数学华东师大版八年级上册勾股定理的运用——关于最短路径问题

教学内容：勾股定理的应用关于最短路径问题知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。能力目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。情感目标：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。教学准备：多媒体课件。教学过程：一、复习回顾1. 如图，直角三角形中的三边a，b，c满足什么关系？2. 当a2，b3时，求c；当c3，a2时，求b。二、新课讲解立体图形中的最短路径1. 正方体蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律例1 如图，蚂蚁在边长为10cm的正方体A处嗅到了放置在正方体的B处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？利用多媒体展示展开图，并引导“两点之间线段最短”得到AB的最短路径：2. 长方体B例2 长为3cm，宽为1cm，高为2cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A到B爬行的最短路程又是多少呢？2A31教师利用多媒体展示长方体的三种展开方式和计算结果：AB的最短路径为。利用以上计算，小结方法：对于一般的长方体，长、宽、高分别为a、b、c时，AB的最短路径可能有三种情况：要找最短距离，只需要比较bc、ac、ab的大小，取最小值。只需“较短两段取和，最长段独一边”计算就可以快速求出长方体中AB之间的最短距离。巩固练习：计算下列长方体中从点A到点B的最短距离： 如图是一个由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，试问在A处的蚂蚁要吃到放在B处的食物，最短需要爬行的路程是多长？若事物在C处或者是D处呢？利用“较短两段取和，最长段独一边”的方法求解：注意AD的计算，不能用2+2取和，因为这样会经过长方体内部的“截面”！ 强调灵活运用哦！如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、 2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_。3. 圆锥和圆柱如左图，从A点到B点的最短路径：如右图，从A点绕一周回到A点的最短路径：AAAB用多媒体展示展开后的最短路径：例3 有一圆柱体，测得其底部周长为12，高为8，圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，在其正对面上方B处有一颗蜜糖，它从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，它爬行的最短路程是多少？（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA将圆柱的侧面展开(如下图)。我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)AAB；(2)ABB；(3)ADB；(4)AB。哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短。因为“两点之间的连线中线段最短”。变式练习：（用多媒体展现）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm。某校九年级学生准备毕业庆典，打算用装饰带来装饰大厅圆柱已知大厅圆柱高4米，底面周长1米。由于在中学同学三年，他们打算精确地用装饰带从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形装饰带的长至少 米。ACB如图，已知圆柱底面周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝的周长最小为 dm。平面图形中的最短路径平面内的最短路径2条拆线引导复习：在河流l的同一侧有A、B两个村庄，共同集资在河边修建一个水泵站向两个村庄供水。问水泵站O修在什么位置时，使需要的管道之和最短？利用多媒体展示确定水泵站位置的方法步骤：作点A关于直线l的对称点A连结AB，交直线l于点O例题讲解：例 如图，l 是河岸（近似看作一直线），岸边A点处有一匹马，到河岸的距离AC为3米， B点是马房，到河岸的距离BD为2米，CD长12米。若马夫从A处牵马回马房B，所走最短路程是多少？教师利用多媒体课件展示分析求解。变式：若马夫从A处先牵着马去河边饮水，然后再回马房B，这时的最短路程是多少？结合以上复习分析饮水点位置的寻找方法，利用多媒体课件展示。四、小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。五、作业：完成反馈练习六、课后反思1. 本节课是勾股定理应用的一个专题内容最短路径问题。充分利用多媒体教学，使课堂容量大，教学比较直观，学生也比较容易接受。2. 教学课件制作精良，教学内容层次分明，重难点比较突出，能够较好地调动学生。另外，对知识点的小结也比较全面，便于学生系统理解和掌握立体图形和平面图形中的最短路径问题。3. 教学中注重了对学生思维习惯的培养，注重了数学思想（如转化思想、化归思想、分类讨论思想等）的体现。4. 学生对立体图形中的最短路径问题比较理解，掌握较好。但对平面图形中的最短路径问题理解较难，掌握不好。这