 0 的曲率为 三 曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点 在点 在曲线 把以D为中心 R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆 密切圆 R叫做曲率半径 D叫做 曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系 1 有公切线 2 凹向一致 3 曲率相同 M处作曲线的切线和法线 的凹向一侧法线上取点D使 1 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数 注 2 曲线上一点处的曲率半径越大 曲线在该点处的曲率越小 曲线越平坦 曲率半径越小 曲率越大 曲线越弯曲 3 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 称为曲线在该点附近的二次近似 例5设工件表面的截线为抛物线y 0 4x2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适 解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为r K 1 1 25 因此 选用砂轮的半径不得超过1 25单位长 即直径不得超过2 50单位长 y 0 8x y 0 8 y x 0 0 y x 0 0 8
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