湖南省五市十校教研共同体高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省五市十校教研共同体高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（i是虚数单位）的虚部是（）ab icdi2若集合a=x|x22x0，函数f（x）=的定义域为集合b，则ab等于（）a（0，1）b0，1）c（1，2）d1，2）3设数列an是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则a1=（）a1b4c7d1或74将函数f（x）=sin2xcos2x的图象向左平移个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（）ax=0bx=cx=dx=5某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的体积为（）a80+10b80+20c92+14d120+106已知函数f（x）=x2sinx+2xcosx，x（2，2），则其导函数f（x）的图象大致是（）abcd7给出下列三个命题：“若x2+2x30，则x3”为假命题；若pq为真命题，则p，q均为真命题；命题p：xr，3x0，则p：x0r，30其中正确的个数是（）a0b1c2d38定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x4），且在0，2）上单调递增，则下列结论中正确的是（）a0f（1）f（5）bf（1）f（5）0cf（5）f（1）0df（1）0f（5）9阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的s值是（）abcd10点p是双曲线=1（a0，b0）在第一象限的某点，f1、f2为双曲线的焦点若p在以f1f2为直径的圆上且满足|pf1|=3|pf2|，则双曲线的离心率为（）abcd11如图，设区域d=（x，y）|0x1，0y1，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y=与y=x2所围成阴影区域内的概率是（）abcd12在平面直角坐标系中，a（2，0），b（2，0），m（8，0），n（0，8），若=5， =（t）+（+t）（t为实数），则|的最小值是（）a43b4+3c41d5二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13数列an的前n项和记为sn，a1=3，an+1=2sn（n1），则sn=14某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有种不同参加方案（用数字作答）15若实数x，y满足约束条件，则z=的最小值是16将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，设abc的个内角a、b、c对应的三条边分别为a、b、c，且角a、b、c成等差数列，a=2，线段ac的垂直平分线分别交线段ab、ac于d、e两点（1）若bcd的面积为，求线段cd的长；（2）若de=，求角a的值18如图，已知长方形abcd中，ab=2，ad=，m为dc的中点，将adm沿am折起，使得平面adm平面abcm（）求证：adbm（）若点e是线段db上的一动点，问点e在何位置时，二面角eamd的余弦值为19近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（）先完成关于商品和服务评价的22列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量x：求对商品和服务全好评的次数x的分布列；求x的数学期望和方差附临界值表： p（k2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828k2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评a=80b=对商品不满意c=d=10合计n=20020已知椭圆m： +=1（a0）的一个焦点为f（1，0），左右顶点分别为a，b，经过点f的直线l与椭圆m交于c，d两点（）求椭圆方程；（）记abd与abc的面积分别为s1和s2，求|s1s2|的最大值21已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x3ax（1）求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围；（3）证明不等式：（）n+（）n+（）n选修4-1：几何证明选讲22如图，直线ab经过圆o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，圆o交直线ob于点e、d，其中d在线段ob上连结ec，cd（）证明：直线ab是圆o的切线；（）若tanced=，圆o的半径为3，求oa的长选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，圆c的方程为=2asin （a0）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（）求圆c的标准方程和直线l的普通方程；（）若直线l与圆c交于a，b两点，且求实数a的取值范围？选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|+|xa|（）当a=1时，解不等式f（x）2（）若f（x）2，求实数a的取值范围2015-2016学年湖南省五市十校教研共同体高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（i是虚数单位）的虚部是（）ab icdi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案【解答】解： =，则复数（i是虚数单位）的虚部是：故选：c2若集合a=x|x22x0，函数f（x）=的定义域为集合b，则ab等于（）a（0，1）b0，1）c（1，2）d1，2）【考点】交集及其运算【分析】求出a中不等式的解集确定出a，求出f（x）的定义域确定出b，找出两集合的交集即可【解答】解：由a中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即a=（0，2），由f（x）=，得到x10，解得：x1，即b=1，+），则ab=1，2），故选：d3设数列an是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则a1=（）a1b4c7d1或7【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，由此能求出等差数列的公差【解答】解：数列an是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，且d0，解得a1=7，d=3a1=7故选：c4将函数f（x）=sin2xcos2x的图象向左平移个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（）ax=0bx=cx=dx=【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，利用函数y=asin（x+）的图象变换规律求得所得图象对应的函数解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x） 的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=2sin2（x+）=2sin（2x+），令2x+=k+，x=+，可得函数的图象的对称轴方程为 x=+，kz，令k=0，可得其中一条对称轴方程为x=，故选：b5某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的体积为（）a80+10b80+20c92+14d120+10【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是半圆柱与长方体的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高及半圆柱的半径和高，把数据代入，即可计算体积【解答】解：由三视图知：几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4，体积为454=80上面半圆柱的半径为2，高为5，体积为=10几何体的体积v=v半圆柱+v长方体=80+10故选：a6已知函数f（x）=x2sinx+2xcosx，x（2，2），则其导函数f（x）的图象大致是（）abcd【考点】函数的图象【分析】求出f（x）的解析式，判断其奇偶性，单调性，特殊点，结合选项得出答案【解答】解：f（x）=2xsinx+x2cosx+2cosx2xsinx=x2cosx+2cosxf（x）=（x）2cos（x）+2cos（x）=x2cosx+2cosx=f（x），f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除a，b；又f（0）=20，排除d故选c7给出下列三个命题：“若x2+2x30，则x3”为假命题；若pq为真命题，则p，q均为真命题；命题p：xr，3x0，则p：x0r，30其中正确的个数是（）a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据不等式的解法进行判断，根据复合命题的真假关系进行判断根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：“若x2+2x30，则x3且x1，故为真命题，则错误；若pq为真命题，则p，q至少有一个为真命题；故错误命题p：xr，3x0，则p：x0r，30故正确，故选：b8定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x4），且在0，2）上单调递增，则下列结论中正确的是（）a0f（1）f（5）bf（1）f（5）0cf（5）f（1）0df（1）0f（5）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由题意可得f（x）是周期为4的周期函数，故有f（5）=f（1），f（x）在一个周期（2，2）上单调递增，且f（0）=0，从而得出结论【解答】解：定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x4），则f（x）是周期为4的周期函数，故有f（5）=f（1）由于f（x）在0，2）上单调递增，故它在（2，0上单调递增，故有f（x）在一个周期（2，2）上单调递增，且f（0）=0，故有f（1）0f（5）=f（1），故选：d9阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的s值是（）abcd【考点】程序框图【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的s，k的值，当k=2017时，不满足条件k2017，退出循环，输出s的值，用裂项相消法求和即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=2017，k=1，s=0执行循环体，s=0+，k=2；满足条件k2017，执行循环体，s=0+，k=3；满足条件k2017，执行循环体，s=0+，k=2017；此时，不满足条件k2017，退出循环，输出s的值由于：s=0+=（1）+（）+（）=（1）=故选：a10点p是双曲线=1（a0，b0）在第一象限的某点，f1、f2为双曲线的焦点若p在以f1f2为直径的圆上且满足|pf1|=3|pf2|，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义结合圆的性质可知pf1pf2，由已知结合双曲线的定义求得|pf1|，|pf2|，再由勾股定理得答案【解答】解：如图，p在以f1f2为直径的圆上，f1f2为圆的直径，则pf1pf2，|pf1|=3|pf2|，由，解得|pf1|=3a，|pf2|=a，即，得e=故选：d11如图，设区域d=（x，y）|0x1，0y1，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y=与y=x2所围成阴影区域内的概率是（）abcd【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用【分析】根据积分的几何意义求出阴影区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：根据积分的几何意义可知区域m的面积为=（）=，区域d的面积为11=1，则由几何概型的概率公式可得点落到由曲线y=与y=x2所围成阴影区域内的概率等于，故选：b12在平面直角坐标系中，a（2，0），b（2，0），m（8，0），n（0，8），若=5， =（t）+（+t）（t为实数），则|的最小值是（）a43b4+3c41d5【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义【分析】利用向量知识，确定p、q的轨迹方程，进而利用点到直线的距离公式，即可求|的最小值【解答】解：，a（2，0），b（2，0），若=5，设p（a，b），可得（a+2）（a2）+b2=5，即a2+b2=9，可得：m（8，0），n（0，8），=（t）+（+t），p的轨迹是以半径为3、圆心在原点的圆，q，m，n三点共线，q的轨迹方程为直线mn：x+y8=0，|的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即3=43故选：a二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13数列an的前n项和记为sn，a1=3，an+1=2sn（n1），则sn=3n【考点】数列递推式【分析】由an+1=2sn（n1），可得sn+1sn=2sn，即sn+1=3sn利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=2sn（n1），sn+1sn=2sn，即sn+1=3sn，数列sn是等比数列，首项为s1=3，公比为q=3，sn=33n1=3n故答案为：3n14某校高二成立3个社团，有4名同学，每人只选一个社团，恰有1个社团没有同学选，共有42种不同参加方案（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】第一步：从3个社团中选2个，第二步：把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，把这两组同学分配到两个社团中，根据分步计数原理可得【解答】解：第一步：从3个社团中选2个，共有c32=3种，第二步：把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，把这两组同学分配到两个社团中有a22c43+c42=14，根据分步计数原理可得，共有314=42种，故答案为：4215若实数x，y满足约束条件，则z=的最小值是2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，利用数形结合进行判断即可【解答】解：z=的几何意义是区域内的点到定点d（6，4）的斜率，作出不等式组对应的平面区域，由图象知ad的斜率最大，bd的斜率最小，由得，即b（4，0），此时z=2，故答案为：216将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为1【考点】归纳推理【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，所以a=1故答案为：1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，设abc的个内角a、b、c对应的三条边分别为a、b、c，且角a、b、c成等差数列，a=2，线段ac的垂直平分线分别交线段ab、ac于d、e两点（1）若bcd的面积为，求线段cd的长；（2）若de=，求角a的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）先根据三角形的内角a，b，c成等差数列，求出b的度数，再根据三角的面积公式求出bd，再根据余弦定理即可求出，（2）根据垂直平分线的性质得到ac=2ae=，再根据正弦定理，即可求出答案【解答】解：（1）三角形的内角a，b，c成等差数列，则有2b=a+c又a+b+c=180，b=60，bcd的面积为，a=2bdbcsin60=，bd=，由余弦定理，cd2=bd2+bc2+2bdbccos60=+4+22=，cd=，（2）线段ac的垂直平分线分别交线段ab、ac于d、e两点，de=，ae=，ac=2ae=2=，由正弦定理可得=，即=，cosa=，0a180，a=4518如图，已知长方形abcd中，ab=2，ad=，m为dc的中点，将adm沿am折起，使得平面adm平面abcm（）求证：adbm（）若点e是线段db上的一动点，问点e在何位置时，二面角eamd的余弦值为【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）根据线面垂直的性质证明bm平面adm即可证明adbm（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可【解答】（1）证明：长方形abcd中，ab=2，ad=，m为dc的中点，am=bm=2，bmam平面adm平面abcm，平面adm平面abcm=am，bm平面abcmbm平面admad平面admadbm；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面amd的一个法向量=（0，1，0），=+=（1，2，1），=（2，0，0），设平面ame的一个法向量为=（x，y，z），则， 取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），cos，=，求得，故e为bd的中点19近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（）先完成关于商品和服务评价的22列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量x：求对商品和服务全好评的次数x的分布列；求x的数学期望和方差附临界值表： p（k2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828k2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评a=80b=40120对商品不满意c=70d=1080合计15050n=200【考点】独立性检验的应用【分析】（）由已知列出关于商品和服务评价的22列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且x的取值可以是0，1，2，3，xb（3，0.4）求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数x的分布列（概率用组合数算式表示）；利用二项分布的数学期望和方差求x的数学期望和方差【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计150502002分k2=11.11110.828 4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关5分（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且x的取值可以是0，1，2，3其中p（x=0）=0.63=； p（x=1）=c310.40.62=；7分p（x=2）=c320.420.6=； p（x=3）=c330.43=9分x的分布列为：x0123p10分由于xb（3，0.4），则e（x）=30.4=1.2，d（x）=30.40.6=0.7212分20已知椭圆m： +=1（a0）的一个焦点为f（1，0），左右顶点分别为a，b，经过点f的直线l与椭圆m交于c，d两点（）求椭圆方程；（）记abd与abc的面积分别为s1和s2，求|s1s2|的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由焦点f坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（）当直线l不存在斜率时可得，|s1s2|=0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|s1s2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值【解答】解：（）因为f（1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b=，所以a=2，所以椭圆方程为=1；（）直线l无斜率时，直线方程为x=1，此时d（1，），c（1，），abd，abc面积相等，|s1s2|=0，当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），设c（x1，y1），d（x2，y2），和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，显然0，方程有根，且x1+x2=，x1x2=，此时|s1s2|=2|y1|y2|=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|=，（k=时等号成立）所以|s1s2|的最大值为21已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x3ax（1）求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围；（3）证明不等式：（）n+（）n+（）n【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）f（1）=0，从而可求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，等价于f（x）maxg（x）max，由（1）知f（x）max=0，分类讨论，求出g（x）max，即可求a的取值范围；（3）由（1）知f（x）0即lnxx1（x0），取x=，可得ln1=，从而可得（）nekn，即可证明结论【解答】（1）解：f（x）=lnxx+1 （x0）f（x）=，当0x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，f（x）f（1）=0，f（x）的最大值为0；（2）解：x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，等价于f（x）maxg（x）max，由（1）知f（x）max=0，当a0时，g（x）=x3ax在x1，2时恒为正，满足题意当a0时，g（x）=3x2a，令g（x）=0，解得x=，g（x）在（，），（，+）上单调增若1即0a3时，g（x）max=g（2）=82a，82a0，a4，0a3若12即3a12时，g（x）在1，2而g（1）=1a0，g（2）=82a在（3，4为正，在（4，12）为负3a4当2而a12时g（1）0，g（2）0不合题意综上a的取值范围为 a4（3）证明：由（1）知f（x）0即lnxx1（x0）取x=，ln1=，nlnkn，即（）nek