整式的乘法 要点全析

整式的乘法要点全析 1幂 （1）定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 即an 其中，a是底数相同因数之一，n是指数（次数）相同因数的个数 对于an可从两个方面理解： an表示乘方运算，读作a的n次方，则an an表示乘方运算的结果，读作a的n次幂，则an幂 【说明】（1）an表示an的相反数，可读作“负的a的n次幂”，底数是a，指数是n，an （2）（a）n表示n个（a）连乘，可读作“负a的n次幂”，底数是a，指数是n，（a）n （2）幂的性质： 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 规定：0的任何正整数次幂都是0 因此，在进行幂的化简或有关运算时，要首先判断底数的正负，再看指数的奇偶，然后据法则确定幂的符号，而幂的绝对值等于各因数的绝对值的积 幂可参与加、减、乘、除、乘方等运算 2同底数幂的乘法 （1）法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 用字母表示：amanamn（m、n都是正整数） 由乘方定义可知： amanamn 【说明】（1）表达式中的m、n都为正整数，a表示代数式，如单项式、多项式等 （2）“法则”的使用条件是“同底数幂相乘”，底数不变，只把指数相加减作为积的指数 （2）法则可推广： 如amanapamnp； （ab）x（ab）y（ab）xy 3幂的性质 （1）若同底数的幂相等，则幂指数也相等若aman，则mn 例如：若2x16，则x_ 解：1624，2x24，x4 （2）同指数的幂相等，当指数为偶数时，则底数相等或互为相反数；当指数为奇数时，则底数相等 即已知anbn， 当n为奇数时，ab； 当n为偶数时，ab 或如果a2nb2n，那么ab或ab； 如果a2n1b2n1，那么ab 4法则amanamn可逆运用，即amnaman 如a6aa5a2a4a3a3； 22 00422 00522 004222 004（12）22 00422 004 5幂的乘方 （1）法则（性质）： 语言表达：幂的乘方，底数不变，指数相乘 表达式：（am）namn（m、n都是正整数） （2）注意事项： “m、n都是正整数”是表达式的一部分 幂的乘方，根据是乘方的意义和同底数的幂相乘，它的底数不变，指数相乘 可推广：（am）npamnp a是代数式 6积的乘方 （1）法则（性质）： 语言表达：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 表达式：（ab）nanbn（n为正整数） （2）注意事项： “n为正整数”是表达式的一部分 积的乘方，根据是乘方的意义和同底数的幂相乘，它是把积中每一个因式分别乘方，不能出现（xy）2xy2，a2 可推广：（abc）nanbncn 系数是积的一个因式如（2ax2）3（2）3a3（x2）38a3x6， （a）n（1）nanan 7幂的乘方的意义及运用 （am）n（乘方意义）amn 如（a4）3a4a4a4a444a43a12 可直接运用公式计算：（a4）3a43a12 8积的乘方的意义及运用 （ab）nanbn 如（2x2y3）2（2x2y3）（2x2y3）（2）（2）（x2x2）（y3y3）4x4y6 运用公式：（2x2y3）2（2）2（x2）2（y3）24x4y6 9幂的乘方与积的乘方的逆运用 （1）性质（am）namn的逆运用 当m、n为偶数时，amn（am）n（an）m 当m、n为奇数时，amn（am）n（an）m 例如：a6（ ）3（ ）2 已知x2n3，则x10n_ 解：a6（a2）3（a3）2 x10n（x2n）535243 （2）公式anbn（ab）n的运用 例如：4x2y2（2xy）2， 0.52 00222 002（0.52）2 0021 （3）灵活运用幂的乘方，积的乘方，同底数的幂以及幂的其他性质，求解问题 例如：求一个整数n次幂的个位数字；比较大小；求未知量 一个整数N的n次幂的个位数字如下表所示：0123456789N10123456789N20149656941N30187456329N40161656161N50123456789N6 由上表可以看出： 个位数字是0，1，5，6的整数，对其无论乘方多少次，幂的个位数字仍然依次是0，1，5，6 个位数字是4和9的整数，它们的2n1次幂的个位数字分别是4和9；2n次幂的个位数字分别是6和1 个位数字是2，3，7，8的整数，它们的幂的个位数字随乘方次数的逐渐增加乘方四次一个周期如上表所示 例 1：求22 00232 003的个位数字 解：22 00232 003245002345003， 由此可知245002的个位数字是循环500个周期再乘方两次，个位数字应是4，345003的个位数字是循环500个周期，再乘方三次，个位数字应是7 22 00232 003的个位数字是8 或22 00232 003（23）2 002362 0023， 62 002的个位数字是6，又6318， 此式的计算结果个位数字是8 例2：比较266，233，244的大小 解析：可通过三种方法比较大小： 化为同底数；化为同指数；计算后比较（计算量大，此法不可取） 此题采用第2种方法 解：266（26）11，233（23）11，244（24）11， 又262423，（26）11（24）11（23）11 即266244233 10单项式的乘法法则 一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 11运用单项式的乘法法则应注意的事项 （1）因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据 如：（4a2c）3（3ab） 64a6c3（3ab）（据积的乘方） 64（3）（a6a）bc3（据乘法交换律、结合律） 192a7bc3（有理数的乘法，同底数幂的乘法） （2）法则分乘式里的系数，相同字母，不相同字母三部分 积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确定符号，再计算绝对值 相同字母相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要把这个因式丢掉 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用如： 3xy22xyz （xx2x）（y2yy）z 2x4y4z 单项式乘单项式的结果仍是一个单项式 12单项式乘单项式法则的逆运用 已知单项式A、B的积为C，那么可记为ABC，可据此相等关系，求A、B、C中的某一个未知量，如A，B，C中的某一个字母的指数、底数 例如：已知（3a2bm）（kanb3）33a4b10，求m、n、k的值 解：等式可化为；3a2bm（k3a3nb9）3a4b10 3k3a3n2bm93a4b10 由单项式的乘法法则可得： 13单项式与多项式的乘法法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 可用m（abc）ambmcm表示 这里的a，b，c都表示单项式 14运用单项式与多项式的乘法法则时应注意的事项 （1）单项式与多项式相乘，根据分配律，用单项式乘多项式的各项，就将其转化为单项式的乘法，不可漏乘 （2）作乘法运算时，要注意单项式的符号和多项式的每一项的符号 如： 原式（4x）（3x3）（4x）（2x2）（4x）（x）（4x）（1） 12x48x34x24x 也可以这样计算： 原式（4x3x34x2x24xx4x1） （12x48x34x24x） 12x48x34x24x （3）单项式与多项式的积的项数不多于因式中多项式的项数 一般地，乘积是几个单项式的代数和，有同类项时，一定要合并同类项因合并同类项，其结果可能是单项式或项数小于因式中多项式的项数的多项式 15多项式的乘法法则 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加可用算式图表示： 即（ab）（mn）amanbmbn 16运用多项式乘法法则时的注意事项 （1）多项式的乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的即（ab）（mn）是把（mn）看成是一个单项式，运用单项式与多项式的乘法法则运算的，为（ab）（mn）a（mn）b（mn）再用单项式与多项式的乘法进行计算，得（ab）（mn）amanbmbn （2）两个多项式相乘，是把一个多项式的每一项，分别与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，要注意不可漏乘 （3）两个多项式相乘，它们的积是和的形式，在没合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积如（mn）（abc）的积的项数在没合并前，应是236项也就是说，多项式的积的项数不大于各多项式的项数的积 （4）进行乘法运算时，要注意确定积中各项的符号 （5）在进行计算含有一个相同字母的两个一次二项式相乘时，可借助下列公式进行快速运算： （xa）（xb）x2（ab）xab，其中a、b为有理数或代数式 如：（x2）（x3）x25x6； （x2）（x3）x2x6； （x2）（x3）x25x6 当ab时，公式变为（xa）（xb）（xa）2x22aa2 （6）在计算形如（ab）3的形式时，目前可化为： （ab）3（ab）（ab）（ab） （a22abb2）（ab） a32a2bab2a2b2ab2b3 a33a2b3ab2b317逆用多项式的乘法法则可求未知量因为多项式的乘法运算是恒等变形，可运用恒等式的性质 例如：（x3）（x2）x2AxB求A、B