数学华东师大版七年级下册加减法解二元一次方程组（1）

第七章 一次方程组导学案7.1二元一次方程组和它的解教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；教学难点：二元一次方程组的解的概念，弄清对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解。以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解。【预习检测与自主学习】一、认真阅读教材P24-P26，解答下列问题.1、二元一次方程的定义：每个方程都含有 ，并且未知数的次数是 ，这样的整式方程叫做二元一次方程. 它的基本形式是 .2、二元一次方程组的定义： . 3、二元一次方程的解：使二元一次方程的左右两边相等的 的值，叫做二元一次方程的解.4、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中 的左右两边都相等的 的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5、检验一对数是不是某个二元一次方程组的解的方法： .【合作探究】知识点一 二元一次方程与 二元一次方程的概念我们来看一个问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？以上问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗?_场数_场数总场数； _积分_积分总积分，这两个条件可以用方程 X+y=202xy=40 表示。观察：这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?1、 归纳：_叫做二元一次方程注意：1.定义中未知数的项(单项式)的次数是1，而不是指两个未知数的次数都是12.二元一次方程的左边和右边都应是整式2、二元一次方程的一般形式：ax + by + c = 0 （其中a0、b0 且a、b、c为常数）注意：1.要判断一个方程是不是二元一次方程，一般先要把它化成二元一次方程的一般形式，再根据定义判断。例1 下列方程中是二元一次方程的有 .（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） .方法小结： .【展示点拨】（1）、若x|a|-1+(a-2)y=2是二元一次方程，求a的值（2）、已知方程是关于、的二元一次方程.求、的值.3、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值_的两个未知数的_叫做二元一次方程的解。问题1 二元一次方程的解的个数？探究一 用一个字母表示另一个字母将下列方程变形，用y的式子表示x（1）、， （2）、 2x+y=2， （3）、 （4）、，【展示点拨】1已知，用含x的式子表示y的形式是=_2、已知x-2y=0.，用含x的式子表示y的形式是=_3、已知2x+y=2，用含y的式子表示x的形式是x=_探究二 二元一次方程的特殊解？例求二元一次方程的所有非负整数解.变式练习 求二元一次方程3xy8的正整数解.探究三 二元一次方程的解的应用【展示点拨】 已知方程mx+ny=10有两个解，分别是，则m=_，n=_.知识点二 二元一次方程组_叫做二元一次方程组。思考判断二元一次方程组的三个条件（1）（2）（3）例 下列方程组中是二元一次方程组的的有 .（1） （2） （3） （4）知识点三 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值_的两个未知数的_叫做二元一次方程组的解.即：二元一次方程组的两个方程的_解。例已知二元一次方程组【展示点拨】判断下面哪一对数值是这个方程组的解:判断方法： .【当堂训练】（1）、判断下列方程是否为二元一次方程？并说明理由。 （2）、已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？并说明理由。 （3）方程组 的解为（ ）.A. B. C. D. （4 ） 某校现有校舍20000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2）做一做如图7.1.1，画出示意图.若设应拆除旧校舍，建造新校舍，请你根据题意列一个方程组.教学反思： . 五、课后作业 学法7.2二元一次方程组的解法第一课时学习目标：1会用代入法解二元一次方程组.2初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”.学习过程：【预习检测】1、 已知方程是二元一次方程，则m_，n_2、方程组的解是（ ） A B C D3、是方程的解，则m_4、在中，如果= 6，那么= 。【自主学习】 问题1回顾教材26页问题2，列出相应的方程组 思考：怎样解这个方程组？ 问题2问题引导（1） 我们解一元一次方程的步骤是什么？（2） 回顾上节课，解决此题所列的一元一次方程，两者之间有什么关系？（3） 能否把二元一次方程变成一元一次方程？其关键是什么？如何把二元一次方程变成一元一次方程？（4） 怎样做才能够比较容易让某个未知数消失呢？【合作探究】 探究二元一次方程组的解法例：解二元一次方程组y-x=20000*30,(1)Y=4x (2) 观察(2)表明，Y与4x的值是相等的，因此，方程(1)中的Y可以看成 ，即将(2)代入(1)，消去了 ，得到了关于 的一元一次方程。归纳（1）上面从二元一次方程组 到一元一次方程 的过程中，未知数的个数由 个变为 个，这种将未知数的个数由多化少，逐一求解的思想，叫做 思想。（2）可以把方程中的x换掉吗？如果可以，那么可以代换成什么？为什么？写出你代换后的方程。 .例1：用代入法解方程组解：由，得x= 把代入，得 解这个方程，得y 。把y 代入，得x= 原方程组的解是反思（1）求得的未知数的值是原方程组的解吗？请检验。 （2）把代入可以吗？在下面试试。 （3）你认为用代入法解方程时，怎样避免（2）中这种情况发生？ （4）解此方程组的第一步为什么要“由得”？而不是“由得”呢？你认为在用代入法解方程组的第一步时应选择哪种方程变形比较简便呢？ （5）归纳用代入法解二元一次方程组的步骤： 【展示点拨】用代入法解下列二元一次方程组 3x-5y=6,（3） x+4y=-15【当堂训练】一填空1、 把方程2x3y+7变形，用含y的代数式表示x，x ；用含x的代数式表示y，则y 。2、若与是同类项，则a= ，b= ；3、二元一次方程组的解是方程xy=1的解，则k= 。 二 解答题1、如果（5a-7b+3）2+=0，求a与b的值。拓展延伸 若方程组与有公共的解，求a，b.教学反思：写出本节课你的成功与失败之处课后作业： 7.2 二元一次方程组的解法第二课时教学重点：用代入消元法解二元一次方程组教学难点：两种消元法的基本思想以及灵活运用【预习检测】1、 代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现_，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做_，简称_。2、归纳总结用代入消元法解方程组的一般步骤：（1） 从方程组中选一个系数_的方程，将这个方程中的一个_，如y，用含x的代数式表示，即y=ax+b;（2） 将y=ax+b代入_方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程；（3） 解这个_方程，求出x的值；（4） 把求得x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到_的解。【合作探究】探究 二元一次方程组的解法演示（1）变形为y= ,即用x的代数式表示y，在代入方程（2）中2x-7y=83x-8y-10=0思考：这个二元一次方程组中的每一个方程中的未知数的系数都不是1，怎么办呢怎样继续用代入法求解呢?总结：二元一次方程组中的每一个方程中的未知数的系数都不是1，的解题过程？【展示点拨】用代入法解下列方程组: （1） (2)【当堂训练】1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=_，当y=-2时，x=_；若用含x的式子表示y，则y=_，当x=0时，y=_ 。2、若的解，则a=_，b=_。3、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=_，y=_。4、已知方程组的解也是方程组的解，则a=_，b=_ ,3a+2b=_。5、当k=_时，方程组的解中x与y的值相等。6、已知关于的二元一次方程组 ax+by=8,ax-by=2的解是x=5且y=3，求a与b的值教学反思： 课后作业 ： 课本第30页练习1,27.2 二元一次方程组的解法第三课时教学目标：1、掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，能运用加减法解二元一次方程组2根据方程的不同特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思想消元；培养自己的运算技巧。学法引导：观察各未知数前面系数的特征，只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值后就可以利用加减消元法进行消元，同时在运算过程中注意归纳解题的技巧和解题的方法。【预习检测】学习过程1、（口答）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？解题过程是什么？2、解下列方程组，并验证所得结果是否正确。【合作探究】针对上面不同的解法，思考下面的问题：（1）上面的几种解法中，哪一种更简单一些？（2）上面的几种解法中，都包含了什么思想？探究（一）同一个未知数的系数相同（或互为相反数）的二元一次方程组的解法请同学们尝试解以下方程组： 分析：两个方程中未知数x的系数_，请你把这两个方程的左边与右边相减，看看，能够得到什么结果？ 解：- 得： = （运用“等量减等量，差相等”，消去x化成一元一次方程） 解得： y= 把y= 代入 式得： x= x= y= 变式训练：解方程组： 分析：两个方程中未知数y的的系数互为相反数，是3与-3，请你把这两个方程的左边与右边相加，看看，能够得到什么结果？ 解：+ 得： = （运用“等量加等量，和相等”， 消去y化成一元一次方程）。 解得： x= 把x= 代入 式得： y= x= y= （注：例1和例2的解法叫做“加减消元法”，在这两个方程组中，都出现某一个未知数的系数相同或者互为相反数的情形，把两个方程相加或者相减，就能够消元化为一元一次方程。）规律总结：在方程组的两个方程中，（1）若同一个未知数的系数相同，可直接把这两个方程相_（加或减），消去系数相同的这个未知数；（2）若同一个未知数的系数互为相反数，可直接把这两个方程相_（加或减），消去系数相同的这个未知数；【展示点拨】1、 解简单的二元一次方程组。 （1） （2）3 x -2 y =157 x - 3 y =1 5 x +2 y =9 7 x + 4 y =-2 3(2x+1)-2(4y-3)=2（3） 5(2x+1)+2(4y-3)=352、已知方程组的解是求m的值7.2二元一次方程组的解法第四课时【教学目标】1.进一步理解解方程组的消元思想.2.了解加减法是消元的又一种基本方法，会用加减法解一些简单的二元一次方程组.【教学重点与难点】重点：会用加减法解二元一次方程组.难点：灵活运用加减消元法的技巧.【预习检测】1、解二元一次方程组的基本思想是_，要把二元一次方程组转化为_解决.2、完成下面填空（1）（2）（3），（4）（5）.观察原式与结构，可以发现：每小题中的式子中都含有_个字母，而结果中含有_个字母.3、等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式还能成立吗？用不同的方法解方程组，并检验.【自主学习】上面的方程组中，我们用代入法或用加减法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其它方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.如果方程组中没有一个未知数的系数是相等或是互为相反数的，我们应该怎样做？现在我们自己在导学案上完成例2，完成后同桌交流。例2：解方程组 【合作探究】已知方程组归纳小结 加减消元法解方程组基本思路：加减消元-二元-一元主要步骤有：变形-同一个未知数的系数相同或互为相反数加减-消去一个元求解-分别求出两个未知数的值写解-写出方程组的解【展示点拨】1、用加减消元法解下列方程组 2、思维拓展：（1）如果5x3m-2n2yn-m=0是二元一次方程，则m= ,n= （2）解方程组 归纳总结：用加减消元法解方程组的一般步骤：(1) 将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数_或_的两个方程。(2) 把这两个方程_或_，消去一个未知数。(3) 解得到的_方程。(4) 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。(5) 确定原方程组的解。【当堂训练】一、基础知识的应用1、方程组中，x的系数特点是_；方程组中，y的系数特点是_.这两个方程组用_法解比较方便。2、用加减法解下列方程组 （1） （2） （3） 二、能力提高训练1、小明和小华同时解方程组,小明看错了m，解得,小华看错了n，解得,你能知道原方程组正确的解吗？2、先读阅读材料，然后解方程组材料：解方程组由得，把代入，得 ，解得把代入得，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用这种方法解答.请用这种方法解方程组教学反思： 课后作业：学法7.2二元一次方程组的解法第五课时【教学目标】1.进一步理解解方程组的消元思想.2.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。【合作探究】1、灵活消元（1）整体代入法例1.解方程组（2）先消常数法例2. 解方程组 （3）设参代入法例3. 解方程组 （4）换元法例4. 解方程组（5） 整体加减法例5. 解方程组【当堂训练】1、解方程组 2 、若方程组与有公共的解，求a，b.3、若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，求m的值。4、思考：、已知甲、乙两人共同解方程组，如果甲看错了方程中的a，得方程组的解为，而乙看错方程中的b，得到方程组的解是，请求a2008+（-b）2009的值.教学反思： 课后作业： 7.2二元一次方程组的解法第六课时【教学目标】1、 解三元一次方程组的基本思想。2、 解三元一次方程组的方法。 【预习检测】练习：在下列方程中，是三元一次方程的在括号内打“”，否则打“”。（1）2x+3y=12z ( ) (2) xyz=14 （ ）（3） ( ) (4) ( )【自主学习】知识点一 _叫三元一次方程（组）。知识点二 用消元法解三元一次方程组二元一次方程组解法思路是先用加减法或代入法消去一个未知数，化_元为_元，那么，三元一次方程组的解法是否类似地将“三元”化为“二元”呢？【合作探究】一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数例1解方程组分析：方程组中含的项系数依次是4，2，6，且4=2（2），6=23.由此可先消去未知数.【展示点拨】1、解方程组 （2） 二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.例2解方程组三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.例3解方程组四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元1整体代入法即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.例4解方程组分析：注意到中的，这就与有了联系，因此，可化为，把整体代入该方程中，可求出的值，从而易得与的值.解2整体加减法例5解方程组3整体改造例6解方程组4参数法例7解方程组.教学反思：课后作业：7.3 二元一次方程组的应用 教学重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。教学难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题即二元一次方程组。预习检测： 1、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 2. 二元一次方程组解法有 3列方程组解决实际问题的基本思想合作探究探究一例题1：某数学兴趣小组研究我国古代算法统宗里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房。（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加。每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按折优惠。若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？例题2：两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。练习：有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨? 小结 问题答案实际问题设求知数、列方程组数学问题(二元一次方程组)数学问题的解（二元一次方程组的解）检验转化解方程组加减法代入法（消元）1.利用二元一次方程组解决实际问题的过程：2 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度顺速逆速 = 2水速； 顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程3列方程组解决实际问题的一般步骤：_ 当堂训练： 学法第26页练习 课后作业：学法第27,28页练习 列二元一次方程-解决实际问题一、 行程问题（1） 三个基本量的关系： 路程s=速度v时间t 时间t路程s速度V 速度V路程s时间t（2） 三大类型： 相遇问题：快行距慢行距原距 追及问题：快行距慢行距原距甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。练习：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟。如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地。求甲乙两地的距离以及甲地到乙地的规定的时间二、 工程问题三个基本量的关系：工作总量工作时间工作效率； 工作时间工作总量工作效率；工作效率工作总量工作时间 甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总量，一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 三：商品销售利润问题利润问题：利润=售价进价，利润率=（售价进价）进价100%有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？ 【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200求该商场购进A、B两种商品各多少件；四、银行储蓄问题银行利率问题：免税利息=本金利率时间，税后利息=本金利率时间本金利率时间税率4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？五、生产中的配套问题产品配套问题：加工总量成比例某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？六、增长率问题增长率问题：原量（1增长率）=增长后的量原量（1减少率）=减少后的量 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ （1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？思考：本问题还有没有其它的设法？【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。七、和差倍分问题和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数倍量“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 【变式】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？八：数字问题首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。【变式】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。九、几何问题必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中