数字图像处理学4.ppt

离散傅里叶变换 DFT 傅里叶变换是建立以时间为自变量的 信号 与以频率为自变量的 频谱函数 之间的某种变换关系 对于有限长序列的离散傅里叶变换的表达式如下 第4章频率域图像增强 4 1二维离散傅里叶变换 离散傅里叶反变换式为 二维离散傅里叶变换的定义令f x y 表示一幅大小为M N的图像 其中x 0 1 2 M 1和y 0 1 2 N 1 f的二维傅立叶变换可表示为F u v 如下式所示 其中u 0 1 2 M 1和v 0 1 2 N 1 频域系统是由F u v 所张成的坐标系 其中u和v用作频率变量 由u 0 1 2 M 1和v 0 1 2 N 1定义的M N矩形区域常称为频率矩形 频率矩形的大小与输入图像的大小相同 在频域原点处变换的值F 0 0 称为傅里叶变换的直流分量 二维离散傅里叶逆变换的表达式如下 傅里叶频谱令R u v 和I u v 分别表示F u v 的实部和虚部 则傅里叶频谱定义为 傅里叶变换的性质共轭对称性 周期性 傅里叶频谱的平移对于图像f x y f x y 的平移不影响傅里叶变换的幅值 不管图像延X轴平移 沿Y轴平移 还是两个方向上都有平移 对应的幅值谱和原始图像是完全一样的 根据此性质 当对图像进行傅里叶变换后 如果原点不在图像的中心 则可以先进行平移 省掉幅值谱的原点不在图像的中心带来的麻烦 函数fft2F fft2 f 返回一个大小仍为M N的傅立叶变换 使用傅立叶变换进行滤波时 需要对输入数据进行零填充 F fft2 f P Q 使用该语法 fft2将使用所要求的0的个数对输入图像进行填充 以便结果函数的大小为P Q 4 2二维离散傅里叶变换的MATLAB计算 频谱函数abss abs F 返回傅里叶变换的频谱 F fft2 f S abs F imshow S 将频谱的原点移动到频率矩形的中心 F fft2 f Fc fftshift F S abs Fc imshow S 改变频谱显示的动态范围 F fft2 f Fc fftshift F S abs Fc S2 log 1 S imshow S2 傅里叶逆变换f ifft2 F f1 real f 频域滤波与线性空间滤波两个空间函数的卷积可以通过计算两个傅立叶变换函数的乘积的逆变换得到 相反地 两个空间函数的卷积的傅立叶变换恰好等于两个函数的傅立叶变换的乘积 f x y h x y H u v F u v f x y h x y H u v F u v 4 3频域滤波 频域滤波的原理线性空间滤波由图像f x y 与滤波掩膜h x y 卷积完成的 根据卷积定理 在频域中可以通过让F u v 乘以H u v 来得到相同的结果 即空间滤波器的傅立叶变换 H u v 称为滤波传递函数 频域滤波的目的是选择一个滤波器的传递函数 以便按照指定的方式修改F u v 折叠误差干扰使用DFT进行滤波操作 则图像及其变换都将自动地看成是周期性的 若周期关于函数的非零部分的持续时间很靠近 则对周期函数执行卷积运算会导致相邻周期之间的干扰 称为折叠误差的干扰 可以通过使用零填充来填充函数的方法来避免 零填充假设函数f x y 和h x y 的大小分别为AxB和CxD 通过对f和h补零 构造两个大小均为PxQ的扩充的函数 通过选择P A C 1Q B D 1以避免折叠误差 通过使用用户自定义函数paddedsize计算PQ 自定义paddedsize函数 计算用于FFT的最小填充尺寸functionPQ paddedsize AB CD PARAM ifnargin 1PQ 2 AB elseifnargin 2elseifnargin 2 m max AB P 2 nextpow2 2 m PQ PP elseifnargin 3m max ABCD P 2 nextpow2 2 m PQ PP elseerror wrongnumberofinputs end 使用填充和不使用填充的滤波效果 M N size f F fft2 f sig 10 H lpfilter gaussian M N sig G H F g real ifft2 G imshow g PQ paddedsize size f Fp fft2 f PQ 1 PQ 2 Hp lpfilter gaussian PQ 1 PQ 2 2 sig Gp Hp Fp gp real ifft2 Gp gpc gp 1 size f 1 1 size f 2 imshow gp 线性空间滤波 h fspecial gaussian 15 7 gs imfilter f h imshow gs 空间滤波结果 DFT滤波的基本步骤1 使用paddedsize获得填充函数 PQ paddedsize size f 2 得到使用填充的傅立叶变换F fft2 f PQ 1 PQ 2 3 生成大小为PQ 1 xPQ 2 的滤波函数H4 将变换乘以滤波函数 G H F 5 获得G傅立叶逆变换的实部 g real ifft2 G 6 将左上部的矩形修剪为原始大小 g g 1 size f 1 1 size f 2 用于滤波的M函数以下函数可接收输入图像和一个滤波器 可处理所有的滤波细节并输出经滤波和剪切后的图像 functiong dftfilt f H F fft2 f size H 1 size H 2 g real ifft2 H F g g 1 size f 1 1 size f 2 如何将空间滤波器转换为等价的频域滤波器函数freqz2 计算二维频率响应H freqz2 h R C h是一个二维空间滤波器 H是相应的二维频域滤波器 R为H的行数 C为H的列数 通常取R PQ 1 C PQ 2 4 4从空间滤波器获得频域滤波器 空间域滤波与频域滤波的比较 F fft2 double f S fftshift log 1 abs F S1 gscale S imshow S1 使用函数fspecial来生成空间滤波器 h fspecial sobel freqz2 h sobel对应的频域滤波器 图像显示频域滤波器 PQ paddedsize size f H freqz2 h PQ 1 PQ 2 H1 ifftshift H imshow abs H figure imshow abs H1 空间滤波 gs imfilter double f h imshow gs 频域滤波 gf dftfilt f H1 figure imshow gf 通过创建一副二值图像 可以更清楚地看到边缘 figure imshow abs gs 0 2 abs max gs figure imshow abs gs 0 2 abs max gf 通过计算两者的差来显示两种滤波的差别 d abs gs gf max d min d 建立用于实现频域滤波器的网格数组在频域滤波中 需要计算在频率矩形中矩形原点到任意点的距离 下面通过自定义M函数dftuv来实现提供距离计算的网格数组 function U V dftuv M N u 0 M 1 v 0 N 1 idx find u M 2 u idx u idx M 4 5在频域中直接生成滤波器 idy find v N 2 v idy v idy N V U meshgrid v u 在大小为8 5的矩阵中计算矩阵原点到每一点的距离平方 U V dftuv 8 5 D U 2 V 2 fftshift D 低通滤波器 LPF 理想低通滤波器的传递函数 n阶巴特沃兹低通滤波器的传递函数 高斯低通滤波器的传递函数 低通滤波举例 PQ paddedsize size f U V dftuv PQ 1 PQ 2 D0 0 05 PQ 2 F fft2 f PQ 1 PQ 2 H exp U 2 V 2 2 D0 2 g dftfilt f H figure imshow fftshift H figure imshow log 1 abs fftshift F figure imshow g 自定义M函数生成所有低通滤波器的传递函数function H D lpfilter type M N D0 n U V dftuv M N D sqrt U 2 V 2 switchtypecase ideal H double D D0 case btw ifnargin 4n 1 endH 1 1 D D0 2 n case gaussian H exp D 2 2 D0 2 otherwiseerror Unknownfiltertype end 可视化二维滤波器的传递函数绘制线框图 H fftshift lpfilter gaussian 500 500 50 mesh H 1 10 500 1 10 500 axis 05005001 colormap 000 axisoff gridoff view 25 30 view 25 0 绘制表面图 H fftshift lpfilter gaussian 500 500 50 surf H 1 10 500 1 10 500 axis 05005001 colormap gray axisoff gridoff shadinginterp 高通滤波器 HPF 高通滤波器的传递函数 自定义M函数生成所有高通滤波器的传递函数functionH hpfilter type M N D0 n 高通滤波器的可视化 H fftshift hpfilter ideal 500 500 50 mesh H 1 10 500 1 10 500 axis 05005001 colormap 000 axisoff gridoff figure imshow H 高通滤波举例 PQ paddedsize size f D0 0 05 PQ 1 H hpfilter gaus